山西省芮城市2019-2020学年高一下学期3月线上月考数学试题(解析版)

2019-2020年高一下学期3月月考数学试题含答案（时间：120分钟 满分：150分）2016.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A.5,10,15,20,25 B. 2,4,8,16,32 C. 1,2,3,4,5 D. 7,17,27,37,47 2．运行5,8,,,B X A A B X A A B =====+程序后输出A,B 的结果是（ ） A. 5,8 B. 8,5 C. 8,13 D. 5,133．执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）A. 120B. 720C. 1440D. 50404．对任意的实数k,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ）A.相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心5．在100各零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个，则（ ） A.不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15B. ①②两种抽样法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15， ③并非如此 C. ①③两种抽样法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15， ②并非如此D. 采取不同的方法，这100个零件中每个个体被抽到的概率不同6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）A.0.90B. 0.30C. 0.60D. 0.407．连续投掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（ ）A.536 B. 566 C. 111 D. 5118．已知地铁列车没10分钟（含在车站停车时间）一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ） A.18 B. 19 C. 111 D. 1109．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方体中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为（ ） A.43 B. 83 C. 23D. 无法计算 10．有五组变量：①汽车的重量和汽车没消耗一升汽油所行驶的距离②平均日学习时间和平均学习成绩 ③某人每天的吸烟量和身体健康状况 ④圆的半径与面积⑤汽车的重量和每千米的耗油量 其中两个变量成正相关的是（ ）A.②④⑤B. ②④C. ②⑤D.④⑤11．圆221:x y 2x 2y 20C +++-=与圆222:x y 4x 2y 10C +--+=的公切线有且仅有（ ）A. 1条B. 2条C.3条D. 4条12．设圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C =（ ） A. 4B. C. 8D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.某校对全校男女学生工1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是 人. 14在面积为S 的ABC 内部任取一点P ，则PBC 的面积大于4S的概率是 . 15．试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ . 16.给出如下四对事件： ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环” ②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙没有射中目标”， ③从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球” ④从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”其中属于互斥事件的是.（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）1+3+5++99的程序框图，要求框图必须含有循环结构.画出计算222218.（本题12分）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.（1）求所选2人恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中至少有一名女生的概率.19. （本题12分）某制造商生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的:（1）补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率；39.99,40.01的中点（3）统计方法中，同一小组数据常用该组区间的中点值（例如区间()值是40.00）作为代表，据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）.20. （本题12分）有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1,2,3,4. （1）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（2）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b ，求直线ax+by+1=0与圆22116x y +=有公共点的概率.21. （本题12分）某车间为了工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作出了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中，画出表中数据的散点图：（坐标系见答题纸）（2）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时？参考公式：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx==-=-∑∑22. （本题12分）已知圆C 的方程为224x y +=. （1）求过点(1,2)P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点(1,2)P ，且与圆C 相交于A,B 两点，若AB =，求直线l 的方程； （3）圆C 上有一动点()000,,(0,)M x y N y ，若Q 为MN 的中点，求点Q 的轨迹方程.。

山西省运城市芮城县第二中学2020年高一数学文月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，在区间上存在一个零点，则的取值范围是A．或B．C．D．参考答案：A2. 已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A．B．C．D．参考答案：B，∴，，∴．选．3. 圆在点处的切线方程为（）A．B．C．D．参考答案：D略4. 设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：A【考点】两角和与差的正切函数；根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．5. 已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（2，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的单调区间．【分析】本题必须保证：①使log a（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故答案为：B．6. 函数的定义域为（）A.(,+∞)B.C.(, +∞)D.(- ∞, )参考答案：A略7. 在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）C8. 已知函数是奇函数，则的值为（）A.2013B.2012C.2011D.2010参考答案：A略9. 已知集合,下列关系中正确的为（）A．．B． C．． D．．参考答案：D10. 已知正实数m，n满足，则mn的最大值为（）A．B．2 C. D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 1求值：= .参考答案：－112. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①是等边三角形；②；③三棱锥的体积是；④AB 与CD所成的角是60°。

2019学年山西省高一3月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知角是第二象限角，角的终边经过点 ,且 ,则（）A. B. C. D.2. 已知扇形的周长为 12 ，面积为 8 ，则扇形圆心角的弧度数为（）A . 1 ________B . 4C . 1或4 ________D . 2或43. 下列不等式中，正确的是（）A. B.C. D.4. 若，，则A． B．________ C． D．25. 已知则的值等于（）A. B. C. D.6. 已知则的值为( )A. B. C. D.7. 函数的单调减区间为（）A. B.C. D.8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的( )A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,所得图象再向左平移个单位长度.B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度.C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移个单位长度.D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位长度.9. 设函数的图像关于直线对称,它的周期是 ,则以下结论正确的个数（）（1）的图象过点（2）的一个对称中心是（3）在上是减函数（4）将的图象向右平移个单位得到函数的图象A. 4B. 3C. 2D. 110. 定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则与的大小关系是( )A. B.C. D.二、填空题11. 已知角的终边经过点，则角为第 __________ 象限角，与角终边相同的最小正角是 __________ .．12. 求函数在区间上的值域 _________ ．13. 函数部分图象如图所示,为图象的最高点, 、为图象与轴的交点,且为正三角形.的终边经过点，则= ________ = ________ ．14. 已知函数， .若对于区间上的任意一个，都有成立，则的取值范围 _____________三、解答题15. （1）已知，求的值.（2）求函数定义域:16. 已知为第三象限角，．（1）化简（2）若，求的值.17. 函数的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求直线与函数的图象在内所有交点的坐标．18. 已知（1）若得两根分别为某三角形两内角的正弦值，求的取值范围；（2）问是否存在实数，使得的两根是直角三角形两个锐角的正弦值。

2019-2020学年山西省芮城县高一下学期3月线上月考数学试题一、单选题1．300-o 化为弧度是（ ） A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-o2．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．C C =B ∪ B ．B A C =⋂C ．A C ⊆D ．A B C ==【答案】A【解析】由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，A 与C 的交集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可． 【详解】{A =Q 第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90︒的角}， {B C ∴⋃=小于90︒的角}C =，即B C ⊂，B A ⊂，则B 不等于A C I ，如330A C -∈⋂o ，但是它不是锐角；A 不是C 的子集，如390A ∈o 但是390C ∉o .三集合也不相等. 故选：A ． 【点睛】本题考查了集合的运算和关系，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90︒的角表示的意义是解本题的关键．3． 如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++u u u v u u u v u u u v=( )A ．AB u u u v B ．AC u u u vC ． AD u u u v D ．BD uuu v【答案】B【解析】由题意，AO OB AD AB AD AC ++=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B. 4．若点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A．2B ．12C ．12-D．2-【答案】D【解析】试题分析：因为551(sin,cos )(,662ππ=，所以sin α==D ． 【考点】任意角的三角函数值． 5．设322sin,cos ,tan 555a b c πππ===，则( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可． 【详解】 sin35π＝cos （2π﹣35π）＝cos （﹣10π）＝cos 10π， 而函数y ＝cosx 在（0，π）上为减函数，则1＞cos10π＞cos 25π＞0，即0＜b ＜a ＜1，tan 25π＞tan 4π＝1，即b ＜a ＜c ， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题.6．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期是，故先排除选项D ；又对于选项A ：，对于选项B ：，故A 、C 均被排除，应选B.7．已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A ．3 B ．12 C ．22D ．3 【答案】D【解析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以3sin α=. 故选D.【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题. 8．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．35C ．35-D ．45-【答案】D 【解析】∵4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴4sin ?cos 36265sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D9．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b vv|=|，则a b =v v ；③若AB DC =u u u v u u u v ，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m n =v v ，n k =v v ，则m k =v v ；⑤若//a b v v ，//b c v v ，则//a c v v ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是 （ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a b =v v ，方向不确定，则a v 、b v不一定相同，∴②错误；对于③，若AB DC =u u u v u u u v ，AB u u u r 、DCu u u r 不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m n =v v，n k =v v ，则m k =v v ，④正确；对于⑤，若//a b v v ，//b c v v ，当0b =r r 时，//ac v v 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C. 10．函数sin(2)6y x π=-的单调递增区间是（ ）A ．[2,2],63k k k Z ππππ-+∈B ．5[2,2],36k k k Z ππππ++∈ C ．[,],63k k k Z ππππ-+∈ D ．5[,],36k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】【详解】 由题得sin(2)6y x π=--，所以函数sin(2)6y x π=-的单调递增区间就是函数sin(2)6y x π=-的减区间.令3222,,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 25222,,33k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈5,,36k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈所以函数的增区间为5[,],36k k k Z ππππ++∈. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．将函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．1sin2y x = B ．1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)=y=sin(12x －6π)，故选C12．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数()sin 0,0,02I A t A ωϕωϕπ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则当1100t =秒时，电流强度是（ ）A ．10安B ．5安C ．53D ．-5安【答案】D【解析】根据所给函数图像,即可求得函数()sin I A t ωϕ=+的解析式,再代入1100t =即可求解. 【详解】根据函数图像可知,10A =413003002T -=,所以解得150T = 由周期公式2T πω=代入可得22100150Tππωπ=== 所以函数()10sin 100I t πϕ=+将1,10300⎛⎫⎪⎝⎭代入可得11010sin 100300πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭则2,32k k Z ππϕπ+=+∈由02πϕ<<可知当0k =时解得6π=ϕ 所以函数10sin 1006I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭当1100t =时,代入可得110sin 1001006I ππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ 10sin 6ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11052⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭故选:D 【点睛】本题考查了根据部分函数图像求三角函数的解析式,注意代入最高点或最低点求ϕ的值即可,属于基础题.二、填空题13．化简：AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=__________.【答案】AB u u u r【解析】利用向量运算的结合律和线性运算化简即得解. 【详解】原式=()0AB BD DA BC CA BA AB ++-+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r .故答案为：AB u u u r【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．函数y =的定义域是____________．【答案】2k ,2k 62ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【解析】解不等式组2sin 10cos 0x x -≥⎧⎨≥⎩即得解.【详解】 由题得2sin 10cos 0x x -≥⎧⎨≥⎩，所以52266,22+22k x k k Z k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪∈⎨⎪-+≤≤⎪⎩. 所以2k ,2k 62x ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.所以函数的定义域是2k ,2k 62ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：2k ,2k 62ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．已知函数()2sin()0y x ωθθπ=+<<为偶函数，其图象与直线2y =的两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则函数的解析式为____________． 【答案】2cos2y x =【解析】由函数是偶函数及θ的范围求出θ的值，再由21||x x -的最小值为π得到w 的值．从而得到函数的解析式． 【详解】2sin()y x ωθ=+Q 为偶函数2k πθπ∴=+，k Z ∈ 又02πθπθ<<∴=Q由诱导公式得函数2cos y x ω=又Q 其图象与直线2y =的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若21||x x -的最小值为π∴函数的周期为π 即22cos2y x ω=∴=.故答案为：2cos2y x = 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．以下四个命题：①若α是第一象限角，则sin cos 1αα+>； ②存在α使12sin ,cos 33αα==同时成立； ③若cos2cos2,αα=-则α终边在第一、二象限；④若tan(5)2πα+=-且cos 0,α>则sin()5απ-=. 其中正确命题的序号是__． 【答案】①④【解析】根据三角函数线判断①对，根据平方关系判断②不对，根据三角函数值的符号判断③不对，根据三角函数值的符号、诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简和求值，判断④对，综合可得答案． 【详解】①、αQ 是第一象限角，∴根据正弦和余弦线知，sin cos 1αα+>，故①正确；②、由22sin cos 1αα+=知，不存在角α满足条件，故②不对； ③、|cos2|cos2αα=-Q ，cos20α∴<，即322222k k πππαπ+<<+， ∴3()44k k k Z πππαπ+<<+∈，故③不对； ④、tan(5)2πα+=-Q ，tan 20α∴=-<，再由cos 0α>知，α是第四象限角， 由同角的三角函数的基本关系求出25sin α=-，∴25sin()sin απα-=-=，故④正确，故答案为：①④． 【点睛】本题是有关三角函数的综合题，考查了三角函数线的应用、三角函数值的符号的应用、同角三角函数的基本关系应用，考查了知识的综合应用．三、解答题17．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的三角函数值. 【答案】角α的三角函数值为sinα=,cosα=,tanα=2或sinα=-,cosα=-,tanα=2.【解析】因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0),所以, r=|a|,x=a,y=2a,当a>0时,sinα====;cosα===;tanα=2.当a<0时,sinα====-;cosα===-;tanα=2.综上,角α的三角函数值为sinα=,cosα=,tanα=2或sinα=-,cosα=-,tanα=2.18．设222sin()cos()cos()(),1sin sin()cos ()f παπαπαααπαπα+--+=++---（1）若176πα=，求()f α的值；（2）若α是锐角，且33sin(),25πα-=求()f α的值．【答案】（1）（2）3()4f α=【解析】（1）先利用诱导公式化简得1()tan f αα=，再代入176πα=求值得解；（2）先化简33sin(),25πα-=得35cos α=，即得()f α的值．【详解】（1）因为222sin()cos()cos()()1sin sin()cos ()f παπαπαααπαπα+--+=++---=22(2sin )(cos )(cos )1sin sin cos αααααα----++- =22sin cos cos 2sin sin ααααα++=(2sin 1)cos (2sin 1)sin αααα++ 1tan α=，若176πα=，∴f （176π）=117tan 6π=1tan 6π-= （2）若α是锐角，且33sin 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，∴4sin 5α=，sin 4tan cos 3ααα==，∴3()4f α=． 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<，求下列各式的值： （1）sin cos αα-； （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）43（2）2227-【解析】（1）先用诱导公式将()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<转化为sin cos 3αα+=，两边平方得72sin cos 9αα⋅=-，再根据,2παπ<<确定sin 0,cos 0αα>< ，最后再用平关系求解sin cos αα-.（2）先用诱导公式将33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为33cos sin αα-，再用立方差公式展开()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，代入求解.【详解】（1）因为()()()sin cos 0παπααπ--+=<<，所以sin cos αα+=.， 两边平方得72sin cos 9αα⋅=-， 又因为,2παπ<<所以sin 0,cos 0αα>< ，所以4sin cos 3αα-==. （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33cos sin αα=-， 而33cos sin αα-=()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，所以33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332222=cos sin cos sin cos cos sin sin 27αααααααα-=-++=-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题. 20．已知1tan 2α=，求下列各式的值：（1）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+；（2）22sin 3sin cos 4cos αααα-+. 【答案】（1）110；（2）115【解析】（1）先化简原式为23tan 34tan αα-+，代入1tan 2α=的值即得解；（2）先化简原式为22tan 3tan 41tan ααα-++代入1tan 2α=的值即得解. 【详解】（1） 原式 3223tan 12134tan 10342αα--===++⨯．（2） 原式2222sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα-+=+22tan 3tan 41tan ααα-+=+13442114-+=+115=． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．如图所示，在BOC ∆中，C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB =u u u r u u u r，DC 和OA 交于点E ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r.（1）用a r 和b r 表示向量OC u u u r 、DC u u u r； （2）若OE OA λ=u u u r u u u r，求实数λ的值.【答案】（1）2OC a b =-u u u r r r ，523DC a b =-u u u r r r ；（2）45λ=.【解析】（1）根据平面向量加减运算的三角形法则可得出OC u u u r 、DC u u u r 关于a r 、b r的表达式；（2）利用向量减法的三角形法则可得出()2EC a b λ=--u u u v vv ，设EC kDC =u u u r u u u r ，可建立有关λ、k 的方程组，即可解出实数λ的值. 【详解】（1）由题意知，A 是线段BC 中点，且2233OD OB b ==u u u r u u u r r.2OC OA AC OA BA OA OA OB a b =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ， ()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-u u u v u u u v u u u v v v v v v ；（2）()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--u u u v u u u v u u u v v v v Q v v，由题可得//EC DC u u u r u u u r，且523DC a b =-u u u r r r ，设EC kDC =u u u r u u u r ，即()5223a b k a b λ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭v v v v ，则有22513k k λ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得4535k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，45λ=. 【点睛】本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．已知函数1()sin(2+).62f x x π=+ （1）试用“五点法”画出函数()f x 在区间11[,]1212ππ-的简图；（2）指出该函数的图象可由sin ()y x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ （3）若[,]63x ππ∈-时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值． 【答案】（1）图见解析；（2）见解析；（3）当6x π=时，最大值为72【解析】（1）利用五点法，即将26x π+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；（2）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；（3）1()()sin(2)62g x f x m x m π=+=+++，[6x π∈-，]3π，求此函数的最值可先将26x π+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数()()g x f x m =+的最小值为2，解方程可得m 的值，进而求出函数最大值．【详解】（1）先列表，再描点连线，可得简图．x12π-212π 512π 812π 1112π26x π+2π π32π 2πsin(2)6x π+11- 0y12 32 12 12- 12（2）sin y x =向左平移6π得到sin()6y x π=+， 再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的12变为sin(2)6y x π=+，最后再向上平移12个单位得到1sin(2)62y x π=++．（3）1()()sin(2)62g x f x m x m π=+=+++，[6x π∈-Q ，]3π， 2[66x ππ∴+∈-，5]6π， 1sin(2)[62x π∴+∈-，1]，()[g x m ∴∈，3]2m +， 2m ∴=，max 37()22g x m ∴=+=，当262x ππ+=即6x π=时()g x 最大，最大值为72． 【点睛】本题主要综合考察了三角变换公式的运用、三角函数的图象画法、三角函数图象变换以及复合三角函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。

绝密★启用前山西省芮城县普通高中2020届高三年级下学期3月模拟质量检测数学(理)试题2020年3月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知复数z 满足R i z ∈+2,z 的共轭复数为z ,则=-zz （ ） A. 0 B. 4i C. -4i D.-42、设集合{}R x x x x A ∈<=，5|2,{}1)(log |22<-=x x x B 则=B A I （ ）A.{}52|<<x xB.{}20|<<x xC.{}01|<<-x xD.{}21|<<x x3、已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示,若甲的众数与乙的中位数相等,则图中x 的值为（ ）A.2B.3 C,4 D.64、已知命题p:若a b >则22a b >；命题q:在ABC ∆中,若A>B则sinA>sinB,下列命题为真命题的是（ ）A.q p ΛB. q p Λ⌝C. q p ⌝∧D.q p ⌝⌝Λ5、我国数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何？”则在该问题中,中等级中五等人与六等人所得黄金总数为（ ） A. 31 B. 67 C. 37 D. 766、已知双曲线C: )0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3:1,则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. x y 22±= B. x y 2±= C. x y 22±= D. x y 42±= 7、若)1()21(8-+ax xx 展开式中含21x 项的系数为21,则实数a 的值为（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-28、若2log log log 532-<==z y x 则（ ）A.2x<3y<5zB.5z<3y<2xC.3y<2x<5zD.5z<2x<3y9、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c,若6)(22+-=b a c ,3π=C ,则ABC ∆的面积是（ ） A.3 B.239 C.233 D. 33 10、已知点F 为抛物线x y 42=的焦点,O 为原点,点P 是该抛物线准线上一动点,若点A 在该抛物线上且AF=5,则PA+PO 的最小值为（ ） A. 5 B.52 C.13 D.13211、四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上,该四棱锥三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD 的中点,直线EF 被球面所截得的线段长度为22,则该球的表面积为（ ）A.π9B. π3C. π22D. π1212、设函数f(x)的导函数为)(,x f ,f(0)=1,且 3)()(3,-=x f x f ,则 )()(4,x f x f >的解集是（ ）。

山西省 2020 版高一下学期数学 3 月月考试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019 高一下·哈尔滨月考) 在中，点 在 边上，且，，则的值为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 已知 A（0，3），B（2，0），C（﹣1，3），与 +2 方向相反的单位向量是（ ） A . （﹣1，1） B . （0，﹣1） C . （0，1） D . （1，﹣1）3. （2 分） (2017·黄陵模拟) 已知平面向量，，且，则A.4 B . ﹣6C . ﹣10 D . 104. （2 分） (2020 高一下·怀仁期中) 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若=（ ） ，第 1 页 共 17 页则 A . 2017 B . 2018 C . 2019 D . 2020的值为（ ）5. （2 分） 已知非零向量 与 满足（ ）· =0,且·,则△ABC 为（ ）A . 等腰非等边三角形B . 等边三角形C . 三边均不相等的三角形D . 直角三角形6. （2 分） (2020·化州模拟) 在，，中，三个内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若 ，则 （ ）A.B. C.D.7. （2 分） (2020 高一下·永济期中) 已知平面向量 ， 满足 向上的投影为（ ）A.1B.2第 2 页 共 17 页，，则 在 方C.3 D.4 8. （2 分） 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 由增加的长度决定9. （2 分） (2019 高一下·宁波期中)A.若, 则 有一解中，A= ，b=2，以下错误的是（ ）B.若, 则 有两解C.若 D.若, 则 有两解 , 则 有两解10. （2 分） (2020·海南模拟) 已知锐角的外接圆的圆心为 ，半径为 ，且，则 等于（ ）A. B. C.D.二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11. （1 分） (2017·黑龙江模拟) 设满足第 3 页 共 17 页且（ + ）⊥ ，则（ ﹣ ）• 的值为________．12.（1 分）(2018 高三上·贵阳月考) 在中，角 , , 的对边分别为 , , ，若，，，，则角 的大小为________．13. （1 分） (2019·福建模拟) 已知向量 的值为________．14.（1 分）(2019 高三上·常州月考) 如图，，则________．，如果向量 中， 在边 上，且与 垂直，则，，15. （1 分） (2020 高三上·北京月考) 在，则的最大值为________.中，角 , , 所对应的边分别为 , , ，若16. （1 分） (2017 高一下·盐城期末) 在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2=b2+bc， 则 的取值范围是________．17. （1 分） (2017·深圳模拟) 已知平面向量 =（1，2）， =（2，﹣m），且，则=________．三、 解答题 (共 5 题；共 55 分)18. （10 分） (2020·新沂模拟) 已知分别是三个角所对的边，且满足．（1） 求证：；（2） 若,，求的值．19. （15 分） (2017 高一下·邢台期末) 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BD 上一点，且=2．第 4 页 共 17 页（1） 试用向量 ， 表示向量 ， ；（2） 若 • =1，AD=1，AB= ，求 • ． 20. （10 分） (2016 高一上·无锡期末) 已知△ABC 中． （1） 设 • = • ，求证：△ABC 是等腰三角形；（2） 设向量 =（2sinC，﹣ ）， =（sin2C，2cos2 ﹣1），且 ∥ ，若 sinA= ，求 sin （ ﹣B）的值．21. （5 分） (2019 高二上·黄石月考) 在锐角中角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且.（1） 求角 的大小；（2） 若，求面积的最大值.22. （15 分） (2018 高一下·唐山期末) 如图，在梯形中，，，.（1） 求；（2） 平面内点 在的上方，且满足，求的最大值.第 5 页 共 17 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：第 6 页 共 17 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、第 7 页 共 17 页考点： 解析：答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点： 解析：第 8 页 共 17 页答案：9-1、 考点：解析： 答案：10-1、 考点：解析：二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)答案：11-1、 考点：第 9 页 共 17 页解析： 答案：12-1、 考点：解析： 答案：13-1、 考点： 解析：答案：14-1、第 10 页 共 17 页考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共55分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

山西省运城市芮城县2020届高三下学期3月月考数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足2z i R +∈,z 的共轭复数为z ，则z z -=（ ） A. 0 B. 4iC. 4i -D. 4-『答案』C『解析』由题意，设2z i a R +=∈，可得2i z a =-， 则2(2)4z z a i a i i -=--+=-. 故选：C .2. 设集合{}2|5A x x x x R =<∈，，{}22|log ()1B x x x =-<则A B =（ ）A. {}|25x x <<B. {}|02x x <<C. {}|10x x -<<D. {}|12x x <<『答案』D『解析』由题意，集合{}2|5,{|05}A x x x x R x x =<∈=<<， 集合{}22|log ()1{|12}B x x x x x =-<=<<， 所以AB ={}|12x x <<.故选：D.3. 已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6『答案』C『解析』根据茎叶图可知，甲的众数为23，乙的中位数为11(2220)(42)22x x x =++=+， 因为甲的众数与乙的中位数相等，即1(42)232x +=，解得4x =.故选：C.4. 已知命题:p 若>b a 则22b a >；命题:q 在ABC 中，若A B >则sin sin A>B ,下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B.⌝∧p q C. ⌝∧p q D. ⌝⌝∧p q『答案』B『解析』由题意，对于命题p ，当1,0a b =-=时，此时22b a <，所以命题p 为假命题，则p ⌝为真命题；对于命题q ，由A B >，可得a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以命题q 为真命题，则命题q ⌝为假命题，由复合命题的真值表，可得p q ∧为假命题，⌝∧p q 为真命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为假命题. 故选：B5. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（ ） A.13B.76C.73D.67『答案』C『解析』设n a 为第n 等人的得金数，则{}n a 为等差数列， 由题设可知1234a a a ++=，89103a a a ++=，故294,13a a ==， 而562973a a a a +=+=，故选C ． 6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之.比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y =±B. y =C. y x =D. 4y x =±『答案』A『解析』如图所示，双曲线顶点为A ，焦点为F ，过A,F 作渐近线的垂线，垂足为B ，C ，所以OAB 与OFC 相似（O 为坐标原点），又由题意知31CF AB =，所以3OF cOA a==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即ba=±y =±，故选A.7. 若81(1)2ax x ⎫-⎪⎭展开式中含12x 项的系数为21，则实数a 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2『答案』A『解析』812x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为83821881122r rrrrr r T C C xx --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,1,2,3,4,5,6,7,8r =，所以令831322r r -=-⇒=， 此时含12x 的项的系数为338172C a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又令*8317223r r N -=⇒=∉，舍去， 所以含12x 项的系数为7a ，所以721a =，得3a =.故选A. 8. 若235log log log t x y z ===，且2t <-则（ ） A. 523z x y << B. 532z y x << C. 325y x z <<D. 235x y z <<『答案』B『解析』235log log log t x y z ===，2t x ∴=，122t x +=，3t y =，133t y +=，5t z =，155t z +=，2t <-，10t ∴+<，1t y x +∴=单调递减，111532t t t +++∴<<， 532z y x ∴<<．故选：B ．9. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22()6c a b =-+，且,,A C B 成等差数列，则ABC 的面积是（ ）A.B.C. 3D.『答案』A 『解析』,,A C B 成等差数列，2C A B ∴=+，又A B C π++=，3C π∴=，222222cos c a b ab C a b ab ∴=+-=+-，①又2222()626c a b a b ab =-+=+-+，② 由①②得6ab =，11sin 62222ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=， 故选A.10. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且5AF =，则PA PO +的最小值为（ ）A.B. C.D. 『答案』D『解析』不妨A 为第一象限中的点，设(),A a b （0b >）.由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=，故4a =，所以()4,4A ，A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故选D.11. 四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为( )A 9πB. 3πC.D. 12π『答案』D『解析』该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体截得, 则正方体外接球的直径即为PC .由直线EF 被球面所截得的线段长为可知正方形ABCD 对角线AC的长为 可得正方形ABCD 的边长2a =,在PAC ∆中,PC ==球的半径R ,∴22=4412S R πππ=⨯=表. 故选:D.12. 设函数f (x )的导函数为'()f x ，f (0)=1，且3()'()3f x f x =-,则4()'()f x f x >的解集高中数学月考试题 是( ) A ln 4(,)3+∞ B. ln 2(,)3+∞C. )+∞D. )+∞ 『答案』B『解析』构造函数()()31xf xg x e+=，()01f =，故()()00102f g e +==. ()()()()()()()33233'31'33'0x xxx f x e f x e f x f x g x ee -+--===，故()g x 为常函数. 故()()312xf xg x e+==，()321x f x e =-，()3'6xf x e =， 4()'()f x f x >，即33846x x e e ->，解得ln 23x >. 故选：B .二、填空题：本大题共四个小题，每小题5分，共20分.13. 知向量,a b 的夹角为120，且2,3a b ==，则向量a b +在向量a 方向上的投影为__________． 『答案』12『解析』向量a b +在向量a 方向上的投影为()cos ||||2a b a a b a 423120122a a ︒+•+•+⨯⨯===所以，向量a b +在向量a 方向上的投影为1214. 已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______『答案』2()tan()9g x x π=+. 『解析』由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得.13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 15. 已知函数(3)3,7,()(6),7,a x x f x a x x --≤⎧=⎨->⎩数列{}n a 满足()(*)n f n n a =∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数的取值范围是 ． 『答案』(2,3)16. 如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB PB 的最大值是_______．『解析』动点P 到直线AB ∴动点P 落在以AB 的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分 设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C 到AB==则P 到ABP 为AC 的中点又1422cos 105ABBAC AC ∠===在BAP ∆中，由余弦定理可得PB =.三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，内角、、A B C 满足()22310cos B C cosA ++-=, （1）求角A 的大小；（2）求关于x 的不等式2sin(2)1x A -≤在[0,]π的解集.解：（1）由题意，知()22310cos B C cosA ++-=，可得()][2310cos B C cosA ++-=， 由余弦的倍角公式，化简得22cos ()13cos 10B C A +-+-=， 即22cos 3cos 20A A +-=，解得1cos 2A =， 又因为0A π<<，所以3A π=. （2）由题意，令23x t π-=且5,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为2sin(2)1x A -≤，即1sin 2t ≤，解得25,,3333t ππππ⎡⎤⎡⎤∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即252,,33333x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得0,,32x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 18. 在平面多边形ABCDEF 中，四边形ABFE 是边长为2的正方形，四边形DCFE 为等腰梯形，G 为CD 的中点,2,DC FE DE CF EF === ,现将梯形DCFE 沿EF 折叠，使平面DCFE ⊥平面ABFE .（1）求证：EG ⊥面BDF ； （2）求CB 与平面GEB 成角的正弦值.（1）证明：连接GF ，由已知得//,2DG EF DG DE ==， 可得四边形DEFG 为菱形，故EG DF ⊥，又因为平面DCFE ⊥平面ABFE ，且交线为EF ，可得BF EF ⊥， 由线面垂直的判定定理，可得BF ⊥平面DCFE ， 又由EG ⊂平面DCFE ，所以BF EG ⊥， 又由BFDF F =，所以EG ⊥平面BDF .（2）解：取EF 的中点O ，连接OG ，则OG ⊥面ABFE ,过O 作//OH BF ，则OH ⊥面DCFE ，以O 为原点OH 为x 轴，OF 为y 轴，OG 为Z 轴建系，则(0,1,0),(2,1,0),(0,G E B C -，可得(2,1,CB =-，(0,1,3),(2,2,0)EG EB == 设面GEB 的法向量(,,)m x y z =，则000220m EG y m EB x y ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒+=⎪⎩，令1y =-，可得(1,1,3m =-，则42cos ,14||||m CB m CB m CB ⋅<>==⋅，即直线CB 与平面EB 所成角的正弦值为14.19. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F 点P 是椭圆上任意一点，且12||||F P P F ⋅的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线221412x y -=的离心率互为倒数．（1）求椭圆方程；（2）设点3(1,)2P -，过点P 作直线12,l l 与圆2223(1)02()x y r r ++=<<相切且分别交椭圆于,M N ,求直线MN 的斜率．解：（1）由题意，椭圆的定义，可得12||||2PF PF a +=， 则221212||||||||()42PF PF PF PF a +⋅≤==，解得2a =，由双曲线离心率为2，可得椭圆离心率为12，即12c a =，即2a c =， 所以1c =，又由2223b a c =-=，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）显然直线12,l l 的斜率存在，设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由于直线12,l l 与圆2223(1)02()x y r r ++=<<相切，则12k k =-，直线113:(1)2l y k x -=+， 联立方程组2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=，所以1112138()2134k k x k +-=-+，得211121412334k k x k --+=+，同理，当2l 与椭圆相交时，可得211221412334k k x k -++=+，所以2211111221112122441234123343434k k k x k k x k k k ---+-++-=-=+++，而121121121()21234y y k x x k k k -=+++=，所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==--20. 已知函数()ln(),f x x x a a R =-+∈.（1）对定义域内的任意x ,都有()0f x >，求a 的取值范围；（2）若()f x 在1x =处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数n ，222111(1)(1).(1),23e n+++<其中e 为自然对数的底数． 解：（1）由函数()ln(),f x x x a a R =-+∈， 则11()1x a f x x a x a+-'=-=++，其中(,)x a ∈-+∞， 令()0f x '>，解得1x a >-，令()0f x '<，解得1x a <-， 则()f x 在(),1a a --单调递减，在(1),a -+∞单调递增， 所以()f x 的最小值为()110f a a -=->，所以1a <.（2）因为()f x 在1x =处取得极值，可得()01f '=，解得0a =，所以()ln f x x x =-， 由（1）可得，当1x =时，函数()f x 取得最小值()11ln11f =-=，所以()10f x -≥，即ln 10x x --≥，即1ln x x -≥，当且仅当1x =时等号成立，令211x n =+，且2,n n N +≥∈，则有2211ln(1)n n +<，可得222222111111ln(1),ln(1),,ln(1)2233n n+<+<+<，相加得222222111111ln(1)ln(1)ln(1)2323n n++++++<+++，又由222111111231223(1)n n n+++<+++⨯⨯-⨯，因为1111111111111223(1)2231n n n n n+++=-+-++-=-<⨯⨯-⨯-， 可得222111ln(1)(1)(1)123n +++<，所以222111(1)(1)(1)23e n ++⋯⋯+<. 21. 某人某天的工作是驾车从A 地出发，到,B C 两地办事，最后返回A 地，,,A B C ,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表若在某路段遇到拥堵，则在该路段行驶时间需要延长1小时． 现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午从C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办完事后返回A 地． （1）若此人早上8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率．（2）甲乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后更早返回A 地？请说明理由.解：（1）由题可知能按时返回的充要条件是拥堵路段不超过两段，则不能按时返回时有三段路段拥堵，二者互为对立事件，记“不能按时返回为事件A ”则()0.30.20.90.054P A =⨯⨯=， 所以能够按时返回的概率()0.946P A =，（2）设某段路正常行驶时间为x ,拥堵的概率为p ， 则该路段行驶时间x 的分布列为故(1)(1)Ex x p x p x p =-++=+，上午AB BC CA 、、路段行驶时间期望值分别为1．3小时2．2小时、3．3小时， 下午AB BC CA 、、路段行驶时间期望值分别为1．6小时2．7小时3．9小时， 设采用甲方案所花费总行驶时间为Y ,则 1.3 2.2 3.97.4EY =++=小时， 设采用乙方案所花费总行驶时间为Z ,则EZ =3．3+2．7+1．6=7．6小时， 因此采用甲方案能更早返回.(二)选考题（共10分，请在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ= （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为(2,2),直线l 交曲线C 与,A B 两点，求PA PB +的取值范围。