我的微分算子法总结

微分算子级数法在数学分支中的应用
微分算子级数法是指将微分算子表示为级数的形式，然后利用级数的性质来进行推导和计
算的一种方法。

在数学的不同分支中，微分算子级数法都有其具体的应用。

1. 数学分析中的泛函分析：微分算子级数法可以用来研究线性泛函方程，如微分方程、偏微分
方程、积分方程等。

通过将微分算子展开成级数的形式，可以将原问题转化为对级数的研究，
从而得到解的存在性、唯一性、收敛性等性质。

2. 函数逼近问题：微分算子级数法可以用来研究函数的逼近问题，如傅里叶级数、泰勒级数等。

通过将微分算子展开成级数的形式，可以将原函数表示为级数的形式，从而利用级数的性质来
进行逼近计算。

3. 物理学中的偏微分方程：微分算子级数法可以用来研究物理学中的偏微分方程，如热传导方程、波动方程、亥姆霍兹方程等。

通过将微分算子展开成级数的形式，可以将原偏微分方程转
化为对级数的研究，从而得到解的性质和特征。

4. 数值方法：微分算子级数法可以用来开发数值计算方法，如微分方程的数值解法、积分方程
的数值解法等。

通过将微分算子展开成级数的形式，可以将原问题转化为对级数的近似计算，
从而得到原问题的数值解。

总之，微分算子级数法在数学分支中的应用非常广泛，涉及到数学分析、泛函分析、函数逼近、物理学等多个领域，为研究问题提供了一个非常有力的工具和方法。

常系数微分算子定义微分算子符号 d^n=\frac{d^n}{dx^n}，则二阶线性微分方程y''+ay'+by=f(x) \\可以写成(d^2+ad+b)y=f(x) \\记多项式 p(x)=x^2+ax+b，则又可以写成p(d)y=f(x) \\指数型代换法则描述p(d)e^{\alpha x}=p(\alpha)e^{\alpha x} \\\alpha 为复数．证明显然等价于证明d^n e^{\alpha x}=\alpha^n e^{\alpha x} \\而这是显然的．指数输入定理描述若 p(d)y=e^{\alpha x}，则y_p=\frac{e^{\alpha x}}{p(\alpha)}(while\p(\alpha)\neq0) \\其中 y_p 表示一个特解．证明只需讲 y_p 代入验证是方程的解即可，由代换法则\begin{align*} p(d)y_p=&p(d)\frac{e^{\alphax}}{p(\alpha)}\\ =&\frac{p(\alpha)e^{\alphax}}{p(\alpha)}\\ =&e^{\alpha x} \end{align*} \\证毕．例题求微分方程y''-y'+2y=10e^{-x}\sin x \\解：先将方程复化(d^2-d+2)\tilde{y}=10e^{(-1+i)x} \\方程特解 y_p 即为 \tilde{y}_p 的虚部，由指数输入定理\begin{align*} \tilde y_p&=\frac{10e^{(-1+i)x}}{(-1+i)^2-(-1+i)+2}\\ &=\frac{10e^{(-1+i)x}}{-2i+1-i+2}\\ &=\frac{10e^{-x}(\cos x+i\sin x)}{3-3i}\\&=\frac{10}{6}(1+i)e^{-x}(\cos x+i\sin x)\\\end{align*} \\因此，y_p=\frac{5}{3}e^{-x}(\sin x+\cos x) \\那么如果 p(\alpha)=0 呢？指数移位法则为与上面的情况区分，下面不再写 \alpha 而是 a，但是 a仍然可以是复数．描述p(d)e^{ax}u(x)=e^{ax}p(d+a)u(x) \\证明利用数学归纳法并且与代换法则相同，等价于证明单个算子的情况，即d^ne^{ax}u(x)=e^{ax}(d+a)^n u(x) \\在不引起歧义的前提下，下面将 u(x) 写成 u 而不影响理解．（1）当 n=1 时d e^{ax}u=ae^{ax}u+e^{ax}du=e^{ax}(d+a)u \\所以当 n=1 时该法则正确．（2）当 n=k-1 时成立\begin{align*} d^ke^{ax}u&=d(d^{k-1}e^{ax}u)\\&=d(e^{ax}(d+a)^{k-1}u)\\ &=e^{ax}(d+a)^ku \end{align*} \\证毕．一般性结论首先来看二阶微分方程．单根若 p(a)=0 且 a 是单根，则有y_p=\frac{xe^{ax}}{p'(a)} \\证明因为 a 是 p(d) 的一个根，所以可以设p(d)=(d-a)(d-b) (a\neq b) \\因此p'(d)=d-a+d-b \\也即p'(a)=a-b \\代入以检验解 y_p 的正确性p(d)\frac{e^{ax}x}{p'(a)}=\frac{e^{ax}(d-b-a)dx}{p'(a)}=\frac{e^{ax}(a-b)}{(a-b)}=e^{ax} \\证毕．二重根若 a 是二重根，则有y_p=\frac{x^2e^{ax}}{p''(a)} \\证明与前一种类似，设 p(d)=(d-a)^2 进行检验即可．例题求y''-3y+2y=e^x \\的特解．解：p(d)=d^2-3d+2 \\a=1 是单根（一重根），所以y_p=\frac{xe^x}{p'(1)}=\frac{xe^{x}}{2-3}=-xe^x \\更一般方程和 n 重根由前面两个例子，其实可以猜出：当 a 是 n 重根时y_p=\frac{e^{ax}x^n}{p^{(n)}(a)} \\其实将 p(d) 理解为 p^{(0)}(d)，则上述结论为一般性结论，适用于任何情况．证明和前面的思路其实类似，关键在于怎么表示 p(d) 已提取对我们最有利的部分．设p(d)=(d-a)^n \tilde{p}(d) \\则p^{(n)}(d)=n!\tilde p(d)+(d-a)a(d) \\其中，a(d) 是关于 d 的多项式，可以看出来p^{(n)}(a)=n!\tilde p(a) \\将 y_p 代入方程检验\begin{align*}p(d)\frac{e^{ax}x^n}{p^{(n)(a)}}=&\frac{e^{ax}p(d+a)x^ n}{p^{(n)}(a)}\\ =&\frac{e^{ax}\tilde p(d+a)d^n x^n}{n! \tilde p(a)}\\ =&\frac{e^{ax}\tilde p(d+a)\times n!}{n! \tilde p(a)}\\ =&\frac{e^{ax}\tilde p(a)\times n!}{n! \tilde p(a)}\\ =&e^{ax} \end{align*} \\结语在网上可以找到的算子法本就少之又少，大部分又只重结论，云里雾里，还需要多记很多麻烦的情况．例如三角函数，但是实际上只需要将三角函数复化就可以用指数的形式轻松解决，最后其实就只有一个公式．这次先谈到这，读者可以再多思考并做一些练习尝试，下次我再介绍 f(x) 为多项式的情况．第一次写文章，希望能帮助大家.。

微分算子法多项式除法
微分算子法，也称为Heaviside除法，是一种用微分算子来实
现多项式除法的方法。

它基于这样的观察：两个多项式相除的结果可以表示为一个常数乘以指数函数的线性组合。

具体步骤如下：
1. 将被除式和除式表示为微分算子的形式。

例如，对于被除式p(x)和除式q(x)，将它们表示为P(D)和Q(D)，其中D是微分
算子。

2. 将除式Q(D)的次数提取出来。

将Q(D)表示为Q(D) = D^m + a_(m-1)D^(m-1) + ... + a_1D + a_0，并求出m的值。

3. 计算常数乘以指数函数的线性组合。

根据多项式除法的原理，p(x)/q(x)可以表示为：
p(x)/q(x) = C_0 + C_1e^x + C_2e^(2x) + ... + C_me^(mx)
其中，C_0, C_1, ..., C_m是待求的常数。

4. 求解线性组合中的常数。

将p(x)/q(x)代入原方程，并依次对
x求导m次，得到一系列的待定方程。

利用这些方程，可以求解出C_0, C_1, ..., C_m的值。

5. 得到多项式除法的结果。

将求解出的C_0, C_1, ..., C_m带入线性组合中，即可得到p(x)/q(x)的表达式。

需要注意的是，微分算子法多项式除法适用于特定情况，即解决形如常系数线性常微分方程的问题。

在应用这种方法时，要保证被除式和除式都具有相同的形式，即都可以表示为微分算子的形式。

微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。

下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。

1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。

通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。

2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。

主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。

有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。

有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。

3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。

通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。

4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。

通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。

求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。

算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。

但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。

总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。

通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。

算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。

二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。

具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则 方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！ 记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。

微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。

关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。

因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。

我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。

(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。

则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。

谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即E I Δ=−容易发现()()mE f x f x m =+，所以00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。

以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。

实际上还可以进一步挖掘联系。

算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。

深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。

这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。

考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子d D dx =， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。

算子方法在微分方程中的应用微分方程是一类常微分方程，它描述了一个函数的变化，并且可以用来描述物理系统的行为。

算子方法是一种用于求解微分方程的数值方法，它通过将微分方程转换为一组算子方程来求解。

算子方法可以用来求解各种类型的微分方程，包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。

算子方法可以用来求解各种类型的微分方程，包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。

它可以用来求解描述物理系统的微分方程，如动力学方程、热力学方程、电磁学方程等。

算子方法可以用来求解复杂的微分方程，如拟静止状态方程、拟稳定状态方程、拟热力学方程等。

此外，算子方法还可以用来求解描述量子力学系统的微分方程，如Schrödinger方程、Dirac方程等。