微分算子法典型例题讲解

高阶常微分方程的微分算子法

3.求解 39130y y y y ''''''-++=

解 写成 32

(3913)0D D D y -++= 或 2

(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2

(1)(413)0D D D +-+=有根

1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x

e x ，

2sin 3x e x 从而通解是

22123cos3sin 3x x x

y C e C e x C e x -=++

4.求(4)

45440y

y y y y ''''''-+-+=之通解.

解 写成

432

(4544)0D D D D y -+-+= 或 22

(2)(1)0D D y -+=

特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是

22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解

21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++

5.求1

(cos )y y x -''+=的通解

解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程

0y y ''+=的通解，写成2

(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+

设原方程有特解形为

*12()cos ()sin y C x x C x x =+

其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组

121

12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )

C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩

或

121

12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )

C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩

(方程组右端为原方程非齐次项1

(cos )x -)，解得

1sin ()cos x

C x x

'=-，2()1C x '=

或 1()ln cos C x x =，2()C x x =

最后得通解为

1*()()()y x y x y x =+

12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x

=+++

注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程 (1)(4)

24250y

y y y y ''''''++--=

(2)4850y y y '''-+=

解 (1)12x x

y C e C e -=+

34(cos 2sin 2)x

e C x C x -++

(2)12(cos

sin )22

x

x x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题

(1)330;y y y y ''''''-+-=

(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===

(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+====

解 (1) (1)x

y e x =+

(2) x

y x e -=+

8.求解非齐次方程

21

(0)y y y x x x

'''+

+=≠ 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程2

0y y y x

'''+

+=的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解 12sin cos ,x x

y y x x

== 令

12sin cos ()()

()x x

y x C x C x x x

=+ 考虑方程组

121

2sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x x

x x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩

最后解得

1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为 1

2sin cos 1

()x x y x C C x x x

=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的

是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免

使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法

9.求解

2

56y y y x '''++=

解 写成 2

(2)(3)D D y x ++=

故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为

23112()x x

y x C e C e --=+

今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*

()y x 满足

*2

(2)(3)D D y x ++=

今用下法求出*

()y x

*21

()(2)(3)y x x D D =

++

2

22

22222

2

2222

22222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111

(()())224111(()())

33911122()()

223391561x D D x x D D x x D D

D D x D D x D D x D D x

x x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +

通解为

*123212()()()

1519618108

x

x

y x y x y x C e

C e

x x --=+=++-+

注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是