第二课时 等式性质与不等式的性质

2.1等式性质与不等式性质第二课时 等式性质与不等式性质【学习目标】1、掌握不等式的性质．2、能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±； 性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=．二、学生探索、尝试解决问题2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质1 对称性 a b >⇔性质2 传递性 a b >，b c >⇒性质3 可加性 如果a b >，c R ∈⇔，性质4 可乘性 如果a b >，0c >⇒如果a b >，0c <⇒性质5 同向可加性 如果a b >，c d >⇒性质6 同向同正可乘性 如果0a b >>，0c d >>⇒性质7 乘方性 如果0a b >>⇒ ．(条件2n N n ∈≥，)问题3 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解，对不等式的性质，你能用文字语言来表述吗？三、运用规律，解决问题例1 对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b> C ．若0a b <<，则b a a b> D ．若a b >，11a b >，则0a >，0b <例2 已知0a b >>，0c <，求证c c a b>．四、变练演练，深化提高问题4 小明同学做题时进行如下变形对吗？请说明理由．23b <<∵，11132b <<∴． 又68a -<<∵，4a b<∴-2<．问题5 由68a -<<，42b -<<，两边分别相减得26a b -<-<，你认为正确吗？问题6 你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？24a b <-<∵，42b a -<-<-∴．又-22a b <+<∵，03a <<∴，30b -<<．33a b -<+<∴．这怎么与22a b -<+<矛盾了呢？例3 已知22αβ-≤<≤ππ，求+2αβ，-2αβ的取值范围．五、信息交流，教学相长问题7 不等式的哪些性质具有双向性，哪些性质是只有单向性的呢？当堂检测1. 用不等号>“”或“”<填空： (1)如果b a >，c d <，那么c a -____b d -；(2) 如果0a b >>,0c d <<，那么ac ____bd ；(3) 如果0a b >>，那么21a _____21b ； (4) 如果0a b c >>>，那么c a _____c b ． >2．下列命题为真命题的是( )A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b <3. 已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的取值范围．4. 已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证e e a c b d >--．分层作业《课时分层作业》（九）等式性质与不等式性质P175必做题1-14选做题15。

第二课时 等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质；2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为a b <a ＋c b ＋c，其中a <b ，c >0.1.等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b b <a .性质2 如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c a >c . 性质3 如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).教材拓展补遗[微判断] 1.a >bac 2>bc 2.(×)提示 当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示 相乘需要看是否⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba 成立的条件是( )A.a <bB.a >bC.与m 有关D.恒成立解析b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b . 答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？提示 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立. 2.若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？提示 不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立.题型一 利用不等式的性质判断命题的真假【例1】 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】 设a >b >0，c <d <0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.ac >bd B.a d <b c C.a d >b cD.ac 2<bd 2解析 a >b >0，c <d <0，即为－c >－d >0， 即有－ac >－bd >0，即ac <bd <0，故A 错；由cd >0，又ac <bd <0，两边同乘1cd ，可得a d <bc ，则B 对，C 错； 由－c >－d >0，－ac >－bd >0， 可得ac 2>bd 2，则D 错.故选B. 答案 B题型二 利用不等式的性质证明不等式解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用 【例2】 若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd . 证明 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ，∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ， 即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <ab .证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质 【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 求解范围时，不可两式直接相减 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63， 即14<a b <2.规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】 已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2， ∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<32π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练1.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.∴M >N . 答案 A2.设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a －b >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.a ＋b <0解析 本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D3.若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围为________. 解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12.又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b . 解析 ①a >b >00<1a <1b1a 2<1b 2；②a >b－2a <－2bc －2a <c －2b ；对③取a＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确. 答案 ①②④5.已知c a >db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明 ∵⎩⎪⎨⎪⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2D.a b <1解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2， 则－13>－12，可排除A ； (－3)2>(－2)2，可排除C ； a b ＝－3－2>1，可排除D ； 而－13>－12，即1a >1b ，B 正确. 答案 B2.设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.x 2<ax <a 2 B.x 2>ax >a 2 C.x 2<a 2<axD.x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 答案 B3.设a <b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A.2a >2b B.ac <bc C.|a |>－bD.－a >－b 解析 a <b <0，则2a >2b ，选项A 正确；当c >0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不正确；|a |＝－a >－b ，则选项C 正确；由－a >－b >0，可得－a >－b ，则选项D 正确，故选B. 答案 B4.已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A.a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a解析 由题意知ab >0，b 2>1， 则a b 2>a ，且a b 2<0，所以a b >a b 2>a . 答案 D5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3D.1<a －|b |<4 解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C二、填空题6.若a >b >0，则a ＋1b ________b ＋1a (用“<”，“>”，“＝”填空). 解析 法一 ∵a >b >0，∴0<1a <1b ， 即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a .法二 a ＋1b －(b ＋1a )＝（a －b ）（1＋ab ）ab ，∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0，1＋ab >0， 则a ＋1b >b ＋1a . 答案 > 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b （a －b ）a， ∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b <1a.答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________. 解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案 －π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ； (2)若ac 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题. 10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c （a －b ）（c －a ）（c －b ）. ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0. ∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴a c －a >b c －b. 能力提升11.已知a >b >0，c <d <0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<－1c <－1d .∵a >b >0，∴－a d >－bc >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a d 3>⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 3，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3>－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3. 12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围. 解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2， ∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6. 则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， ∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3. 又⎩⎨⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6. ∴－2≤4a －2b ≤10.。