2方程与不等式

二次方程不等式二次方程不等式一、基本概念二次方程不等式是指含有二次项的不等式，通常写成$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$ 的形式，其中 $a,b,c$ 是实数且 $a\neq 0$。

对于一般形式的二次方程不等式，我们可以通过求解对应的二次方程来确定其解集。

具体来说，我们可以先将不等式转化为相应的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，然后求出该二次方程的根，最后利用根的位置关系来确定原不等式的解集。

二、求解方法1. 利用判别式求根对于一般形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$。

我们可以通过判别式的正负性来确定该二次方程的根情况：当 $\Delta>0$ 时，该二次方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，该二次方程有一个重实数根；当 $\Delta<0$ 时，该二次方程无实数根。

特别地，在求解二次方程不等式时，我们还需要注意以下几点：若要求解 $ax^2+bx+c>0$ 的情况，则需满足 $\Delta<0$ 或$\Delta=0$ 且 $a>0$；若要求解 $ax^2+bx+c<0$ 的情况，则需满足 $\Delta>0$ 且$a>0$。

2. 利用二次函数图像求解我们知道，一般的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

对于二次方程不等式 $ax^2+bx+c>0$ 或$ax^2+bx+c<0$，我们可以通过分析对应的二次函数图像来确定其解集：当 $a>0$ 时，对应的二次函数图像开口向上。

此时，当函数值大于零时，即在抛物线上方时，原不等式成立；当函数值小于零时，即在抛物线下方时，原不等式不成立。

当 $a<0$ 时，对应的二次函数图像开口向下。

此时，当函数值小于零时，即在抛物线下方时，原不等式成立；当函数值大于零时，即在抛物线上方时，原不等式不成立。

二次方程与不等式的解法知识点总结在数学学习中，二次方程与不等式是非常重要的概念和工具。

掌握它们的解法方法对于解决各类数学问题至关重要。

本文将对二次方程与不等式的解法进行总结，并介绍一些常用的技巧和注意事项。

一、二次方程的解法二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

在解二次方程时，我们可以通过以下几种方法来求解。

1. 完全平方公式法完全平方公式是求解一元二次方程最常用的方法之一。

假设给定的二次方程为ax² + bx + c = 0，其中a≠0。

根据完全平方公式，我们可以得到如下求解步骤：Step 1: 计算方程的判别式D = b² - 4ac。

Step 2: 判断判别式的值，如果D > 0，则方程有两个不相等的实数根；如果D = 0，则方程有两个相等的实数根；如果D < 0，则方程没有实数根。

Step 3: 根据判别式的结果，使用完全平方公式求解方程的根。

如果方程有两个实数根x₁和x₂，则根据完全平方公式可得：x₁ = (-b + √D) / 2ax₂ = (-b - √D) / 2a2. 因式分解法当二次方程可以进行因式分解时，我们可以使用因式分解法来求解方程的根。

假设给定的二次方程为ax² + bx + c = 0，其中a≠0。

通过因式分解，我们将方程转化为(x - p)(x - q) = 0的形式，其中p和q为实数。

这样，我们可以得到以下求解步骤：Step 1: 对方程进行因式分解，将其化简为(x - p)(x - q) = 0。

Step 2: 根据因式分解的结果，我们可以得到两个实数解x = p和x = q。

3. 公式法除了完全平方公式和因式分解法，我们还可以使用二次方程的根的公式来求解方程。

对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，其中a≠0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)通过以上这些解法，我们可以灵活选择适合的方法来解决各种二次方程的问题。

方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。

方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。

知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。

不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。

二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。

方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。

知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。

方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。

三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。

例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。

知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。

例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。

知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。

例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。

相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。

四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。

例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。

知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。

例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。

方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

第2讲 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m ＝3n ，那么下列等式不一定成立的是（ ） A ．m ﹣3＝n ﹣3 B ．2m +3＝3n +2C ．5+m ＝5+nD ．m −3=n −3例2解方程：（1）2﹣3（x ﹣1）＝2（x ﹣2）； （2）．例3若方程12﹣3（x +1）＝7﹣x 的解与关于x 的方程6﹣2k ＝2（x +3）的解相同，求k 的值．例4若方程2（2x ﹣1）＝3x +1与关于x 的方程2ax ＝（a +1）x ﹣6的解互为倒数，求a 的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？ （1）两车的速度各是多少？ （2）两车出发几小时后相距20km ？【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝62．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）； （2）﹣1．3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10．（1）求a 的值； （2）求方程正确的解．4．已知关于x 的方程2（x ﹣1）＝3m ﹣1与3x ﹣2＝﹣4的解相同，求m 的值．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量 单价（元）不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分m +1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m 的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值．()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例2解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．例3用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为cm，宽为cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 ．2．解方程： （1）＝；（2）﹣3．3．若关于x 的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4例2解方程组：（1）；（2）．例3已知方程组与有相同的解，求m 和n 值．例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型 甲 乙 运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（ ） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝42．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（ ）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−53．解方程组：．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答） （1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．a +c ＞b +c B ．ac ＜bcC ．ac 2＞bc 2D ．ac +1＞bc +1例2解不等式10−x 3≤2x +1，并在数轴上将解集表示出来．例3解不等式组{2x −2≤xx +2＞−12x −1，并把解集在数轴上表示出来．例4已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？例5为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？【随堂练习】1．若a ＞﹣1，则下列各式中错误的是（ ） A ．6a ＞﹣6 B ．a 2＞−12C ．a +1＞0D ．﹣5a ＜﹣52．解不等式： （1）x +1＞2x ﹣4； （2）−2x−13＞4．3．解不等式组﹣2≤7x−53+2＜5，并在数轴上表示出它的解集．4．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务．若每一个小区安排4人，那么还剩下78人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．求这个街道共选派了多少名志愿者？5．“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？综合运用1．若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．解方程： （1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元）小聪3109小明61817.4（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。

二次方程与简单不等式一、知识回顾：1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝ ．当△＞0时，方程有 ；当△＝0时，方程有 ；当△＜0时，方程 ．2．当方程ax 2＋bx ＋c ＝0有二根x 1，x 2时，x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ．3．当方程ax 2＋bx ＋c ＝0有二根x 1，x 2时，其因式分解式方程可写为 ．4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为 ，顶点坐标为 ．5．用十字相乘法解下列方程：①x 2－2x －15＝0；②x 2＋3x －28＝0；③x 2－4x －21＝0；④x 2＋5x －36＝0；⑤x 2－6x －16＝0；⑥x 2＋12x －28＝0二、二次项系数不是1的一元二次方程用十字相乘法来解：①2x 2－3x －2＝0；②3x 2＋5x －12＝0；③2x 2－7x －30＝0；④5x 2－12x －9＝0练习：①4x 2－5x －6＝0；②8x 2－14x －15＝0；③6x 2－29x ＋28＝0；④12x 2－8x －15＝0三、二次函数解不等式 设y ＝ax 2＋bx ＋c1．当a ＞0时，判别式△与ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解之间的关系如下若△＞0，如图一，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜x 1或x ＞x 2}，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，若△＝0，如图二，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ≠x 1}，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为Φ，若△＜0，如图三，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为Φ．2．当a ＜0时，若△＞0，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ，若△＝0，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ，若△＜0，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ．3．解不等式①x 2－2x －4＜0；②－2x 2＋3x ＋3＜0，③3x 2－2x －1＞0；④x 2－x ＋2＞0巩固练习：①x 2－2x －24＞0；②2x 2－5x －2＜0；③2x 2－2x ＋3＜0；④6x 2－5x －6＞0四、简单高次不等式和分式不等式：1．分式不等式：ax ＋b cx ＋d≥0等价于(ax ＋b )(cx ＋d )≥0且cx ＋d ≠0 思考：（1）ax ＋b cx ＋d＜0等价于 ． （2）(ax ＋b )(ex ＋f )cx ＋d≤0等价于 ． 2．简单高次不等式的解法——穿根法一般步骤(1)把不等式变形为一边是一次因式的积或是不能分解的二次式与一次因式的积，另一边是0的形式．(2)将各因式的x 得系数全部变为1．(3)将各因式等于0的根标在数轴上，从右上方向左下方穿线，奇穿偶不穿．(4)注意等价变形过程中的每个根的等号是否成立例一：解不等式①(x －1)(x 2－5x ＋6)＞0；②x －22x －5≤0；③(x ＋1)(x －3)2x －3≥0；④(x －1)2(x ＋2)(x －3)≥0．例二：解关于x 的不等式①(x －1)(x －2)(x －a )＞0；②ax －1x ＋1＞0练习：解不等式①2x 3－x 2－15x ＞0；②(x ＋4)(x ＋5)2(2－x )3＜0；③(x －3)(x ＋2)(x －1)2(x－4)＞0；④(x －1)(x －2)2(x －3)(x －4)≤0；⑤(x －1)(x －a )2x －5≥0五、简单绝对值不等式基本内容：|x |＜a 等价于－a ＜x ＜a ；|x |＞a 等价于x ＜－a 或x ＞a ．知识扩充：|ax ＋b |＜m 等价于－m ＜ax ＋b ＜m ；|cx ＋d |＞n 等价于cx ＋d ＜－n 或cx ＋d ＞n ． |ax ＋b |＜cx ＋d 等价于－(cx ＋d )＜ax ＋b ＜cx ＋d ；|ax ＋b |＞cx ＋d 等价于ax ＋b ＞cx ＋d 或ax ＋b ＜－(cx ＋d )．例题：解不等式①|2x －1|＜5；②|3－x 2|＜2；③|x 2－2|＜2x ＋6；④|5x ＋2|＞x 2＋2练习：①|2x －1|＜x ＋1；②|x ＋1|＞x 2－1；③|3x ＋5|＜2x ＋9；④|ax －1|＜8巩固练习：1．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集是( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞3} B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3}2．设集合A ＝{x|x ＞3}，B ＝{x |x －1x －4＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．Φ B ．{x |3＜x ＜4} C ．{x |－2＜x ＜1} D ．{x |x ＞4}3．不等式2－x 4＋x＞0的解集 ． 4．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是{x|x ＜－1或x ＞－12}，则a ＝ ． 5．不等式x －1x＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ＜－1或0＜x ＜1} C ．{x |x ＞－1} D ．{－1＜x ＜0或x ＞1}6．若集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |2x ＋13－x＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜－12或2＜x ＜3} B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |－12＜x ＜2} D ．{x |－1＜x ＜－12} 7．不等式x －1x≥2的解集为( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |x ≥－1} C ．{x |x ≤－1} D ．{x |x ≤－1或x ＞0}8．已知集合A ＝{x||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2－5x －6≥0}，若A ∩B ＝Φ，则实数a 的取值范围是 ．9．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是{x |x ＞2}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2＞0的解集为( ) A ．{x |x ＜－1或x ＞2} B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}10．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x|－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 解集为( )A ．{x |－2＜x ＜1}B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |x ＜12或x ＞2}D ．{x |12＜x ＜2} 11．不等式|x －2x |＞x －2x的解集是( ) A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |x ＜0} C ．{x |x ＞2} D ．{x |x ＜0或x ＞2}12．已知U ＝R ，集合M ＝{x||x －1|≤2}，则C U M ＝( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x ＜－1或x ＞3}D ．{x |x ≤－1或x ≥3}13．不等式|x ＋1x －1|＜1的解集为( ) A ．{x |0＜x ＜1或x ＞1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |－1＜x ＜0} D ．{x |x ＜0}14．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 得取值范围是 ．15．①解不等式3x －5x 2＋2x －3≤2；②已知k ＜1，求不等式k (x －1)x －2＞1的解集．。

一、知识要点 1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。

定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里kay y kbx x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。

它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。

4．不等式的基本性质和同解原理1.不等式的基本性质(1) 互换性 如果a ＞b ，那么b ＜a(2) 传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3) 平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4) 伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。