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新课标中考复习教案：方程与不等式一、方程 【知识梳理】1、知识结构方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有 2 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. (4)二元一次方程组的解法有 法和 法.(5)只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 )0(02≠=++a c bx ax 。
(6)解一元二次方程的方法有：① 直接开平方法；②配方法；③ 公式法；④ 因式分解法例：（1）042=-x （2）0342=--x x （3）4722=+x x （4）0232=+-x x (7)一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根； 反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a b x x -=+21， ac x x =⋅21(9)一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x(10) 分母 中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是 将分式方程通过去分母转化为整式方程 . ◆ 解分式方程的步骤◆ 1、去分母， 化 分式方程 为 整式方程 ； ◆ 2、解这个 整式方程 ； ◆ 3、验 根。
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
中考数学基础知识复习-----方程与不等式一、一次方程1.方程的分类2.方程的有关概念（1）方程：含有 的等式叫方程。
（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。
（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。
（4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。
（5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。
（6）方程的解： 叫做方程的解。
（7）解方程： _叫做解方程。
（8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。
（9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：5. 二元一次方程组的解法． （1）代人消元法： （2）减消元法： 6．整体思想解方程组．（1）整体代入． （2）整体加减， 二、一元二次方程1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。
它的一般形式是 （其中 、 ）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根； 一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以 为手段，以 为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同除以 ；② ，即使方程的左边为 和 ，右边为 ；③ ，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用 开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程 ．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
初三数学总复习辅导资料2方程与不等式一、方程与方程组 二、不等式与不等式组知识结构及内容： 1.几个概念2.一元一次方程 （一）方程与方程组3.一元二次方程4.方程组5.分式方程6.应用1.概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解2.一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）例题：.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22132 解：（3） 关于x 的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。
解：3.一元二次方程： （1） 一般形式：()002≠=++a c bx ax（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x 例题：①、解下列方程：（1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0；（3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.（5）（t －2）（t +1）=0； （6）x 2＋8x －2＝0(7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ）解：② 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2 （3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时 ，当0=∆时 当0<∆时没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根例题．①．（无锡市）若关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 满足( )A.k ＞1B.k ≥1C.k ＝1D.k ＜1 ②（常州市）关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（ ） （A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根 （C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定③．（浙江富阳市）已知方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，则p 、q 满足的关系式是（ ）A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q pD 、02≥-q p （4）根与系数的关系：x 1＋x 2=ab-，x 1x 2=a c例题： （浙江富阳市）已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则2111x x + 的值是（ ）A 、112 B 、211 C 、112- D 、211-4.方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x解 解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝93（x ＋y ）＋2x ＝33解5.分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为 065422=++-x x x 根为 ②、当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（ ）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0（3）、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设x x y 32-=，则原方程可化为（ ） （A ）043=-+y y （B ）043=+-y y （C ）0431=-+y y （D ）0431=++yy 6.应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）解：②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解④已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值解⑤某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：2 3表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组A、272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B、2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C、273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D、2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩解⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.解：1几个概念（二）不等式与不等式组2不等式3不等式（组）1.几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）2.不等式：（1）怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②(2)8与y的2倍的和是正数；(3)x与5的和不小于0；(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；解：（2）不等式的三个基本性质不等式的性质1：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c推论：如果a ＋c>b ，那么a>b －c 。
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
中考复习教案：方程与不等式一、教学目标1. 回顾一元一次方程的定义、解法及应用，使学生能够熟练掌握解一元一次方程的方法，并能够将其应用于实际问题中。
2. 复习一元一次不等式的定义、解法及应用，帮助学生理解不等式的基本性质，并能够解一元一次不等式。
3. 通过对实际问题的分析，培养学生运用方程与不等式解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 一元一次方程的定义、解法及应用。
2. 一元一次不等式的定义、解法及应用。
3. 方程与不等式的实际问题应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法。
2. 教学难点：方程与不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、示例、练习、讨论等多种教学方法，引导学生复习和巩固方程与不等式的知识。
2. 通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生运用方程与不等式解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 复习导入：回顾一元一次方程的定义、解法及应用，引导学生复习相关知识。
2. 知识讲解：讲解一元一次不等式的定义、解法及应用，与方程进行对比，帮助学生理解不等式的基本性质。
3. 示例讲解：给出一些实际问题，引导学生运用方程与不等式进行解决，示例讲解解题思路和方法。
4. 练习巩固：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和经验，互相学习。
6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结归纳，强调方程与不等式在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些相关的作业题，让学生课后巩固复习。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，检测学生对一元一次方程和不等式的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在课后完成，以巩固所学知识。
3. 单元测试：进行一次方程与不等式的单元测试，全面评估学生对本单元知识的掌握情况。
七、教学资源1. 教学PPT：制作详细的PPT，展示一元一次方程和不等式的定义、解法及应用。
二、《方程与不等式》（一）方程与方程组1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解2、 一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零） 3、一元二次方程： （1）、一般形式：()002≠=++a c bx ax（2）、解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、求根公式：()002≠=++a c bx ax ； ()042422≥--±-=ac b aac b b x（3）判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系：当0>∆时有两个不相等的实数根 ，当0=∆时有两个相等的实数根当0<∆时没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根4、方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元一次方程组的解法：代入消元、加减消元 5、分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 6、应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用（二）不等式与不等式组1、几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）2、不等式：（1）、怎样列不等式：（2）、不等式的三个基本性质不等式的性质1：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c ，a －c>b －c 不等式的性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac>bc 。
不等式的性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac<bc 。
（3）、解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a 或x<a 的形式步骤：（与解一元一次方程类似）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
（注：系数化1时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变） 3、 不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边二、《方程与不等式》训练题一、选择题：1、若 4m2x--与2m 11x 3+ 的和是单项式，则m= （ ） A ．4 B ．12- C ．1 D ．-52、不等式11254<-x 的正整数解有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3、下列方程中，分式方程是 （ ）A.()x x 739=+；B.142331=+--x x ； C.28=x ； D.()023≠+--=--b a ba xb x 。
中考数学核心题 精典专题二 方程、不等式一、兴趣导入 规划成功：叩问内心，寻找向上的力量！二、 名师导航 解题指导函数、不等式与函数是初中代数的核心内容：主要包括三方面内容，一是各自知识的灵活运用，二是三者之间的联系，三是会用方程（组）、不等式（组）与函数知识来解决数学问题和实际问题。
函数核心问题包括函数的概念、一次函数（正比例函数）、反比例函数及二次函数知识的灵活应用。
三、精准预测 精讲精练1. 二元一次方程组的解法例1（黄冈）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--3)2(2)(312143)(2y x y x y x y x例2.已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+73ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==12y x ，则a+b 的值是【练习一组】1.（义乌）已知⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧==18mx 12my nx ny y x 是二元一次方程组的解，则2m-n 的算术平方根是 2.若方程组⎩⎨⎧==+3-222x y k y x 的解满足x<1,且y>1，求整数k 的个数。
2.分式方程的解法例3319632-=-++x x x x例4.（1）（攀枝花）若分式方程xx kx -=--+21212无解，则k= （2）(舟山）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围是【练习一组】1.（龙东）已知关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解是非负数，则m 的取值范围是2.（2018南充）已知yxy x y xy x y ---+=-232,31x 1则代数式的值是（ ）A 27-B 211-C 29D 43 3.（2013绵阳）解方程23112-++=-x x x x 3.（2015绵阳）解方程111223+-=+x x4.（2018绵阳）解分式方程xx x -=+--23221 4.一元二次方程例5. （1）方程（x-3)2-3x(x-3)=0的解是（2）（2018资阳）关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2-2m=0有一个根为0，则m=（3）（呼和浩特）已知βα,是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0的有两个不相等的实数根，且满足111-=+βα，则m 的值是（ ） A 3或者-1 B 3 C 1 D -3或1（4）（2017成都）已知x 1,x 2是方程x 2-5x+a=0的两个实根，且102221=-x x ，则a=（5）已知一元二次方程02-2=+m x x 有两个实数根1x 、2x 。
中考数学专题复习二 方程与不等式一、教学目标能熟练解决一元一次方程，二元一次方程组问题。
一元二次方程：理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；能熟练应用判别式与韦达定理解题。
分式方程：掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。
不等式：理解不等式（组）的概念，基本性质，会在数轴上表示不等式的解；会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式及不等式组；能解决简单的数学问题和实际问题。
二、知识点归纳考点一：1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca . 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a .例1．解方程：(1) 2x －32(x+3)=-x+3 （2）21-y +52+y =2 （3）3.01-x －5.02+x ＝２例2．当m 取什么整数时，关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数？例3 .A 种饮料B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（） A ．2(1)313x x -+=B ．2(1)313x x ++=C ．23(1)13x x ++=D ．23(1)13x x +-=考点二： 1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.2. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组 方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.例1. 如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－2例2.(2009年四川省内江市)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x m y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．2 例3.（2009年日照）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （ ）A.43-B.43C.34D.34- 例4.（2009呼和浩特）如果|21||25|0x y x y -++--=，则x y +的值为例5.（2009年邵阳市）为迎接“建国60周年”国庆，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用A 、B 两种不同类型的灯笼200个，且B 灯笼的个数是A 灯笼的32。
热点专题二 方程与不等式【考点聚焦】“方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容．“方程与不等式”均存在标准形式，其解法具有程序式化的特点，是一种重要的数学基本技能．此外，“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型，在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题．“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一．就解法与自身的应用来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一，同时也是学习函数等知识的基础；就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言，它更是培养同学们分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所．同时对“方程与不等式”的考查，一方面注重对其解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查．在学业考试中所有题型均可出现，题量不小，而且难度将随着题型变化而变化．【热点透视】热点1：设计重结果的问题考查方程与不等式的有关概念例1（1）二元一次方程组320x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是（ ） （A ）12x y =-⎧⎨=⎩ （Ｂ）12x y =⎧⎨=-⎩ （C ）12x y =-⎧⎨=-⎩ （D ）21x y =-⎧⎨=⎩ （2）不等式组24010x x -<⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） 分析：（1）小题对二元一次方程组的解法多样，供同学们选择的解题途径较多，即使同学们只从方程组的解的概念出发通过验算也能够解决问题，因而题目的效度较高．（2）小题通过对不等式组解集的选择，考查了同学们解不等式组的基本功．解答：（1）（A ）；（2）（B ）．点评：这样的问题由于只关心对同学们解答问题结果正确性的考查，具有较强的针对性，比较适合对理解方程（组）的解和不等式（组）解集的概念水平的考查．热点2：设置具体的情景考查同学们构建方程（不等式）模型的能力．例2 在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图1所示，如果要使整个挂图的面积是54002cm ，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）（Ａ）213014000x x +-= （Ｂ）2653500x x +-=（Ｃ）213014000x x --= （Ｄ）2653500x x --=分析：观察图形可知，金色纸边的面积与矩形风景画的面积之和为54002cm ，而矩形风景画的面积为40002cm ，设金色纸边的宽为x cm ，则可用含x 的代数式表示出金色纸边的面积为22[42(8050)]cm x x x ++．解：（B ）．点评：从同学们所熟知的生活情景入手，考查同学们建立方程模型的能力，使考查的过程具有一定的趣味性，同时，建模的思想作为初中数学的重点和难点是需要师生在学习过程中有针对性突破的，而中考的命题毫无疑问在这方面给出了一种明显的导向，应当引起重视．例3 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．分析：工作总量÷工作时间=工作效率．解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得：101120140x x ⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭， 解之得：60x =，经检验：60x =是原方程的解．答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y 天，根据题意得：1116040y ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 解之得：24y =．答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．点评：本题背景取材于同学们所熟悉的“社会主义新农村建设”，巧妙将分式方程，一元一次方程的应用结合起来考查，符合新课程理念，并且层次分明，难度适中，考查要求达到课程标准所规定的毕业水平．热点3：设置与生活和社会实际相关的问题考查运用方程解决简单实际问题的能力．例4 小刚、小明一起去精品文具店买同种钢笔和同种练习本，根据下面的对话解答问题： 小刚：阿姨，我买3支钢笔，2个练习本，共需多少钱？售货员：刚好19元．小明：阿姨，那我买1支钢笔，3个练习本，需多少钱呢？售货员：正好需11元．（1）求出1支钢笔和1个练习本各需多少钱？（2）小明现有20元钱，需买1支钢笔，还想买一些练习本，那么他最多可买练习本多少个？分析：第（1）问利用二元一次方程组求钢笔和练习本的单价，第（2）问通过一元一次不等式求出最多可买多少个练习本．解：（1）设买一支钢笔需x 元，买一个练习本需y 元，依题意：3219311x y x y +=⎧⎨+=⎩解之得52x y =⎧⎨=⎩．（2）设买的练习本为z 个，则15220z ⨯+≤，得7.5z ≤．因为z 为非负整数，所以z 的最大值为7．答：（1）买1支钢笔需5元，1个练习本需2元．（2）小明最多可买7个练习本．点评：这类问题的解答遵循“问题←→数学问题←→解数学问题←→解决问题”，不仅对于考查“数学化”具有较高的效度,而且考查了同学们在生活中用数学的意识．热点4：考查同学们综合运用方程（组）与不等式（组）解决数学问题的能力．例5 某班到毕业时共结余经费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？分析：本例第（1）问通过列二元一次方程组解决，第（2）问利用不等式解题，而后在（1），（2）的基础上作出决策分析，较好地考查了学生综合运用数学知识解决简单问题的能力．解：（1）设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则925200x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得3526x y =⎧⎨=⎩． 答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元．（2）设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤，解得20023099t ≤≤． ∵t 为正整数，∴t =23，24，25，即有三种方案． 第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．点评：决策型问题最大特点是其所对应的问题的答案具有不确定性，尽管其中相当多的一部分可归结为利用“方程与不等式”来解决，也是“方程（不等式）思想”的应用与体现，但是利用“方程与不等式”不能够直接求出问题的最终解答．要最终解决这样的问题，涉及到解决问题的策略，以及需要其他的数学知识．好的决策型问题在考查同学们运用知识解决实际问题能力方面具有较好的效度，因而，决策型问题成为近年来较为常见的考查同学们运用“方程与不等式”思想和知识解决实际问题能力的题目．热点5：考查同学们综合运用方程（组）、不等式（组）与其它数学知识结合解决数学问题的能力． 例6 如图2，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图3，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．分析：（1）联立两个函数解析式得方程组，可求出A B ，两点的坐标．（2）先作出AB 的垂直平分线，利用解直角三角形或者是三角形相似的知识，可求出AB 的垂直平分线与坐标轴的交点坐标，从而求得直线的解析式．（3）由于线段AB 的长度确定，要使PAB △的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大即可，故点P 既要在抛物线上，又必须在与AB 平行的直线上． 解：（1）依题意得216412y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解之得1163x y =⎧⎨=-⎩，2242x y =-⎧⎨=⎩． ∴(63)A -，，(42)B -，．（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图4），由（1）可知：OA =OB =过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足，由BEO CMO △∽△，得：OC OM OB OE =，∴54OC =， 同理：52OD =，∴550042C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 设CD 的解析式为y kx b =+（0k ≠），∴AB 的垂直平分线的解析式为：522y x =-． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线12y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G 、H 两点． ∵抛物线与直线只有一个交点，在直线125:24GH y x =-+中， 设O 到GH 的距离为d ，∵AB GH ∥，∴P 到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．点评：本题的背景对同学们既现实又亲切，考查同学们经历建立函数关系和解方程组的过程意图明显，有较好的效度、可推广性和教育价值．【考题预测】1．方程组3520x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是____________．2．分式方程532x x =-的解为x =____________． 3．不等式组2450x x >-⎧⎨-⎩≤的解集是（ ） （Ａ）2x >- （Ｂ）25x -<≤（Ｃ）5x ≤ （Ｄ）无解4．中国人民银行宣布，从6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（ ）（A ）50005000 3.06x -=⨯%（B ）5000205000(1 3.06)x +⨯=⨯+%%（C ）5000 3.06205000(1 3.06)x +⨯⨯=⨯+%%%（D ）5000 3.06205000 3.06x +⨯⨯=⨯%%%5． 已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值． 6．为净化空气，美化环境，市冷水滩区在许多街道和居民小区都种上了玉兰和樟树，冷水滩区新建的某住宅区内，计划投资1.8万元种玉兰树和樟树共80棵，已知某苗圃负责种活以上两种树苗的价格分别为：玉兰树300元/棵，樟树200元/棵，问可种玉兰树和樟树各多少棵？7．某商场用36万元购进A B ，两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）（1）该商场购进A B ，两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A B ，两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进Ａ种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原售价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81 600元，B 种商品最低售价为每件多少元？8．市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买树苗共用了28 000元，求甲、乙两种树苗各多少株？（2）若购买树苗的钱不超过34 000元，应如何选购树苗？（3）若希望这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗．9．已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)P -，，(10)Q -，．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N （如图5），与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值．（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．。
