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4 匀变速直线运动的速度与位移的关系速度与位移的关系式 1.公式：v 2－v 02＝2ax . 2.推导：速度公式v ＝v 0＋at . 位移公式x ＝v 0t ＋12at 2.由以上两式可得：v 2－v 02＝2ax . 3.匀变速直线运动的常用推论：推论1：中间时刻的瞬时速度2t v ＝x t ＝v 0＋v2.推论2：匀变速直线运动中，在连续相等的时间T 内的位移之差为一恒定值，即Δx ＝x 2－x 1＝aT 2.1.判断下列说法的正误.(1)公式v 2－v 02＝2ax 适用于所有的直线运动.( × )(2)确定公式v 2－v 02＝2ax 中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.( √ ) (3)因为v 2－v 02＝2ax ，v 2＝v 02＋2ax ，所以物体的末速度v 一定大于初速度v 0.( × ) (4)在公式v 2－v 02＝2ax 中，a 为矢量，与规定的正方向相反时a 取负值.( √ )2.汽车以10 m /s 的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s 2，则它向前滑行12.5 m 后的瞬时速度为________ m/s. 答案 5一、关系式v 2－v 02＝2ax 的理解和应用如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a ，起飞速度为v ，则跑道的长度至少为多长？答案 v 22a解析 由v2－v 02＝2ax得，跑道长度至少为x ＝v 2－v 022a ＝v 22a.1.适用范围：速度与位移的关系v 2－v 02＝2ax 仅适用于匀变速直线运动.2.公式的矢量性：v 2－v 02＝2ax 是矢量式，v 0、v 、a 、x 都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v 0方向为正方向：(1)若加速运动，a 取正值，减速运动，a 取负值.(2)x ＞0，位移的方向与初速度方向相同，x ＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移.(3)v ＞0，速度的方向与初速度方向相同，v ＜0则为减速到0，又返回过程的速度. 注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性. 3.公式的特点：不涉及时间，v 0、v 、a 、x 中已知三个量可求第四个量.例1 某航母跑道长200 m ，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m /s 2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( ) A.5 m /s B.10 m/s C.15 m /s D.20 m/s 答案 B解析 由v 2－v 02＝2ax 得： v 0＝v 2－2ax ＝502－2×6×200 m /s ＝10 m/s.解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法(1)如果题目中无位移x ，也不让求x ，一般选用速度公式v ＝v 0＋at ； (2)如果题目中无末速度v ，也不让求v ，一般选用位移公式x ＝v 0t ＋12at 2；(3)如果题目中无运动时间t ，也不让求t ，一般选用导出公式v 2－v 02＝2ax .例2 猎豹是目前世界上陆地奔跑速度最快的动物，速度可达每小时110多公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命.猎豹在一次追击猎物时可认为由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为7.5 m /s 2，经过4 s 速度达到最大，然后匀速运动保持了4 s 仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，然后以大小3 m/s 2的加速度做匀减速运动直到停下，设猎豹此次追捕始终沿直线运动.求： (1)猎豹奔跑的最大速度可达多少？(2)猎豹从开始做匀减速运动直到停下的位移是多少？ 答案 (1) 30 m/s (2) 150 m解析 (1)设猎豹奔跑的最大速度为v .对于加速过程，有：v ＝a 1t 1＝7.5×4 m /s ＝30 m/s. (2)对于减速过程，根据速度位移公式得： x ＝v 22a 2＝3022×3 m ＝150 m. 二、匀变速直线运动的常用结论例3 一质点做匀变速直线运动的v －t 图象如图1所示．已知一段时间内的初速度为v 0，末速度为v ，求：图1(1)这段时间内的平均速度(用v 0、v 表示)． (2)中间时刻的瞬时速度2t v .(3)这段位移中间位置的瞬时速度2x v .答案 见解析解析 (1)因为v －t 图象与t 轴所围面积表示位移，t 时间内质点的位移可表示为x ＝v 0＋v2·t ①平均速度v ＝xt②由①②两式得v ＝v 0＋v2.(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：2t v ＝v 0＋v2.(3)对前半位移有22x v －v 02＝2a ·x2对后半位移有v 2－22x v ＝2a ·x2两式联立可得2x v ＝v 02＋v 22.三个平均速度公式及适用条件 (1)v ＝xt，适用于所有运动.(2)v ＝v 0＋v2，适用于匀变速直线运动.(3)v ＝2t v ，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动.针对训练1 一质点做匀变速直线运动，初速度v 0＝2 m/s,4 s 内位移为20 m ，求： (1)质点4 s 末的速度大小； (2)质点2 s 末的速度大小． 答案 (1)8 m /s (2)5 m/s 解析 (1)利用平均速度公式 4 s 内的平均速度v ＝x t ＝v 0＋v 42，代入数据解得，4 s 末的速度v 4＝8 m/s (2)2 s 末的速度v 2＝v 0＋v 42＝2＋82m /s ＝5 m/s.例4 物体做匀变速直线运动，加速度为a ，从某时刻起T 时间内的位移为x 1，紧接着第二个T 时间内的位移为x 2.试证明：Δx ＝aT 2.答案 见解析解析 证明：设物体的初速度为v 0 自计时起T 时间内的位移 x 1＝v 0T ＋12aT 2①在第2个T 时间内的位移x 2＝v 0·2T ＋12a (2T )2－x 1＝v 0T ＋32aT 2.②由①②两式得连续相等时间内的位移差为 Δx ＝x 2－x 1＝v 0T ＋32aT 2－v 0T －12aT 2＝aT 2，即Δx ＝aT 2.(1)匀变速直线运动中，在连续相等的时间T 内的位移之差为一恒定值，即Δx ＝x 2－x 1＝aT 2. (2)应用①判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动.②求匀变速直线运动的加速度 利用Δx ＝aT 2，可求得a ＝ΔxT2针对训练2 一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s 内经过的位移为24 m ，在第2个4 s 内经过的位移是60 m ，则这个物体的加速度和初速度各是多少？ 答案 2.25 m /s 2 1.5 m/s解析 (方法一)由公式Δx ＝aT 2得：a ＝Δx T 2＝60－2442 m /s 2＝2.25 m/s 2，由于v 4＝24＋608 m /s ＝10.5 m/s ，而v 4＝v 0＋4a ，得v 0＝1.5 m/s.(方法二)物体在8 s 内的平均速度等于中间时刻(即第4 s 末)的瞬时速度，则v 4＝24＋608 m /s＝10.5 m/s ，且v 4＝v 0＋4a ，物体在前4 s 内的平均速度等于第2 s 末的瞬时速度v 2＝244m /s＝6 m/s ，而v 2＝v 0＋2a ，联立解得a ＝2.25 m /s 2，v 0＝1.5 m/s.1.(速度－位移公式的应用)如图2所示，物体A 在斜面上由静止匀加速滑下x 1后，又匀减速地在水平平面上滑过x 2后停下，测得x 2＝2x 1，则物体在斜面上的加速度a 1与在水平平面上的加速度a 2的大小关系为( )图2A.a 1＝a 2B.a 1＝2a 2C.a 1＝12a 2D.a 1＝4a 2答案 B解析 设匀加速运动的末速度为v ，对于匀加速直线运动阶段有：v 2＝2a 1x 1， 对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v 2＝2a 2x 2， 联立两式解得a 1a 2＝x 2x 1＝2，即a 1＝2a 2.2.(速度—位移公式的应用)如图3所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m /s 增加到10 m/s 时位移为x .则当速度由10 m /s 增加到15 m/s 时，它的位移是( ) A.52x B.53x C.2x D.3x图3答案 B解析 由v 2－v 02＝2ax 得102－52＝2ax,152－102＝2ax ′，两式联立可得x ′＝53x ，故B 正确.3.(平均速度公式的应用)(2018·嘉兴市第一学期期末)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图4所示，那么0～t 和t ～3t 两段时间内( )图4A.加速度大小之比为3∶1B.位移大小之比为1∶3C.平均速度大小之比为2∶1D.平均速度大小之比为1∶1 答案 D解析 两段的加速度大小分别为a 1＝v t ，a 2＝v 2t ，a 1a 2＝21，A 错.两段的位移x 1＝12v t ，x 2＝v t ，x 1x 2＝12，B 错.两段的平均速度v 1＝v 2＝v 2，C 错，D 对. 4.(位移差公式Δx ＝aT 2的应用)(多选)如图5所示，物体做匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB ＝2 m ，BC ＝3 m ，且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间均为0.2 s ，则下列说法正确的是( )图5A.物体的加速度为20 m/s 2B.物体的加速度为25 m/s 2C.CD ＝4 mD.CD ＝5 m 答案 BC解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx ＝aT 2可得： a ＝BC －AB T 2＝10.04 m /s 2＝25 m/s 2，故A 错误，B 正确；根据CD －BC ＝BC －AB ，可知CD ＝4 m ，故C 正确，D 错误.一、选择题1.关于公式x ＝v 2－v 022a ，下列说法正确的是( )A.此公式只适用于匀加速直线运动B.此公式适用于匀减速直线运动C.此公式只适用于位移为正的情况D.此公式不可能出现a 、x 同时为负值的情况 答案 B解析 公式x ＝v 2－v 022a 适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，B 正确，A 、C 错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a 、x 就会同时为负值，D 错误. 2.某飞机着陆时的速度是60 m /s ，随后匀减速滑行，如果飞机的加速度大小是2 m/s 2.为了使飞机能够安全地停下来，则滑道的长度至少为( ) A.900 m B.90 m C.1 800 m D.180 m答案 A解析 根据v 2＝2ax 得，x ＝v 22a ＝(60 m/s )22×2 m/s 2＝900 m ，选项A 正确.3.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m ，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s ，则汽车刹车时的加速度大小为( ) A.7 m /s 2 B.17 m/s 2 C.14 m /s 2 D.3.5 m/s 2答案 A解析 设汽车开始刹车时的方向为正方向，由02－v 02＝2ax 得a ＝－v 022x＝－7 m/s 2，A 正确.4.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ 2 D.2∶1答案 B 解析 由0－v 02＝2ax得x 1x 2＝v 012v 022，故x 1x 2＝(12)2＝14，B 正确. 5.一小车从A 点由静止开始做匀加速直线运动，如图1所示，若到达B 点时速度为v ，到达C 点时速度为2v ，则AB ∶BC 等于( )图1A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4答案 C6.一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动.已知汽车从启动到停止一共经历了10 s ，前进了25 m ，在此过程中，汽车的最大速度为( ) A.2.5 m /s B.5 m/s C.7.5 m /s D.10 m/s 答案 B解析 设汽车的最大速度为v m ，加速时间为t 1，减速时间为t 2，加速阶段的平均速度v 1＝0＋v m 2＝v m2减速阶段的平均速度v 2＝v m ＋02＝v m 2x ＝v 1t 1＋v 2t 2＝v m 2(t 1＋t 2)＝12v m t ，解得v m ＝5 m/s. 7.(多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s 内的位移为2 m ，那么( ) A.这3 s 内的平均速度是1.2 m/s B.第3 s 末的瞬时速度是2.2 m/s C.质点的加速度是0.6 m/s 2 D.质点的加速度是0.8 m/s 2 答案 AD解析 第3 s 内的平均速度即为2.5 s 时的速度，即v 2.5＝21 m /s ＝2 m/s ，所以加速度a ＝v 2.5t 2.5＝22.5m /s 2＝0.8 m/s 2，所以C 错误，D 正确；第3 s 末的瞬时速度是v ＝at 3＝0.8×3 m /s ＝2.4 m/s ，B 错误；这3 s 内的平均速度是v ＝v 2＝2.42m /s ＝1.2 m/s ，A 正确.8.(2017·浙江4月学考·6)汽车以10 m/s 的速度在马路上匀速行驶，驾驶员发现正前方15 m 处的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前，假设驾驶员反应时间为0.5 s.汽车运动的v －t 图如图2所示，则汽车的加速度大小为( )图2A.20 m /s 2B.6 m/s 2C.5 m /s 2D.4 m/s 2答案 C解析 根据速度－时间图象可知，在驾驶员反应时间内，汽车的位移为x 1＝v t ＝5 m ，所以汽车在减速阶段的位移x 2＝x －x 1＝10 m ，由运动学公式得出0－v 2＝2ax 2，a ＝－5 m /s 2，故加速度大小为5 m/s 2，C 正确.9.一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过A 、B 、C 三点，已知AB ＝6 m ，BC ＝10 m ，小球通过AB 、BC 所用的时间均为2 s ，则小球经过A 、B 、C 三点时的速度分别为( ) A.2 m /s,3 m/s,4 m/s B.2 m /s,4 m/s,6 m/s C.3 m /s,4 m/s,5 m/s D.3 m /s,5 m/s,7 m/s 答案 B 解析BC －AB ＝aT 2，a ＝44m /s 2＝1 m/s 2v B ＝AB ＋BC2T＝6＋102×2m /s ＝4 m/s 由v B ＝v A ＋aT ，得v A ＝v B －aT ＝(4－1×2) m /s ＝2 m/s ，v C ＝v B ＋aT ＝(4＋1×2) m /s ＝6 m/s ，B 正确.10.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移是2 m ，第4 s 内的位移是2.5 m ，那么以下说法正确的是( ) A.第2 s 内的位移是2.5 m B.质点的加速度是0.125 m/s 2 C.第3 s 末的瞬时速度是2.25 m/s D.第4 s 末的速度为2.75 m/s 答案 CD解析 由Δx ＝aT 2，得a ＝x 4－x 3T 2＝2.5－212 m /s 2＝0.5 m/s 2，x 3－x 2＝x 4－x 3，所以第2 s 内的位移x 2＝1.5 m ，A 、B 错误；第3 s 末的速度等于第3～4 s 内的平均速度，所以v 3＝x 3＋x 42T＝2.25 m /s ，C 正确；v 4＝v 3＋at ＝2.75 m/s ，D 正确.二、非选择题11.(2018·宁波市诺丁汉大学附中期中)汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动产生明显的滑动痕迹，即常说的刹车线.由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小，因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据.若某汽车刹车后至停止的加速度大小为7 m/s 2，刹车线长为14 m ，求：(1)该汽车刹车前的初始速度v 0的大小；(2)该汽车从刹车至刚停下来所用的时间t 0；(3)在此过程中汽车的平均速度大小.答案 (1)14 m /s (2)2 s (3)7 m/s解析 (1)由题意根据运动学公式v 2－v 02＝2ax 得v 02＝－2ax ，解得v 0＝－2×(－7)×14 m /s ＝14 m/s.(2)方法一 由v ＝v 0＋at 0得t 0＝v －v 0a ＝0－14－7s ＝2 s. 方法二 (逆过程)由x ＝12at 02得 t 0＝2x a ＝2×147s ＝2 s. (3)v ＝v 0＋v 2＝14＋02m /s ＝7 m/s. 12.(2018·温州市十五校联考)如图3所示，无人机完成航拍任务后，悬停在距离地面高度H ＝80 m 处，控制动力系统，让无人机以8 m/s 2的加速度竖直向下运动，经过2 s 后再次控制动力系统，让无人机竖直向下做匀减速直线运动，落地时速度恰好为零.试求：图3(1)下落过程中的最大速度；(2)匀减速运动过程中加速度大小；(3)整个下落过程中的平均速度大小.答案 见解析解析 (1)v m ＝a 1t 1，由于a 1＝8 m /s 2，t 1＝2 s ，代入解得：v m ＝16 m/s.(2)匀加速下落的高度为h 1＝v m 22a 1＝16 m ， 匀减速下落的高度为h 2＝H －h 1＝(80－16) m ＝64 m ，设匀减速运动过程中加速度大小为a 2，a 2＝v m 22h 2＝2 m/s 2. (3)匀减速运动过程中经历时间t 2＝v m a 2＝8 s ， 整个下落过程中的平均速度大小为v ＝H t 1＋t 2＝8 m/s(或者v ＝v m 2＝8 m/s)。
