四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末检测 数学(文科、理科)试题及答案

2019学年四川省内江市高二上学期期末文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱2. （2015秋•内江期末）四川省教育厅为确保我省高考使用全国卷平稳过渡，拟召开高考命题调研会，广泛征求参会的教研员和一线教师的意见，其中教研员有80人，一线教师有100人，若采用分层抽样方法从中抽取9人发言，则应抽取的一线教师的人数为（） A．3 B．4 C．5 D．63. （2015秋•内江期末）若直线2x﹣y﹣4=0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a﹣b的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣64. （2015秋•内江期末）将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A．一样大 ________ B．蓝白区域大C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定5. （2015秋•内江期末）若直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点，则m的值是（）A．﹣2 B．1 C．1或﹣2 D．2或﹣16. （2015秋•内江期末）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α ⊥ β，m ⊂α，则m ⊥ β________B．若α ⊥ β，m ⊥ α，则m ∥ βC．若m ∥ α，α∩β=n，则m ∥ n________D．若m ∥ α，m ∥ β，α∩β=n，则m ∥ n7. （2015秋•内江期末）内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：p8. ly:宋体; font-size:10.5pt">年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t 0 1 2 3 4 5 6 人口总数y 8 8 8 9 9 10 11若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线 = t+ 一定过点（）A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14） D．（4，11）9. （2015秋•内江期末）如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，其中茎为十位数，叶为个位数，甲、乙两人得分的中位数为X 甲、X 乙，则下列判断正确的是（）A．X 乙﹣X 甲 =5，甲比乙得分稳定B．X 乙﹣X 甲 =5，乙比甲得分稳定C．X 乙﹣X 甲 =10，甲比乙得分稳定D．X 乙﹣X 甲 =10，乙比甲得分稳定10. （2015秋•内江期末）设直线x﹣ y+3=0与圆心为O的圆x 2 +y 2 =3交于A，B两点，则直线AO与BO的倾斜角之和为（）A． B． C． D．11. （2015秋•内江期末）为求使不等式1+2+3+…+n＜60成立的最大正整数n，设计了如图所示的算法，则图中“”处应填入（）A．i+2 B．i+1 C．i D．i﹣112. （2015秋•内江期末）在直三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 中，AB ⊥ BC ，AB=BC=AA1 ，则异面直线AC 1 与B 1 C所成角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°13. （2015秋•内江期末）设四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若该棱锥的五个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．25π B．32π C．36π D．50π二、填空题14. （2015秋•内江期末）阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是___________ ．15. （2015秋•内江期末）将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x 2 +y 2 =9的内部的概率为_________ ．16. （2015秋•内江期末）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该截面的面积为_________ ．17. （2015秋•内江期末）设P是直线y=2x﹣4上的一个动点，过点P作圆x 2 +y 2 =1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|取最小值时P点的坐标为_________ ．三、解答题18. （2015秋•内江期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA ⊥ 底面ABCD，且底面ABCD为正方形，E是PA的中点．（Ⅰ ）求证：PC ∥ 平面BDE；（Ⅱ ）求证：平面PAC ⊥ 平面BDE．19. （2015秋•内江期末）已知圆C：x 2 +y 2 ﹣4x﹣5=0．（Ⅰ ）判断圆C与圆D：（x﹣5） 2 +（y﹣4） 2 =4的位置关系，并说明理由；（Ⅱ ）若过点（5，4）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．20. （2015秋•内江期末）随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下：p21. ly:宋体; font-size:10.5pt">分组频数频率 [0，0.5） 4 0.10 [0.5，1） m p [1，1.5） 10 n [1.5，2） 6 0.15 [2，2.5） 4 0.10 [2.5，3） 2 0.05 合计 M 1（Ⅰ ）求出表中的M，p及图中a的值；（Ⅱ ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；（Ⅲ ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．22. （2015秋•内江期末）如图所示，在长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，BC=2AB=4，，E是A 1 D 1 的中点．（Ⅰ ）在平面A 1 B 1 C 1 D 1 内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l ⊥ CE ；（Ⅱ ）设（Ⅰ ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C 1 到平面α的距离．23. （2015秋•内江期末）已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ ）求圆C的标准方程；（Ⅱ ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．24. （2015秋•内江期末）在梯形PBCD中，A是PB的中点，DC ∥ PB ，DC ⊥ CB ，且PB=2BC=2DC=4（如图1所示），将三角形PAD沿AD翻折，使PB=2（如图2所示），E 是线段PD上的一点，且PE=2DE．（Ⅰ ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ ）在线段AB上是否存在一点F，使AE ∥ 平面PCF？若存在，请指出点F的位置并证明，若不存在请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题（每题3分）1.写出方程组的增广矩阵_____．【答案】．【解析】【分析】由方程组增广矩阵的定义直接得到答案.【详解】解:方程组的增广矩阵为.故答案为:【点睛】本题考查方程组的增广矩阵,直接按照定义求解即可,要注意区分增广矩阵和系数矩阵.2.已知,,则||＝_____．【答案】5【解析】【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.【详解】解:因为,,,故答案为:5【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.3._____．【答案】1【解析】【分析】在的分子分母上同时除以,可得,即可求极限.【详解】解:故答案为:1【点睛】本题主要考查了定义法求极限的解,解题的关键是在分式的分子分母上同时除以,属于基础试题.4.直线的倾斜角为,则m的值是_____．【答案】1【解析】【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得值.【详解】解：直线的倾斜角为.所以该直线的斜率为,所以,解得：.故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.5.已知点,,则线段的垂直平分线的方程是_____．【答案】【解析】【分析】先求出的中点的坐标,再求出直线的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程.【详解】解:设的坐标为，则,,所以.因为直线的斜率为,所以线段垂直平分线的斜率,则线段的垂直平分线的方程为化简得.故答案为：【点睛】本题考查求线段的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出的中点的坐标利用与的坐标求出直线的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为得到垂直平分线的斜率根据的坐标和求出的斜率写出的垂直平分线的方程即可.6.直线的一个方向向量，则与的夹角大小为__________.（用反三角函数表示）【答案】【解析】【分析】求出的方向向量，直接利用夹角公式求解即可.【详解】的方向向量为，夹角满足，夹角为，故答案为.【点睛】平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7.向量,,,若、、三点共线,则_____．【答案】11【解析】分析】依题意求出,,利用向量共线得到向量坐标的关系式,然后解方程得到参数的值.【详解】解:因为,,,所以,,因为、、三点共线,则,解得.故答案为:11【点睛】本题主要是考查了向量的共线的运用.向量共线,且有一个公共点时，则可以证明三点共线这个方法很重要.8.无穷等比数列各项和的值为2公比,则首项的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为2,得且,从而可得的范围.【详解】解:由题意可得,所以且,又因为,所以,所以,则.故答案为:【点睛】本题主要考查了等比数列的各项和,而无穷等比数列的各项和是指当且时前项和的极限,解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前项和的极限存在则可得且,这也是考生常会漏掉的知识点.9.已知点,点的坐标满足,则点与点距离的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】先将转化为直线,再求点到直线的距离即可.【详解】解: 点的坐标满足,则点在直线上,则点与点距离的最小值即为点到直线的距离:,故点与点距离的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.10.已知,点为曲线上一个动点,为原点,则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题意知,且,则,即可得出,得出的取值范围.【详解】解:因为点为曲线上一个动点,所以,且,则,.,因为,则.,故的取值范围是.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的应用,考查平面向量数量积的运算,是基础题.11.已知满足,则为_____．【答案】【解析】【分析】将两边平方得: ,结合向量的数量积公式的逆应用,可得出的大小.【详解】解: 两边平方得:,所以所以.故答案为:【点睛】本题考查向量夹角的运算,考查向量的数量积公式的逆应用,属于基础题.12.若实数满足,则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】依题意,本题求圆上的点到点的距离的取值范围,先求出圆心到点,从而可得出圆上的点到点的最小距离和最大距离,进而得出取值范围.【详解】解: ,即求圆上的点到点的距离的取值范围.圆心到点的距离为:,则圆上的点到点的最小距离为,最大距离为.实数满足,则的取值范围为:故答案为:【点睛】本题考查点到圆的最大最小距离,考查两点间的距离公式,是基础题.二、选择题（每题3分）13.直线与直线的位置关系是（）A. 相交B. 重合C. 平行D. 垂直【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般方程满足,则两直线平行.【详解】解: 直线与直线,满足,故直线与直线平行.故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足,则两直线平行.14.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设点坐标，利用点到两坐标轴距离相等建立方程即可得到到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程【详解】解:设点的坐标为,因为点到两坐标轴距离相等,所以,即.故到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是.故选:A.【点睛】本题考查轨迹方程,求轨迹方程的方法为:建立平面直角坐标系,设所求的点的坐标,找限制条件,代入限制条件,化简即可得到轨迹方程,可简记为:"建设限代化".15.已知数列满,则（）A. 1B. 0C. 1或0D. 不存在【答案】B【解析】【分析】分别讨论时,和当时, 结合奇数和偶数,以及极限的求法即可解出答案.【详解】解:因为数列满,①当时,②当时,当为奇数时,当为偶数时,综上所述,.故选:B【点睛】本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础题.16.已知中,,．当每个取遍时, 的取值不可能是（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】B【解析】【分析】将,分别取,逐一代入,结合,即可得出答案.【详解】解:①当时,;②当时,;③当时,;④当时,;⑤当时,;⑥当时,;⑦当时,;⑧当时,综上所述, 的取值不可能是1.故选:B【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的模的求法,属于基础题.三、简答题（8+10+10+12+12）17.已知二元一次方程组无解，求k的值：【答案】【解析】【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组无解,则与平行,由，解得：．经过验证满足题意．时方程组无解．【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.18.等差数列中,若,,（1）求等差数列的通项公式和前项和．（2）求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意易得公差，由公式得出通项公式再根据前项和公式得出．（2）根据（1）可得．对分子分母同时除以得即可得极限.【详解】解:（1）设等差数列的公差为d．∵,,∴,∴，∴，∴．（2）由（1）知，，∴．【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和公式,求数列极限问题,是中档题.19.已知三个顶点分别为,,．（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．（2）求的面积．【答案】（1）;（2）7【解析】【分析】（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.【详解】解:（1）因为,．则边上的中点：.可得中线所在直线的一般式方程：．化简得：．故边上的中线所在直线的一般式方程为.（2）,直线的方程为：,化为：．点到直线的距离．∴的面积.【点睛】本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.20.如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，，其中.（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的的值.【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）将向量用向量和表达，由三点共线，即可得到和的关系．（2）由三角形面积公式，，由（1）可知，由消元法，转化为的函数求最值即可．试题解析：：（1）如图延长交与，∵是正三角形的中心为的中点，则有三点共线故（2）是边长为1的正三角形，由，即设则,易知在为减函数，在为增函数．，即，时，取得最小值，即取得最小值’又∴f（t）取得最大值是，则取得最大值，此时或考点：向量的实际应用，函数的最值【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．属中档题．解题时要根据实际问题回归求函数最值的问题，其中考查利用函数的单调性求函数最值的方法，要注意构造新函数时定义域的问题21.已知直线与圆心为坐标原点的圆相切．（1）求圆的方程;（2）过点的直线与圆交于两点,若弦长,求直线的斜率的值;（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,试着判断向量和是否共线?请说明理由．【答案】（1）;（2）或;（3）共线,理由详见解析【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径,结合圆心即可得出圆的方程．（2）设直线的斜率为,得出点斜式方程,再求圆心到直线的距离,根据公式即可求出直线的斜率.（3）由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,设,则,联立,得一元二次方程标代入方程可得, ,所以,得出结论.【详解】解（1）∵直线与圆心为坐标原点的圆相切．∴圆半径,∴圆的方程为．（2）设直线的斜率为．则直线的方程为 ,即,圆心到直线的距离为,∵弦长,∴,解得或．（3）向量和共线,理由如下：由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,则,由,得.∵点的横坐标一定是该方程的解,故可得．同理可得,∴,∴向量和共线．【点睛】本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查直线平行的证明,是综合题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题（每题3分）1.写出方程组的增广矩阵_____．【答案】．【解析】【分析】由方程组增广矩阵的定义直接得到答案.【详解】解:方程组的增广矩阵为.故答案为:【点睛】本题考查方程组的增广矩阵,直接按照定义求解即可,要注意区分增广矩阵和系数矩阵.2.已知,,则||＝_____．【答案】5【解析】【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.【详解】解:因为,,,故答案为:5【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.3._____．【答案】1【解析】【分析】在的分子分母上同时除以,可得,即可求极限.【详解】解:故答案为:1【点睛】本题主要考查了定义法求极限的解,解题的关键是在分式的分子分母上同时除以,属于基础试题.4.直线的倾斜角为,则m的值是_____．【答案】1【解析】【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得值.【详解】解：直线的倾斜角为.所以该直线的斜率为,所以,解得：.故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.5.已知点,,则线段的垂直平分线的方程是_____．【答案】【解析】【分析】先求出的中点的坐标,再求出直线的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程.【详解】解:设的坐标为，则,,所以.因为直线的斜率为,所以线段垂直平分线的斜率,则线段的垂直平分线的方程为化简得.故答案为：【点睛】本题考查求线段的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出的中点的坐标利用与的坐标求出直线的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为得到垂直平分线的斜率根据的坐标和求出的斜率写出的垂直平分线的方程即可.6.直线的一个方向向量，则与的夹角大小为__________.（用反三角函数表示）【答案】【解析】【分析】求出的方向向量，直接利用夹角公式求解即可.【详解】的方向向量为，夹角满足，夹角为，故答案为.【点睛】平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7.向量,,,若、、三点共线,则_____．【答案】11【解析】分析】依题意求出,,利用向量共线得到向量坐标的关系式,然后解方程得到参数的值.【详解】解:因为,,,所以,,因为、、三点共线,则,解得.故答案为:11【点睛】本题主要是考查了向量的共线的运用.向量共线,且有一个公共点时，则可以证明三点共线这个方法很重要.8.无穷等比数列各项和的值为2公比,则首项的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为2,得且,从而可得的范围.【详解】解:由题意可得,所以且,又因为,所以,所以,则.故答案为:【点睛】本题主要考查了等比数列的各项和,而无穷等比数列的各项和是指当且时前项和的极限,解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前项和的极限存在则可得且,这也是考生常会漏掉的知识点.9.已知点,点的坐标满足,则点与点距离的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】先将转化为直线,再求点到直线的距离即可.【详解】解: 点的坐标满足,则点在直线上,则点与点距离的最小值即为点到直线的距离:,故点与点距离的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.10.已知,点为曲线上一个动点,为原点,则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题意知,且,则,即可得出,得出的取值范围.【详解】解:因为点为曲线上一个动点,所以,且,则,.,因为,则.,故的取值范围是.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的应用,考查平面向量数量积的运算,是基础题.11.已知满足,则为_____．【答案】【解析】【分析】将两边平方得: ,结合向量的数量积公式的逆应用,可得出的大小.【详解】解: 两边平方得:,所以所以.故答案为:【点睛】本题考查向量夹角的运算,考查向量的数量积公式的逆应用,属于基础题.12.若实数满足,则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】依题意,本题求圆上的点到点的距离的取值范围,先求出圆心到点,从而可得出圆上的点到点的最小距离和最大距离,进而得出取值范围.【详解】解: ,即求圆上的点到点的距离的取值范围.圆心到点的距离为:,则圆上的点到点的最小距离为,最大距离为.实数满足,则的取值范围为:故答案为:【点睛】本题考查点到圆的最大最小距离,考查两点间的距离公式,是基础题.二、选择题（每题3分）13.直线与直线的位置关系是（）A. 相交B. 重合C. 平行D. 垂直【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般方程满足,则两直线平行.【详解】解: 直线与直线,满足,故直线与直线平行.故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足,则两直线平行.14.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设点坐标，利用点到两坐标轴距离相等建立方程即可得到到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程【详解】解:设点的坐标为,因为点到两坐标轴距离相等,所以,即.故到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是.故选:A.【点睛】本题考查轨迹方程,求轨迹方程的方法为:建立平面直角坐标系,设所求的点的坐标,找限制条件,代入限制条件,化简即可得到轨迹方程,可简记为:"建设限代化".15.已知数列满,则（）A. 1B. 0C. 1或0D. 不存在【答案】B【解析】【分析】分别讨论时,和当时, 结合奇数和偶数,以及极限的求法即可解出答案.【详解】解:因为数列满,①当时,②当时,当为奇数时,当为偶数时,综上所述,.故选:B【点睛】本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础题.16.已知中,,．当每个取遍时,的取值不可能是（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】B【解析】【分析】将,分别取,逐一代入,结合,即可得出答案.【详解】解:①当时,;②当时,;③当时,;④当时,;⑤当时,;⑥当时,;⑦当时,;⑧当时,综上所述, 的取值不可能是1.故选:B【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的模的求法,属于基础题.三、简答题（8+10+10+12+12）17.已知二元一次方程组无解，求k的值：【答案】【解析】【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组无解,则与平行,由，解得：．经过验证满足题意．时方程组无解．【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.18.等差数列中,若,,（1）求等差数列的通项公式和前项和．（2）求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意易得公差，由公式得出通项公式再根据前项和公式得出．（2）根据（1）可得．对分子分母同时除以得即可得极限.【详解】解:（1）设等差数列的公差为d．∵,,∴,∴，∴，∴．（2）由（1）知，，∴．【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和公式,求数列极限问题,是中档题.19.已知三个顶点分别为,,．（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．（2）求的面积．【答案】（1）;（2）7【解析】【分析】（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.【详解】解:（1）因为,．则边上的中点：.可得中线所在直线的一般式方程：．化简得：．故边上的中线所在直线的一般式方程为.（2）,直线的方程为：,化为：．点到直线的距离．∴的面积.【点睛】本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.20.如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，，其中.（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的的值.【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）将向量用向量和表达，由三点共线，即可得到和的关系．（2）由三角形面积公式，，由（1）可知，由消元法，转化为的函数求最值即可．试题解析：：（1）如图延长交与，∵是正三角形的中心为的中点，则有三点共线故（2）是边长为1的正三角形，由，即设则,易知在为减函数，在为增函数．，即，时，取得最小值，即取得最小值’又∴f（t）取得最大值是，则取得最大值，此时或考点：向量的实际应用，函数的最值【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．属中档题．解题时要根据实际问题回归求函数最值的问题，其中考查利用函数的单调性求函数最值的方法，要注意构造新函数时定义域的问题21.已知直线与圆心为坐标原点的圆相切．（1）求圆的方程;（2）过点的直线与圆交于两点,若弦长,求直线的斜率的值;（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,试着判断向量和是否共线?请说明理由．【答案】（1）;（2）或;（3）共线,理由详见解析【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径,结合圆心即可得出圆的方程．（2）设直线的斜率为,得出点斜式方程,再求圆心到直线的距离,根据公式即可求出直线的斜率.（3）由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,设,则,联立,得一元二次方程标代入方程可得, ,所以,得出结论.【详解】解（1）∵直线与圆心为坐标原点的圆相切．∴圆半径,∴圆的方程为．（2）设直线的斜率为．则直线的方程为 ,即,圆心到直线的距离为,∵弦长,∴,解得或．（3）向量和共线,理由如下：由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,则,由,得.∵点的横坐标一定是该方程的解,故可得．同理可得,∴,∴向量和共线．【点睛】本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查直线平行的证明,是综合题.。

2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4. 下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点到平面的距离为11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．若函数是型函数, 则的值为（）A．B．C．D．2019-2020年高二上学期期末考试数学文含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件：两个点数互不相同，事件：出现一个4点，则等于__________.15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则_________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社已知“足球社”社团抽取的同学8人。

四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末检测数学（文）试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.）1．已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）A．26 B．27 C．28 D．292．设B点是点A（2，﹣3，5）关于平面xOy的对称点，则|AB|＝（）A．10 B．√10C．√38D．383．直线l1、l2的斜率是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合4．如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，A3，…，A14，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是（）A．9 B．8 C．7 D．65．方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直线与圆（x+1）2+y2＝25的位置关系是（）A．.相离B．.相切C．.相交D．不能确定6．关于直线m、n及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β7．已知（x 0，y 0）为线性区域{x −2x +2≥0x ≤1x +x −1≥0内的一点，若z ＝2x 0﹣y 0，则z 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．﹣1D ．128．已知点M （1，3）到直线l ：mx +y ﹣1＝0的距离等于1，则实数m 等于（ ） A ．34B ．43C ．−43D ．−349．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3+37．（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数．）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1510．若圆心坐标为（﹣2，1）的圆，被直线x ﹣y ﹣1＝0截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4 B ．（x +2）2+（y ﹣1）2＝4 C ．（x +2）2+（y ﹣1）2＝9D ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝911．若圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1上存在点P ，使得xx →⋅(xx →−xx →)=0，其中点M （﹣t ，0），N （t ，0）（t ∈R +），则t 的最小值是（ ） A ．7B ．5C ．4D ．612．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱xx =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．[9x4，3x ] B ．[2π，3π] C ．[11x4，4x ] D ．[9x4，4x ] 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为a ，则2x 1+3，2x 2+3，…，2x n +3的平均数是 ．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．已知一个5次多项式为f （x ）＝4x 5﹣3x 3﹣2x 2﹣5x +1，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝3时的值为 ．15．一条光线从点（2，﹣3）射出，经x 轴反射，其反射光线所在直线与圆（x ﹣3）2+y 2＝1相切，则反射光线所在的直线方程为 ．16．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1上的一个动点，若平面BED 1交棱AA 1于点F ，给出下列命题：①四棱锥B 1﹣BED 1F 的体积恒为定值；②对于棱CC 1上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG ∥平面EBD 1；③O为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱DD1上存在点H，使OH∥平面EBD1；④存在唯一的点E，使得截面四边形BED1F的周长取得最小值．其中为真命题的是．（填写所有正确答案的序号）三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（2，4），C（5，﹣1）．（1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB上的高所在直线的一般式方程．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．19．（12分）如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1、CC1的交点记为E、F．（1）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若过A 1、E 、F 三点做一平面，求截得的几何体A 1B 1C 1EF 的表面积； （2）求三棱锥A 1﹣AEF 的体积．20．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x /分 10 11 12 13 14 15 等候人数y /人 23 25 26 29 28 31调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数xx ，再求x x 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据，求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率；（2）若选取的是中间4组数据，求y 关于x 的线性回归方程xx =x x x +x x ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线x x =x x x +x x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：xx =∑ x x =1(x x −x )(x x −x )∑ x x =1(x 1−x )2=∑ x x =1x x x x −xxx∑ x x =1x x 2−xx2，xx =x −x x x ． 21．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，四棱锥P ﹣ABCD 的体积x =83，M 是PA 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成角的余弦值； （2）求点B 到平面PCD 的距离．22．（12分）如图，圆x 2+y 2＝4与x 轴交于A 、B 两点，动直线l ：y ＝kx +1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，与圆交于C 、D 两点．（1）求CD 中点M 的轨迹方程；（2）若xx→=xx →，求直线l 的方程； （3）设直线AD 、CB 的斜率分别是k 1、k 2，是否存在实数k 使得x1x 2=2？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.） 1．【详解详析】样本间隔为48÷4＝12，则3+12＝15，15+12＝27，即另外一个学生编号是27， 故选：B ．2．【详解详析】∵点B 是点A （2，﹣3，5）关于平面xOy 的对称点， ∴B 的横标和纵标与A 相同，而竖标与A 相反， ∴B （2，﹣3，﹣5）， ∴直线AB 与z 轴平行， ∴|AB |＝5﹣（﹣5）＝10， 故选：A ．3．【详解详析】直线l 1、l 2的斜率k 1，k 2是方程x 2+2x ﹣1＝0的两根， ∴k 1•k 2＝﹣1， ∴l 1⊥l 2． 故选：B ．4．【详解详析】分析程序中各变量、各语句的作用．根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累计14次考试成绩大于等于90分的次数．根据茎叶图可得大于等于90分的成绩有91，93，99，98，94，95，94，102，105共9个． 故选：A ．5．【详解详析】由（a ﹣1）x ﹣y +2a +1＝0，得a （x +2）﹣x ﹣y +1＝0，联立{x +2=0−x −x +1=0，解得{x =−2x =3． ∴直线（a ﹣1）x ﹣y +2a +1＝0过定点（﹣2，3）， ∵（﹣2+1）2+32＝10＜25，∴点（﹣2，3）在圆（x +1）2+y 2＝25的内部，则直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0与圆（x+1）2+y2＝25的位置关系是相交．故选：C．6．【详解详析】对于A，若m∥α，α∩β＝n，则m与n平行或异面，即A错误；对于B，若m⊥α，m∥β，由线面垂直的判定定理知，α⊥β，即B正确；对于C，若m∥α，n∥α，则m与n平行或相交或异面，即C错误；对于D，若m⊂α，α⊥β，则m与β平行或相交（含垂直），即D错误；故选：B．7．【详解详析】作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝2y﹣2x+4，则由z＝2x0﹣y0得y0＝2x0﹣z，平移直线y0＝2x0﹣z，由图象可知当直线y0＝2x0﹣z经过点A（1，0）时，直线y0＝2x0﹣z的截距最小，此时z最大，z max＝2×1+0＝2．故选：A．8．【详解详析】根据题意，点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则有d==1，解可得m=−34；故选：D．9．【详解详析】根据题意，不超过11的素数有2、3、5、7、11，共5个，从中任选2个，有（2，3），（2，5），（2，7），（2，11）、（3，5）、（3，7）、（3，11）、（5，7）、（5，11），（7，11），共10种取法；其中和小于等于10的取法有（2，3），（2，5），（2，7），（3，5）、（3，7），共5种，则取出的两个数和小于等于10的概率P=510=12；故选：A．10．【详解详析】由题意可得圆心到直线的距离d=211√2=2√2，所以圆的半径为：r 2＝d 2+（22）2＝9，所以圆的方程为：（x +2）2+（y ﹣1）2＝9； 故选：C ．11．【详解详析】圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1的圆心C （3，4），半径r ＝1，设P （a ，b ）在圆C 上，则xx →=（a +t ，b ），xx →=（a ﹣t ，b ），∵∠MPN ＝90°，∴xx →•xx →=（a +t ）（a ﹣t ）+b 2＝0，∴t 2＝a 2+b 2＝|OP |2，∴t 的最大值即为|OP |的最大值，等于|OC |+r ＝5+1＝6． 最小值即为|OP |的最小值，等于|OC |﹣r ＝5﹣1＝4， ∴t 的最小值是4； 故选：C ．12．【详解详析】如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D ＝3sin60°×23=√3，AO 1=√xx 2−xx 12=3， 在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BE ＝BE ，∴DE =xx2=32，在△DEO 1中，O 1E =√3+94−2×√3×32×xxx30°=√32，∴OE =√x 1x 2+xx 12=√34+1=√72，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时， 截面的面积最小，此时截面圆的半径为：r =2(√72)=32，最小面积为x ×(32)2=9x 4， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． ∴所得截面圆面积的取值范围是[9x4，4π]． 故选：D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．【详解详析】∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为a，∴x1+x2+x3+⋯+x xx=a；∴(2x1+3)+(2x2+3)+⋯+(2x x+3)x =2×x1+x2+⋯+x xx+3＝2a+3．故答案为：2a+3．14．【详解详析】f（x）＝4x5﹣3x3﹣2x2﹣5x+1＝（（（（4x）x﹣3）x﹣2）x﹣5）x+1，则f（3）＝（（（（4×3）×3﹣3）×3﹣2）×3﹣5）×3+1＝859，故答案为：859．15．【详解详析】点（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为点（2，3），①当反射光线所在的直线斜率不存在时，符合条件的方程为x＝2．②设反射光线的斜率为k，可得出反射光线为y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，∵反射光线与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，∴圆心到反射光线的距离d＝r，即3x2x3√=1，整理得：6k+8＝0，解得：k=−43．此时，反射光线所在的直线方程为：4x+3y﹣17＝0．综上所述，反射光线所在的直线方程为：x＝2或4x+3y﹣17＝0．故答案是：x＝2或4x+3y﹣17＝0．16．【详解详析】①由切割法可知，x x1−xxx1x=x x−xx1x1+x x−xx1x1，因为CC1∥AA1∥平面BB1D1，所以点E、F到平面BB1D1的距离为定值，即①正确；②可作出过CG的平面与平面EBD1平行，由面面平行的性质可得，存在无数个点E，在棱AD上均有相应的点G，使得CG∥平面EBD1，同理，也存在无数个点E，在棱AD上均有相应的点G，使得CG与平面EBD1相交，即②错误；③如图所示，设H为DD1的中点，则OH∥BD1，因为BD1⊂平面EBD1，且OH⊄平面EBD1，所以OH∥平面EBD1，即③正确；④由面面平行的性质定理可得，四边形BED1F为平行四边形，由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，即④正确；故答案为：①③④．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【详解详析】（1）∵A（﹣2，4），B（2，4），∴AB的中点为O（0，0）．∴边AB的中线CO的斜率为x=−1，5∴边AB上的中线CO的一般式方程为x+5y＝0．（2）∵A（﹣2，﹣4），B（2，4），∴k AB＝2，，故x=−12(x−5)−1，由点斜式得x=−12∴边AB上的高所在直线的一般式方程为x+2y﹣3＝0．18．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，得：10（2a+0.02+0.03+0.04）＝1，解得a＝0.005．（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝73（分）∵这100名学生语文成绩在[50，70）的频率为（0.005+0.04）×10＝0.45，这100名学生语文成绩在[70，80）的频率为0.03×10＝0.3，∴这100名学生语文成绩的中位数为：70+10×0.5−0.450.3≈71.7（分）．19．【详解详析】（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3，所求几何体的表面积为各面的面积之和，又x△x1x1x =12x1x1×x1x=12×2×1=1，x△x1x1x1=12x1x1×x1x×xxx60°=1 2×2×2xxx60°=√3，x△x1x1x=12x1x1×x1x=12×2×2=2，x四边形x1x1xx=12(x1x+x1x)×x1x1=12×(1+2)×2=3，又在三角形A1EF中，x1x=√5，xx=√5，x1x=2√2，∴x△x1xx=√6，故x表=1+2+3+√3+√6=6+√3+√6；（2）点E到面A1AF的距离就是正三角形ABC的高：ℎ=xx×xxx60°=√3，x△x1xx=1 2x1x×xx=12×3×2=3，x x1−xxx=x x−x1xx=13x△x1xx⋅x=13×3×√3=√3．20．【详解详析】（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的2组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以x(x)=515=13．（2）中间4组数据是：间隔时间（分钟）11 12 13 14等候人数（人）25 26 29 28 因为x =11+12+13+144=12.5，x =25+26+29+284=27，所以∑ x x =1(x x −x )(x x −x )=6，∑ x x =1(x x −x )2=5，所以x x =∑ x x =1(x x −x )(x x −x )∑ x x =1(x x −x )2=65=1.2， xx =x −x x x =27−1.2×12.5=12，所以x x =1.2x +12， 当x ＝10时，xx =1.2×10+12=24，24−23=1≤1； 当x ＝15时，xx =1.2×15+12=30，30−31=−1，|−1|≤1； 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．21．【详解详析】（1）取AB 中点N ，连接NM 、ND ，∵PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，底面积为22＝4， 则x =13xx ×4=43xx =83，解得PA ＝2．∵N 、M 分别为AB 、PA 的中点，∴MN ∥PB ．∴MN 与MD 所成的角就是异面直线PB 与MD 所成的角， xx =√xx 2+xx 2=√2，xx =√xx 2+xx 2=√5，xx =√xx 2+xx 2=√5． ∴xxx∠xxx =xx 2+xx 2−xx 22xx ×xx =225=√1010；（2）在平面PAD 内过点A 作AE ⊥PD ，垂足为E ，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，∵四边形ABCD 是正方形，则CD ⊥AD ，∵PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∵AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥CD ，又∵AE ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ，∴点B 到平面PCD 的距离等于AE ，在Rt △PAD 中，AD ＝2，PA ＝2，故xx =√2，故点B 到平面PCD 的距离为√2．22．【详解详析】（1）∵OM ⊥CD ，∴∠FMO ＝90°，∵圆x 2+y 2＝4与直线l ：y ＝kx +1交于C 、D 两点，∴CD 中点M 的轨迹方程为x 2+(x −12)2=14(x ≠0)．（2）∵xx →=xx →，M 为EF 中点，则|OE |＝|OF |， ∴E （1，0）或E （﹣1，0），即l 的方程为y ＝±x +1．（3）x 1=x 2x 2+2，x 2=x 1x 1−2，∴x 1x 2=x 2(x 1−2)x 1(x 2+2)=2，又x 12=4−x 12，x 22=4−x 22， ∴[x 2(x 1−2)]2[x 1(x 2+2)]2=(4−x 22)(x 1−2)2(4−x 12)(x 2+2)2=(2−x 1)(2−x 2)(2+x 1)(2+x 2)=4，即3x 1x 2+10（x 1+x 2）+12＝0，12k 2﹣20k +3＝0.x =32或x=16， 又x 1，x 2∈（﹣2，2），x 2(x 1−2)x 1(x 2+2)=2，∴y 1y 2＜0，则x =16舍去，综上，x =32．。

内江市2019－2000学年度第一学期高二期末检测题数学(文科)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上。

)1.已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是A.26B.27C.28D.292.设B点是点A(2，－3，5)关于平面xOy的对称点，则|AB|＝B.38 D.103.直线l1、l2的斜率是方程x2＋2x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，A3，…，A14，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是A.9B.8C.7D.65.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线与圆(x＋1)2＋y2＝25的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.不能确定6.关于直线m、n及平面α、β，下列命题中正确的是A.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB.若m⊥α，m∥β，则α⊥βC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m α，α⊥β，则m⊥β7.已知(x 0，y 0)为线性区域220110x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩内的一点，若z ＝2x 0－y 0，则z 的最大值为A.2B.3C.－1D.128.已知点M(1，3)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离等于1，则实数m 等于 A.34 B.43 C.－43 D.－349.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37。

(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。

四川省内江市2019-2020学年度高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D. 四边形确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2.若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A. 90.5B. 91.5C. 90D. 91【答案】A【解析】【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为，故选A.【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型4.为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A. 64B. 96C. 144D. 160【答案】D【解析】【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为，因为共抽出30人，所以总人数为人，即可求出20～30岁年龄段的人数.【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为, 因为共抽出30人，所以总人数为人,所以，20～30岁龄段的人有，故选D.【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题5.圆（x+1）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离【答案】C【解析】【分析】求出两圆圆心的距离，比较圆心距与两圆半径的关系，即可得出结论.【详解】由圆的方程知圆的圆心为，圆的圆心为,圆心距，因为，所以两圆相交.故选C.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于中档题.6.不等式组表示的平面区域内的整点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】作出可行域（的内部），分析可行域内整点即可得出结论.【详解】作出可行域如图：因为，，，所以的内部的整数点只有，故选A.【点睛】本题主要考查了简单线性规划，整点问题，属于中档题.7.已知A（﹣1，4）关于直线l的对称点为B（3，6），则直线l的方程是（）A. x﹣2y﹣9＝0B. 2x+y﹣7＝0C. 2x﹣y+3＝0D. x+2y﹣11＝0【答案】B【解析】【分析】根据的坐标可求出，及中点坐标，由关于对称，知的斜率，且过的中点，即可求出.【详解】因为，AB的中点为，所以的斜率，且过点，则直线l的方程，即，故选B.【点睛】本题主要考查了直线方程，对称问题，属于中档题.8.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为（）A. （2+4）cm2B. （4+2）cm2C. （4+4）cm2D. （2+8）cm2【答案】A【解析】【分析】根据正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，可知，解出棱柱的高即可利用面积公式求解.【详解】设正四棱柱的为h，因为正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，所以，解得，所以cm2，故选A.【点睛】本题主要考查了球的内接正四棱柱，四棱柱的表面积，属于中档题.9.若动点分别在直线上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】AB中点在直线上，该直线到的距离相等；则解得，所以M 轨迹为则M到原点距离的最小值为原点的直线的距离即为故选C10.在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP；因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．考点：异面直线及其所成的角．11.已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，可知，由方差公式求解即可.【详解】因为从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，所以3，4，5，a，b，m这6个数字中有4个4，所以，所以故选D.【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，概率，方差，属于中档题.12.已知圆C：[x﹣（a﹣2）]2+（y﹣a）2＝16，定直线l经过点A（2，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，则圆心C到直线l的距离等于（）A. 8B. 4C. 4D. 2【答案】D【解析】【分析】由题意知，圆心到直线的距离为定值，分直线斜率存在和不存在两种情况分类讨论，即可求值.【详解】根据圆的半径，弦心距，半径构成直角三角形可知，当弦长为定值时，弦心距为定值，即圆心到直线的距离为定值，若直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，不是定值，不合题意；当直线斜率存在时，直线方程为，即，圆心到直线的距离为定值，与无关，所以，此时，故选D.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.在棱长为2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于1的概率为_____．【答案】【解析】【分析】以正方体的中心为球心，1为半径做球，若点在球上或球内时，符合要求，求其体积，根据几何概型求概率即可.【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心，1为半径的球上或球内时，此点到正方体中心的距离不大于1，因为，因此正方体内点到正方体中心的距离不大于1的概率，故填.【点睛】本题主要考查了几何概型，球的体积，正方体的体积，属于中档题.14.已知，则x2+y2的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可.【详解】作出可行域如图：的几何意义表示可行域内一点到原点的距离的平方，显然，原点到直线的距离是最小值，由知，所以的最小值是.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，的几何意义，点到直线的距离，属于中档题.15.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．【答案】8【解析】【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】当时，满足循环条件，，当时，满足循环条件，，当时，满足循环条件，；当时，不满足循环条件，跳出循环，输出.故填.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.16.如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是____．【答案】①②④⑤【解析】【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对；因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以④正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即BE•BF是定值，所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，故填①②④⑤.【点睛】本题主要考查了棱柱，棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积，属于中档题.三、解答题（共6小题，满分70分）17.在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：（I）直线；（II）。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列中，，，则该数列的公比q为A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，该数列的公比．故选：D．根据等比数列的通项公式，利用，即可求出q的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线的准线方程为，则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为．故选：B．由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，可得，则得a、b 的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．3.在三棱柱中，D是的中点，F是的中点，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，，，，故选：A．根据向量加法的多边形法则可得，，从而可求，．本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．4.已知点在函数的图象上，则数列的前n项和的最小值为A. 36B.C. 6D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，则，，当时，取得最小值为．故选：B．点在函数的图象上，的，，由二次函数性质，求得的最小值本题考查了等差数列前n项和的最小值，属于基础题．5.“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得，即“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．6.下列结论错误的是A. 命题p：“，使得”，则￢：“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. 等比数列2，x，8，中的D. 已知a，，，则的最小值为8．【答案】D【解析】解：对于命题p：，，则￢：，使得，正确；对于B，“”“，或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的，正确；对于D，由于a，，，则，当且仅当时，，取等号，所以D不正确．故选：D．对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用代换；判断D的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档．7.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．由于的导数为，当时，，函数y递减．则当时，y取得最小值且为，则有，解得．则a的最小值为．故选：C．由题意可得对于一切恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，，，并且当时，，当，，函数有极大值．又当时，，当时，，故函数有极小值．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.如图，长方体中，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意：是长方体，E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，为异面直线与GF所成的角．连接，在三角形中，，，，，．，即异面直线与GF所成的角为．故选：A．异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，那么就是异面直线与GF 所成的角．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知a，，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：a，，且，设，，则，即为，由a，b为二次方程的两根，可得，解得，则的取值范围是．故选：A．a，，设，，，由a，b为二次方程的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围．本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数的定义域为R，并且满足，且当时其导函数满足2f{{'}}(x)'/>，若则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；又当时其导函数满足，当时，，在上的单调递增；同理可得，当时，在单调递减；，，，又，，在上的单调递增；故选：C．由，可知函数关于直线对称，由，可知在与上的单调性，从而可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断在与上的单调性是关键，属于中档题．12.已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，得，则，则，则，，，若，则只要即可，则，即，即，则，即，则，得，，，故选：B．求出交点M，N的坐标，若，则只要即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求是解决本题的关键考查学生的转化能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则k的值为______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．【答案】或【解析】解：若“”是“”表示，则，，则，即实数a的取值范围是，故答案为：根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键．15.若数列的前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】解：当时，，解得当时，，整理可得，即，故数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，故当时，，经验证当时，上式也适合，故答案为：把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16.设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则M，N两点间的距离的最小值为______．【答案】2【解析】解：当时，0'/>，函数在上单调递增．点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，即，则M，N两点间的距离为．令，，则，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故的最小值为，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2．求出导函数，根据题意可知，令，求出其导函数，进而求得的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是首项为1的等比数列的前n项的和，，，成等差数列，求的值；若，求．【答案】解：由题意，，显然，分，分解得分，分，分两式相减，得分分，分分【解析】利用已知条件，列出方程求解的值；化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.已知函数在点处的切线方程是．求实数a，b的值；求函数在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数．【答案】解：因为，，分则，，函数在点处的切线方程为：，分直线过点，则由题意得，即，分由得，函数的定义域为，分，，0⇒x > 2'/>，在上单调递减，在上单调递增分故在上单调递减，在上单调递增，分在上的最小值为分又，，且．在上的最大值为分综上，在上的最大值为，最小值为分【解析】求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，，点E是PD的中点．求证：平面AEC；求二面角的大小．【答案】解：平面ABCD，AB，平面ABCD，，且．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；分证明：，0，，，，设平面AEC的法向量为，则，取，得．又2，，所以，，又平面AEC，因此：平面分平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，则，得：所以二面角的大小为分【解析】由已知得，，且以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；设平面AEC的法向量为，由，得平面AEC 求出平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，，可得二面角的大小本题考查了空间线面平行的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？Ⅱ当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】解：Ⅰ设DN的长为米，则米，由得又得解得：或即DN的长取值范围是Ⅱ矩形花坛的面积为当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】Ⅰ设DN的长为米，则米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的标准方程；是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【答案】解：抛物线的焦点是，，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为；分由题意得直线l的方程为，由，消去y得，由，解得．又，．设，，则，．分，，分分若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，分解得或又，．即存在使以线段AB为直径的圆经过点分【解析】由抛物线得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由，求出b，则椭圆的方程可求；由题意得直线l的方程为，联立，消去y得，由，解得m的范围，设，，则，，求出，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题．22.已知函数，其中e为自然对数的底数，Ⅰ判断函数的单调性，并说明理由Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得，当时，，为R上的减函数；当时，令，得，若，则，此时为的单调减函数；若，则，此时为的单调增函数．综上所述，当时，为R上的减函数；当时，若，为的单调减函数；若，为的单调增函数．Ⅱ由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，即，恒成立．令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值．由，函数在上单调递减，令，，．在上也是减函数，在上也是减函数，在上的最大值为．故，不等式恒成立的实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对a分类，当时，，为R上的减函数；当时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ，不等式恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值，然后利用导数求得函数在上的最大值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．。