二 单载波频域均衡技术 2.1 单载波频域均衡系统简介在对抗多径衰落信道方面，基本的传输技术可以分为多载波和单载波两大类。
在多载波传输技术中，最具代表性的是OFDM 技术，它通过IFFT 变换将原始的数据符号调制到正交的子载波上；在单载波传输技术中，需要在接收端采用均衡器来补偿码间串扰，均衡可以采用传统的时域滤波器，也可以在频域进行，相应的系统分别成为单载波时域均衡系统(SC —TDE)和单载波频域均衡系统(SC —FDE)。
单载波频域均衡系统结合了OFDM 系统和单载波时域均衡系统的优点，在复杂度和性能的折衷方面优于后两者。
单载波频域均衡系统框图如图15所示。
图15 单载波频域系统框图在发射端，信源产生的比特流()d n 经过调制得到符号序列()x n 后，首先经过分块操作成长度为N 的数据块0121(),(),(),...,()N x n x n x n x n -，其中()(),01k x n x Nn k k N =+≤≤- （67）将每个快的最后g N 个符号拷贝到块首作为循环前缀，得到长度为b g N N N =+的数据块，构成发射符号序列()s n ，通过多径衰落信道()h n 和噪声方差2σ的AWGN 信道()v n 到达接收端。
在接收端，接收到的信号()r n 分成长度为b N 的数据块011(),(),...,()N r n r n r n -，其中()(),01k b b r n r N n k k N =+≤≤-。
然后对每个酷爱进行删除循环前缀的操作，得到()y n 。
使用N 点FFT 将信号变换到频域中，得到频域序列()Y n 。
在频域经过均衡处理后的序列ˆ()Xn ，再通过N 点IFFT 操作变换回时域序列ˆ()x n ，在时域进行判决，得到重建的数据符号ˆ()dn 。
单载波频域均衡系统的结构与OFDM 系统相似，二者都采用分块传输和循环前缀的结构，都使用FFT/IFFT 进行信号处理。
单载波频域均衡系统具有低的峰均比，除了峰均比的优势外，单载波频域均衡系统还具有以下优点： 1）与OFDM 系统近似相同的低复杂度;二者每比特需要的乘法次数均与时延扩展的对数成正比；2）抗载波频偏和相位噪声的性能优于OFDM 系统。
但是单载波频域均衡系统不像OFDM 通过并行传输降低了相对时延扩展，因而抗衰落能力不如OFDM 。
1.2 单载波频域均衡技术原理 1.2.1 信号模型我们的推导基于图1所示的模型。
第i 个数据矢量为：0121()[(),(),(),...,()][(),(1),...,(1)]T N X i x n x n x n x n x iN x iN x iN N -==++- （68）添加CP 后，得到1b N ⨯维矢量()()[(),(1),(),...,(1)]T CP g i s i T X i x iN N N x iN N x iN x iN N ==+-+-+- （69）上式中b N N ⨯维矩阵CP N T T I ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示添加循环前缀操作，其中[0]g g N N N T I ⨯=。
0g N N ⨯表示g N N ⨯维零矩阵，g N I 表示g g N N ⨯维单位阵。
多径衰落信道冲激响应用长度为L 的矢量[(0),(1),...,(1)]T h h h h L =-表示，其作用为线性卷积，如下式所描述10()()()()()()()L l r n h n s n v n h l s n l v n -==*+=-+∑ （70）令()[(),(1),...,(1)]T b b b r i r iN r iN r iN N =++-表示第i 个接收数据块矢量，v [(0),(1),...,(-1)]T b v v v N =表示噪声矢量，则经过信道后有01r(i)=H s()+H s(-1)+v i i其中：0(0)00(0)(1)(1)000(1)(0)h h h L H h L h L h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是b b N N ⨯维的下三角矩阵。
100(1)(0)0(0)(1)000h L h h h L H -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是b b N N ⨯维的上三角矩阵。
1H s(-1)i 表示由前一个数据块多径延迟的效果叠加到当前块而产生的块间干扰（IBI ）。
令1N ⨯维矢量()y i 表示删除CP 后的第i 格数据块，即01()R r()R H T x()R H T x(1)v CP CP CP CP CP y i i i i ==+-+ （71）上式中b N N ⨯维矩阵R [0I ]g CP N N N ⨯=表示删除CP 操作，v=R v CP 。
当g N L ≥时，有1R H 0CP =，也就是消除了IBI ，这样上式可以改写为y()Hx()v i i =+ （72） 其中0R H T defCP CP H =是N N ⨯为循环矩阵，具有如下的形式：(0)0(1)(0)0(1)(1)0(1)000(1)(0)h h h h L h L H h L h L h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知，当发射端采用分块传输和添加CP 的操作时，多经信道的线性卷及效果等于圆周卷积，这样在接收端删除CP 后，信道传输矩阵成为循环矩阵。
根据矩阵理论知识，循环矩阵可以被Fourier 变换矩阵对角化，即H=F ΛF H （73）其中F 为FFT 变换矩阵，其第(,)k n个元素为2/(,)j kn NF k n π-=，F H 为IFFT 变换矩阵，其第(,)k n个元素为2/(,)j kn NF k n π=， 01100000N H H H -⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，为对角阵，其中12/0()N j kl N k l H h l e π--==∑是信道冲激响应矢量h 的N 点FFT 的第k 系数。
删除CP 后的数据块进行N 点FFT 操作及相当于（72）式两端左乘F ，有 Y()Fy()i i = （74） 其中Y()[(),(1),...,(1)]T i Y iN Y iN Y iN N =++-为FFT 模块输出的第i 个1N ⨯维矢量，将（72），（73）式代入（74）式有，Y()FHx()Fv ΛFx()Fv i i i =+=+ （75） 令X()Fx()[(),(1),...,(1)]defT i i X iN X iN X iN N =++- （76） 为第i 个数据符号矢量经过N 点FFT 变换后得到的1N ⨯维频域矢量。
011Fv=[,,...,]defT N V V V V -= （77）为噪声矢量的N 点FFT 变换后得到的1N ⨯维频域矢量，（75）式可以改写为()(),01k k k k Y n H X n V k N =+≤≤- （78）（78）式可以用图2描述如下。
图2 SC-FDE 接收端频域并行处理模型可以看到，多径频率选择性衰落信道转化为频域的N 个并行子信道，每个子信道仅由包括一个乘性抽头系数k H 和一个加性白噪声k V 。
可以使用简单的N 阶频域线性均衡器来实现均衡操作，包括迫零均衡器和MMSE 均衡器，这些将在下一小节中详细描述。
除了简单的线性均衡外，也可以采用更复杂的判决反馈均衡来实现频域均衡。
可以采用简单的前向线性均衡器对经过FFT 变换和删除CP 后的频域接收矢量进行均衡，可以用下式表示：ˆ()()(),01X n W n Y n n N =≤≤- （79）其中W [(0),(1),...,(1)]T W W W N =-为均衡器系数矢量。
迫零均衡器：1(),0,1,...,1ZF lW l l N H ==- （80） MMSE 均衡器：设噪声方差为22(),n E v σ=令ˆ()()()e n xn x n =-，有 12121112212120002112212()[()()]Re{}211N N N nl l l l l l l N N l l l l l E e H H l l l l W H N N W W H NNδσδσ---*===--===-+--+=+-∑∑∑∑∑ （81）其中1,0()0,0l l l δ=⎧=⎨≠⎩令2()0n lE e W ∂=∂，得到MMSE 均衡器： 22(),0,1,...,1l MMSE l H W l l N H σ*==-+ （82）1.2.2单载波频域均衡与OFDM 比较单载波频域均衡与OFDM 的共同之处在于：1）都是基于分块传输的技术，都采用循环前缀来消除IBI ； 2）都采用FFT/IFFT 运算；第一点使得在每个数据块的处理时间内，数据矢量具有周期性，这样信号矢量与信道矢量的线性卷积等同于圆周卷积，也就是信道传输矩阵呈现循环特性。
第二点保证了信号处理复杂度的降低，同时由于频域信道矩阵呈现简单的对角特性，OFDM 的信道均衡和单载波频域线性均衡系统的均衡处理都是基于数据块的简单乘法，不需要复杂的非对角阵求逆操作，因此二者在复杂度上大大优于传统的单载波时域均衡系统。
OFDM 系统与单载波频域线性均衡系统的主要差别在于IFFT 模块的位置和作用： 在OFDM 系统中IFFT 模块位于发射端，作用是将数据复用到并行的子载波上。
而在单载波频域均衡系统中，IFFT 模块位于接收端，作用是将经过均衡的信号变换回时域。
对于相同的FFT 长度，二者的信号处理复杂度相同。
在抗频率选择性衰落的机理上，OFDM 是发端并行传输，收端并行处理，降低符号速率降低从而减小了相对时延扩展，适合于多径时延扩展很严重的频率选择性衰落信道；单载波频域均衡系统是发端串行传输，收端并行处理，发射的符号速率并没有降低，没有改变相对时延扩展，适合于多径时延扩展不是很严重的信道。
单载波频域均衡系统通过增加均衡器阶数来补偿由于频率选择性衰落造成的ISI ，但是这种均衡器的复杂度并不像传统的时域均衡器那样随着时延扩展的增加而线性上升，由于巧妙利用了信道矩阵在频域呈现的对角特性以及FFT 的快速算法，频域线性均衡器的复杂度随着时延扩展的增加仅仅以对数律增加。
1.2.3单载波频域均衡与OFDM 的峰均比对比与 OFDM 系统相比，单载波频域均衡系统由于不存在多个载波，因此大大优于多个独立子载波叠加的OFDM 系统。
下面给出OFDM 系统和单载波频域均衡系统的峰均比推导结果。
设数据符号x(n)的调制星座图集合为A ，定义数据符号的最大幅度：max max A A αα∈= （83） 每符号平均能量22max (1/)x AA ασα∈=∑ （84）OFDM 系统的峰均比OFDM PAR 和单载波系统的峰均比SC PAR 分别由式（85）和（86）给出：2max2OFDM xNA PAR σ=（85）2max2()g SC x N N A PAR N σ+=（86）对于PSK 调制方式，有max 1A =，21x σ=，因而OFDM PAR N = （87）gSC N N PAR N+=（88）对于M 阶QAM调制方式，有2max 1)2(1)/3x A M σ==-，因而OFDM PAR N =，总之，无论任何调制方式，都有2OFDMSC SC gN PAR PAR N PAR N N =≈⨯+（89） 表1给出了相应的峰均比结果对比，其中64,16g N N ==。
