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第三章 概率密度函数的估计

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分布函数与概率密度函数的参数估计方法

分布函数与概率密度函数的参数估计方法

分布函数与概率密度函数的参数估计方法在概率统计学中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的性质的重要工具。

而参数估计则是根据给定的样本数据，通过某种方法对分布函数和概率密度函数中的未知参数进行估计的过程。

本文将介绍分布函数与概率密度函数的参数估计方法，包括最大似然估计、矩估计以及贝叶斯估计。

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法。

其核心思想是选择使得给定数据样本出现概率最大的参数值作为估计值。

对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。

最大似然估计的目标是找到使得样本数据出现概率最大的参数值θ^。

具体来说，最大似然估计通过对似然函数L(θ)=∏(i=1)^n f(xi;θ)（其中f(x;θ)为概率密度函数）取对数，并对参数θ进行求导来求解参数值θ^。

矩估计（Method of Moments，MoM）是另一种常用的参数估计方法。

其基本原理是利用样本矩与理论分布矩的对应关系进行参数估计。

对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。

矩估计的目标是使样本矩与理论矩之间的差异最小化，即找到使得原始矩和样本矩最接近的参数值θ^。

除了最大似然估计和矩估计之外，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。

其核心思想是将未知参数视为一个随机变量，并基于先验分布和样本数据来求得后验分布。

贝叶斯估计不仅考虑了样本数据的信息，还考虑了先验信息的影响，因此对于样本数据较少或者不确定性较高的情况下，贝叶斯估计能够提供更稳健的参数估计结果。

总结起来，分布函数与概率密度函数的参数估计方法主要包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。

最大似然估计通过最大化样本数据出现的概率来估计参数，矩估计通过比较样本矩和理论矩之间的差异来估计参数，而贝叶斯估计则综合考虑了先验分布和样本数据来求得后验分布。

概率密度估计

概率密度估计

概率密度估计
1 概率密度估计
概率密度估计（Probability Density Estimation，简称PDE）也称为密度函数估计，旨在描述一个随机变量X的概率密度函数，从而
帮助准确定量分析研究变量X的特征。

通常，概率密度估计的过程可以分解为两个步骤。

第一步是从样
本中提取该变量的直方图，然后以某种函数形式拟合该直方图，得到
其对应的概率密度函数。

其中，最常用的函数形式为高斯分布（Gaussian Distribution）的普通分布、泊松分布（Poisson Distribution）、多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）、双截止分布（Binomial Distribution）、逻辑正态
分布（Log-normal Distribution）等。

第二步就是根据拟合出概率密度函数形状，运用其特点和参数，
得到该变量的最佳估计，便于对样本进行更有效率的分析。

比如，在
高斯分布模型下，样本拟合出的方差可以帮助我们判断数据的稳定性。

概率密度估计被广泛应用于贝叶斯统计分析、学习理论、社会科
学研究等，是发现重要模式并探寻变量分布的重要工具。

总之，概率密度估计是一项核心重要的数据分析技术，其解释力、拟合能力和模型大小的理论基础为研究者们收集总结数据，比较复杂
的变量特征提供了可靠信息。

《概率密度函数》课件

《概率密度函数》课件
概率密度函数的积分为1的性质是概 率论中的基本定理之一。这意味着概 率密度函数在整个定义域上的取值之 和为1，即所有可能事件发生的概率 之和为1。
期望和方差
总结词
概率密度函数的期望值和方差描述了随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是概率密度函数在定义域上的积分，表示随机变量的平均值或中心趋势。方差则描述了随机变 量取值离散程度的大小，即各个取值与期望值的偏离程度。期望值和方差是概率密度函数的重要特征 ，用于描述随机变量的统计特性。
二项分布
01
二项分布适用于描述伯努利试 验中成功的次数，例如抛硬币 的结果、遗传学中的基因型等 。
02
二项分布的概率密度函数是 f(k)=C(n, k)p^k(1-p)^(n-k) ，其中n是试验次数，k是成功 的次数，p是每次试验成功的 概率。
03
二项分布在统计学、生物学和 经济学等领域有广泛应用，例 如在可靠性工程、市场调查等 领域。
02
常见概率密度函数
正态分布
正态分布是一种常见的概率密 度函数，其概率密度曲线呈钟 形，对称轴为均值所在直线。
正态分布具有两个参数，即 均值和标准差，它们决定了
分布的形状和范围。
在自然界和社会现象中，许多 随机变量的概率分布都服从正 态分布，例如人类的身高、考
试分数等。
指数分布
01
指数分布适用于描述独立随机事件的时间间隔，例如电子元件 的寿命、排队等待时间等。
概率密度函数是微积分中连续函数概念在概率论中的推广。在微积分中，连续函 数可以用其导数描述其变化率；而在概率论中，概率密度函数描述了随机变量取 值在某个区间的概率与该区间长度的关系。
概率密度函数的积分（即概率质量函数）与微积分中的定积分有相似的性质和计 算方法。

模式识别习题及答案

模式识别习题及答案

第一章 绪论1.什么是模式？具体事物所具有的信息。

模式所指的不是事物本身，而是我们从事物中获得的___信息__。

2.模式识别的定义？让计算机来判断事物。

3.模式识别系统主要由哪些部分组成？数据获取—预处理—特征提取与选择—分类器设计/ 分类决策。

第二章 贝叶斯决策理论1.最小错误率贝叶斯决策过程？ 答：已知先验概率，类条件概率。

利用贝叶斯公式得到后验概率。

根据后验概率大小进行决策分析。

2.最小错误率贝叶斯分类器设计过程？答：根据训练数据求出先验概率类条件概率分布 利用贝叶斯公式得到后验概率如果输入待测样本X ，计算X 的后验概率根据后验概率大小进行分类决策分析。

3.最小错误率贝叶斯决策规则有哪几种常用的表示形式？ 答：4.贝叶斯决策为什么称为最小错误率贝叶斯决策？答：最小错误率Bayes 决策使得每个观测值下的条件错误率最小因而保证了（平均）错误率 最小。

Bayes 决策是最优决策：即，能使决策错误率最小。

5.贝叶斯决策是由先验概率和（类条件概率）概率，推导（后验概率）概率，然后利用这个概率进行决策。

6.利用乘法法则和全概率公式证明贝叶斯公式答：∑====mj Aj p Aj B p B p A p A B p B p B A p AB p 1)()|()()()|()()|()(所以推出贝叶斯公式7.朴素贝叶斯方法的条件独立假设是（P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi)⎩⎨⎧∈>=<211221_,)(/)(_)|()|()(w w x w p w p w x p w x p x l 则如果∑==21)()|()()|()|(j j j i i i w P w x P w P w x P x w P 2,1),(=i w P i 2,1),|(=i w x p i ∑==21)()|()()|()|(j j j i i i w P w x P w P w x P x w P ∑===Mj j j i i i i i A P A B P A P A B P B P A P A B P B A P 1)()|()()|()()()|()|(= P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)）8.怎样利用朴素贝叶斯方法获得各个属性的类条件概率分布？答：假设各属性独立，P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi) = P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi) 后验概率：P(ωi|x) = P(ωi) P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)类别清晰的直接分类算，如果是数据连续的，假设属性服从正态分布，算出每个类的均值方差，最后得到类条件概率分布。

概率密度函数

概率密度函数

概率密度函数概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是统计学中描述随机变量的概率分布的函数。

PDF可以用来描述连续型随机变量各个取值的概率分布情况。

1. 概念和定义概率密度函数是用来描述随机变量的取值在某个范围内的概率分布情况。

对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1.对于任意的x，f(x) ≥ 0，即概率密度函数的值为非负数。

2.在整个取值范围内，概率密度函数的面积等于1，即∫f(x)dx = 1。

3.对于任意的a ≤ b，随机变量X落在区间[a, b]上的概率可以表示为P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。

2. 特性和性质概率密度函数具有一些重要的特性和性质，我们在这里列举一些常见的：•概率密度函数是非负的。

对于任意的x，概率密度函数f(x) ≥ 0。

•概率密度函数的面积等于1。

即∫f(x)dx = 1。

•概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。

例如，P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。

•概率密度函数的积分可以计算累积分布函数。

累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是描述随机变量X落在一个给定值以下的概率。

•概率密度函数可以用来计算随机变量的期望值和方差。

•概率密度函数可以用来比较不同随机变量的概率分布情况。

3. 常见的概率密度函数在统计学和概率论中，有一些常见的概率密度函数被广泛应用于实际问题的建模和分析中。

以下是一些常见的概率密度函数：1.均匀分布：均匀分布是最简单的概率密度函数，表示在一个给定的区间内，各个取值都是等概率的。

例如，在区间[a, b]上的均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (b-a)。

2.正态分布：正态分布（也被称为高斯分布）是最常见的概率密度函数之一，在自然界中经常出现。

正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，具有均值μ和方差σ^2。

概率密度函数的估计

概率密度函数的估计
概率密度函数是描述随机变量取值概率分布的函数，是概率论中的核心概念。在实际问题中，类条件概率密度常常是未知的，因此需要通过样本集进行估计。估计方法主要分为参数估计和非参数估计两种。参数估计是在概率密度函数形式已知但参数未知的情况下，通过训练数据来估计参数，常用方法ห้องสมุดไป่ตู้最大似然估计和Bayes估计。最大似然估计是通过最大化似然函数来求解参数，使得估计出的概率密度函数最符合样本数据的分布。而Bayes估计则考虑了参数的先验分布，通过贝叶斯公式求出参数的后验分布，进而得到估计量。非参数估计是在总体概率密度函数形式未知的情况下，直接利用训练数据对概率密度进行推断，主要方法有Parzen窗法和kN-近邻法。Parzen窗法是通过某种函数表示某一样本对待估计的密度函数的贡献，所有样本所作贡献的线性组合视作对某点概率密度的估计。而kN-近邻法则是把窗扩大到刚好覆盖kN个点，落在窗内的样本点的数目固定，但窗宽是变化的，从而提高了分辨率。这些方法在模式识别、机器学习等领域有广泛应用，特别是在设计贝叶斯分类器时，需要利用样本集来估计类条件概率密度，进而完成分类器的设计。

概率密度函数的估计参数估计

概率密度函数的估计参数估计

概率密度函数的估计参数估计概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率统计学中一个非常重要的概念，用于描述连续随机变量的概率分布情况。

参数估计是统计学中一个关键的问题，它指的是通过样本数据来估计总体分布的参数。

本文将对概率密度函数的参数估计方法进行详细介绍。

一、参数估计的目标参数估计的目标是找到一组最合适的参数值，使得概率密度函数能够较好地拟合样本数据分布。

一般来说，参数估计可以分为两种类型：点估计和区间估计。

点估计是指利用样本数据直接估计出概率密度函数的参数值，而区间估计则是对参数进行区间估计，给出一个参数取值的范围。

二、点估计的方法1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找一组参数值，使得样本观测值出现的概率最大。

对于给定的样本数据，若假设一个概率分布模型，并通过极大化似然函数来求解参数值，就得到了最大似然估计。

2. 矩估计（Moment Estimation）矩估计是通过样本矩直接估计总体矩的方法。

对于连续型分布而言，可以通过样本矩来估计分布的矩，从而得到参数的估计值。

3. 最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，其基本思想是在最大化后验概率与似然函数的乘积，从而得到参数的估计值。

相对于最大似然估计，最大后验概率估计将先验分布考虑在内，可以有效地克服样本容量小引起的估计不准的问题。

三、区间估计的方法1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是通过样本数据计算出一个参数的区间估计范围，其置信水平表征了参数估计值位于置信区间内的可能性大小。

常用的置信区间估计方法有：正态分布置信区间估计、大样本置信区间估计、Bootstrap置信区间估计等。

概率密度函数估计.

概率密度函数估计.
ˆ d ( x , x ,, x ) d (X )。称作最大似然估计量。 样本集的函数，记作 1 2 N
为了便于分析，还可以定义对数似然函数 H ( ) ln l ( )。
3.2
最大似然估计(Maximum
Likelihood Estimation)
求解： 若似然函数满足连续、可微的条件，则最大似然估计量就是方程
i
P(Xi/θi)
利用上式求出 的估值 ，即为 ＝
i


上图有5个解,只有一个解最大即.
3.2
最大似然估计(Maximum
Likelihood Estimation)
正态分布下的最大似然估计示例 以单变量正态分布为例
[1， , 2 ]T
p( x | ) 1
1，
2 2
1 x 2 exp 2 2
样本集
X x1 , x2 ,, x N
l ( x ) p ( X | ) p ( xk | )
k 1 N
似然函数
3.2
最大似然估计(Maximum
dl( ) / d 0 或 dH ( ) / d 0
的解（必要条件）。 若未知参数不止一个，即 [1 , 2 ,, s ]T ，记梯度算子
, , , s 1 2
T
则最大似然估计量的必要条件由S个方程组成：
似然函数（likelihood function）
l ( ) p( X | ) p( x1 , x2 ,, x N | ) p( xi | )
i 1 N
—— 在参数 下观测到样本集 X 的概率（联合分布）密度

第三章 概率密度函数的参数估计

第三章 概率密度函数的参数估计

均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示，其中：
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为：已有c个类别的训练样 本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM，Gauss Mixture Model)：

模式识别_清华答案

模式识别_清华答案
j =1,...,c
先验概率和类条件概率相联系的形式，即 如果p(x|wi )P (wi ) = max p(x|wj )P (wj )，则x ∈ wi 。
j =1,...,c
• 2.6 对两类问题，证明最小风险贝叶斯决策规则可表示为，若 p(x|w1 ) (λ12 − λ22 )P (w2 ) > , p(x|w2 ) (λ21 − λ11 )P (w1 ) 则x ∈ w1 ，反之则属于w2 。 解 ：计算条件风险
第二章 贝叶斯决策理论
• 2.11 xj (j = 1, 2, ..., n)为n个独立随机变量，有E [xj |wi ] = ijη ，var[xj |wi ] = i2 j 2 σ 2 ，计算在λ11 = λ22 = 0 及λ12 = λ21 = 1的情况下，由贝叶斯决策引 起的错误率。（中心极限定理） 解 ： 在0 − 1损失下，最小风险贝叶斯决策与最小错误率贝叶斯决策等 价。 • 2.12 写出离散形式的贝叶斯公式。 解： P (wi |x) = P (x|wi )P (x) P (x|wi )P (wi )
– II –
第一章 绪论
第一章
略
绪论
–1–
第二章 贝叶斯决策理论
第二章
示？
贝叶斯决策理论
• 2.1 如果只知道各类的先验概率，最小错误率贝叶斯决策规则应如何表 解 ： 设一个有C 类，每一类的先验概率为P (wi )，i = 1, ..., C 。此时最小错 误率贝叶斯决策规则为：如果i∗ = max P (wi )，则x ∈ wi 。
2
R(α1 |x) =
j =1
λ1j P (wj |x)
= λ11 P (w1 |x) + λ12 P (w2 |x)

3概率密度函数的估计79页PPT

3概率密度函数的估计79页PPT
➢样本集可按类别分开，不同类别的密度函数的参 数分别用各类的样本集来训练。
➢概率密度函数的形式已知，参数未知，为了描述
概率密度函数p(x|ωi)与参数θ的依赖关系，用
p(x|ωi,θ)表示。
独立地按概率密度p(x|θ)抽取样本集
K={x1, x2 ,…, xN}，用K估计未知参数θ
第三章 概率密度密度的估计
第三章 概率密度密度的估计
14
最大似然估计示意图
最大似 然估计
p(K|θ)
ln p(K|θ)
第三章 概率密度密度的估计
15
计算方法
最大似 然估计
最大似然估计量使似然函数梯度为0 ：
N
θ H (θ )|ˆM L θlnp (x k|θ )|ˆM L 0 k 1
T
θ 1
...
s
第三章 概率密度密度的估计
argmax p(K | ) p( )
p(K)
argmax p(K | ) p( )
第三章 概率密度密度的估计
17
贝叶斯决策问题与贝叶斯估计问题
贝叶斯 估计
贝叶斯决策问题: 样本x 决策ai 真实状态wj 状态空间A是离散空间 先验概率P(wj)
贝叶斯参数估计问题： 样本集K={xi} 估计量^s 真实参数s 参数空间S是连续空间 参数的先验分布p(s)
第三章 概率密度函数的估计
请各位思考的问题
+ 1、我们可以构造一个比贝叶斯规则更好的 分类器吗？
+ 2、利用贝叶斯法则构造分类器何要估计密度以及如何估计密度?
Table of Contents
第三章 概率密度密度的估计
4
3.1 引言
分类器
x1

概率密度函数的估计

概率密度函数的估计

⒋区间估计
除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间 (d1，d2)作为 θ 可能取值范围的一种估计。这个 区间称为置信区间，这类估计问题称为区间估 计。 要求估计总体分布的具体参数是点估计问题。 介绍两种主要的点估计方法 最大似然估计和贝叶斯估计。 它们都能得到相应的估计值，当然评价一个 估计的“好坏”，不能按一次抽样结果得到的 估计值与参数真值的偏差大小来确定，而必须 从平均的和方差的角度出发进行分析
θˆ2 = x( N )
二、贝叶斯估计和贝叶斯学习
㈠贝叶斯估计 前面从决策论的角度论述了最小风险贝 叶斯决策，实际上贝叶斯决策和贝叶斯 估计是统一的。 贝叶斯决策的论述 设状态空间 ={ω1，ω2，…ωc} 识别对象 x = [x1，x2，…，xd]T ， 决策空间 A ={ α1 ,α 2 ,… ,α i }
l (θ ) = p ( X | θ ) = p( x1 , x 2 ,…，x N | θ ) 这个密度可以看成是θ 的函数，具体地说，
l (θ ) = p ( x1 , x2 , …，x N | θ ) = p ( x1 | θ ) p ( x2 | θ ) … p ( x N | θ ) 似然函数 l (θ )给出了从总体中抽出x1，
k =1
θ 例如随机变量x服从均匀分布，但参数 θ1 、 2 未知， 1
p ( x | θ ) = θ 2 − θ 1 0
θ1 < x < θ 2
其它
设从总体中独立地抽取出N个样本x1， x2，…，xN。则其似然函数为
1 p( x1 , x 2 , …, x N | θ 1 ,θ 2 ) = (θ 2 − θ 1 ) N l (θ ) = p( X | θ ) = 0

概率密度函数的估计

概率密度函数的估计
ˆ H ) ( ˆ ) p( H ) d R ( H x1 , x2 ,…， x N R ( i x ) ( i , j ) P( j x )
j 1 c

i 1, 2,, c
ˆ H) R ( 考虑到 H 的各种取值，我们应求 在空间 中的 期望 ， N E d E d E d 。
p ( x H ) p ( x , H )d

在 已知的条件下， H 对 x 已不具有什么信息
p ( x , H ) p ( H )d p ( x ) p ( H )d
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第3章 概率密度函数的估计
p ( x H ) p ( x ) p ( H )d
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第3章 概率密度函数的估计
参数估计——包括监督参数估计和非监督参数估计 监督参数估计——样本所属的类别及类条件总体概率密 度函数的形式为已知，而表征概率密度函数的某些参数 是未知的 非监督参数估计——已知总体概率密度函数的形式但未 知样本所属类别，要求推断出概率密度函数的某些参数 参数估计的方法——最大似然估计和Bayes估计
第3章 概率密度函数的估计
第3章
概率密度函数的估计
3.1 最大似然估计 3.2 Bayes估计和Bayes学习 3.3 正态分布的监督参数估计 3.4 非监督参数估计 3.5 总体分布的非参数估计
第3章 概率密度函数的估计
在上一章，我们介绍了先验概率和类条件概率密 度函数已知时，怎么去设计一个最优分类器，但 是在一般的模式识别问题中，要知道所讨论问题 的全部概率结构是不大可能的。通常对于研究的 问题只有一些一般性的、模糊的知识。可能有的 就是一些样本了。现在的问题就转变为如何利用 上述信息去对概率总体作出估计，从而进一步设 计出分类器。在模式识别问题中，先验概率的估 计并不困难，困难的是类条件概率密度函数的估 计，包括形式和参数两方面的问题。形式已知的 称为参数估计，未知的称为非参数估计。

第3章概率密度函数的估计new

第3章概率密度函数的估计new
ˆ 一般来讲, 使似然函数的值最大的 是样本 ˆ x , x , , x 的函数，记为： d ( x , x , , x )
1 2 N 1 2 N
ˆ 将 d ( x1 , x2 , , xN )称为 的最大似然估计量。 最大似然估计量：令( )为样本集D的似然函数， ˆ D {x , x , , x }，如果 d ( D) d ( x , x , , x )
[1 , 2 , ,S ]T
用 表示梯度算子:
(3-6)
求解似然函数最大值就需要对的每一维分别求导， ,..., (3-7) S 1 对似然函数求导并令梯度等于零： l ( ) 0 H( )为对数似然函数： H( ) ln[( )] lnp(D| ) lnp(x1 ,x2 , ,xN |1 , 2 , ,S ) (3-8)
13
第3章 概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念
（3）点估计、估计量和估计值： 点估计问题是要构造一个统计量d ( x1 ,..., xN )作为参数的 ˆ 估计, 在统计学中称 为 的估计量。如果x ( i ) , , x (i )是属于
1 N
类别i的几个样本观察值，代入统计量d 就得到对于第i类 ˆ 的 的具体数值，这个数值在统计学中称为 的估计值. （4）区间估计： 除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间(d1 , d 2 )作为
k 1
N
从： H ( ) 0
(3 -11)
的S 个方程能够获得 的最大似然估计量的必要条件。 ˆ ˆ 如果式(3 -11)的解 能够使得似然函数值最大，则 就是 的最大似然估计。
29
3.2.1 最大似然估计
需要注意的是： 1，有时式(3 -11)无唯一解。如图3.1中有5个解。虽然这 5个都是解，但有的解可能是真正的全局最大值点， 也可能是局部极值点，或者还可能是函数的拐点。 2，此外，我们必须注意检查所得到的解是否位于函数 H ( )定义域的边界上。如果所有的极值解都已经求得了 ，我们就能确定其中必有一个是全局的最大值。然后 检查确定真正的全局最优点。

《概率论与数理统计》第三章

《概率论与数理统计》第三章

§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，

概率统计各章节总结(1)

概率统计各章节总结(1)

概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结
概率统计是数学的一个分支，它研究随机事件的发生规律。

在实际生
活中，概率统计有着广泛的应用，如医学、金融、工程等领域。

以下
是对概率统计各章节的总结：
第一章：概率的基本概念
概率是描述随机事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。

而随机事件是指在实验和观察中，不确定性因素所引起的事件。

第二章：概率分布函数
概率分布函数是指离散或连续型随机变量取某个值或某个区间的概率。

常用的概率分布有二项分布、正态分布等。

第三章：随机变量与概率密度函数
随机变量是指随机事件的数值表示，概率密度函数是连续型随机变量
的概率分布函数。

它对应的图像为概率密度曲线。

第四章：多维随机变量及其概率分布
多维随机变量是指两个或两个以上的随机变量组成的随机变量，它们
的取值可以是一个向量。

多维随机变量的概率分布可用联合概率分布
来表示。

第五章：大数定律和中心极限定理
大数定律指的是随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值。

中心极限定理是指，样本均值的分布在n趋近于无穷大时逐渐趋近于正态分布。

第六章：参数估计
参数估计是利用样本数据来推断总体参数的方法。

它分为点估计和区间估计两种方法。

第七章：假设检验
假设检验是对总体参数是否符合我们提出的假设进行检验。

它分为单侧检验和双侧检验。

综上所述，概率统计的各章节涵盖面广，从概率的基本概念到假设检验，均有重要的理论和方法。

在实际生活和科学研究中，概率统计的应用和意义不可忽视。

[数学]第3章 概率密度函数估计 - 西安电子科技大学.ppt

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第3章 概率密度函数估计
则称 ˆ 是θ的无偏估计。如果式（3-1）不成立，则称 是ˆ θ 的有偏估计，且定义 的ˆ 偏差为：
B(ˆ )＝ θ
(3-2)
例如, 在例3.1中,
E ( s ˆ ) E ( x 1 ) E ( x 2 ) E ( x N ) s E ( v 1 ) E ( v 2 ) E ( v N )
(3-5)
第3章 概率密度函数估计
证明 由 ˆ 是θ的一个无偏估计,
0 E ˆ ( ˆ )f( x |) d x
上式两边对θ求偏导, 有
0(ˆ)f(x|)dx(ˆ)f(x|)dx (ˆ ) f(x|)d x f(x|)d x (ˆ )f(x|)• lnf(x|)d x 1
其中: s为信号; vi为噪声。 信号s的估计(量)可以取为样本 均值,
s ˆ g (x 1 ,x 2 , ,x N ) x 1 x 2 N x N x
第3章 概率密度函数估计
4. 区间估计 利用抽样分布估计参数可能位于的区间, 即要求用区 间［d1, d2］作为θ可能取值范围的一种估计。 这个区间称 为置信区间, 这类估计称为区间估计。 本章要求估计概率密度函数的某些参数, 属于点估计 问题。
第3章 概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。 下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差
存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
定理3.1 令x=(x1, x2, …, xN)为样本向量, p(x|θ)为x的联
第3章 概率密度函数估计 显然, Rˆ1(l) 是R(l)的无偏估计; Rˆ2 (l) 是R(l)的有偏估计, 但
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当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =



参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性

3.2最大似然估计
（1）前提假设

参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N

例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
2
(
)
⎧ 1 ⎪ 1 ⎛ μ − μN p (μ | A ) = exp⎨− ⎜ ⎜ σ 2 2π σ N N ⎪ ⎩ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
应用待定系数法，令两式对应的系数相等
N 1 ⎧ 1 = + ⎪σ 2 σ 2 σ 2 ⎪ N 0 ⎨ ⎪ μ N = N m + μ0 N 2 2 2 ⎪ σ σ σ 0 ⎩ N
模式识别
第三章 概率密度函数的估计
中国矿业大学信电学院 蔡利梅
第三章
3.1概述
概率密度函数的估计
3.2最大似然估计 3.3贝叶斯估计 3.4非参数估计
3.1概述

贝叶斯决策方法，前提条件是已知各类的先验概 率和类条件概率，但实际中，所得到的只是样本 集，如何由样本集得到所需的概率密度函数，需 要专门的讨论，即进行估计。 参数估计：parametric estimation，已知类条件 总体概率密度函数形式，其中部分或全部参数， 用样本来估计这些参数 非参数估计：nonparametric estimation，未知 概率密度函数形式，求函数本身。
（3）最大似然估计量
是参数空间中能使似然 函数 l (θ )极大化的值，那么 θ 为θ 的最大似然估计量。
至此，估计问题转化为求极值的问题。
（4）最大似然估计求解

未知参数为一元情况
1) 求解
dl (θ ) = 0得最大似然估计量 θ dθ 2 ) 对于一些指数函数形式 ，定义 H (θ ) = ln l (θ )， dH (θ ) = 0得最大似然估计量 θ 求解 dθ
1 l (θ ) = p( A | θ ) = (θ 2 − θ1 )N 1 ∂H =N⋅ ∂θ1 θ 2 − θ1 H (θ ) = − N ln (θ 2 − θ1 )
1 ∂H = −N ⋅ ∂θ 2 θ 2 − θ1
若令偏导数为0，则θ1θ2中至少有一个为无穷 大，所以，加上一定的附加条件：因为θ2 -θ1 越小，似然函数越大，所以根据实际情况给出 一个θ值的大致取值范围，在其中确定θ1和θ2
分布为 P (θ ) ，类比于贝叶斯决策， 贝叶斯 风险为： R θˆ | A = λ θˆ , θ p (θ | A )d θ
( )
(
) ∫ ( )
θ
R θˆ | A 称为给定A条件下估计 量 θˆ的条件风险， ˆ使条件风险 R θ ˆ|A 最小，称 如果 θ的估计量 θ
(
)
( )
ˆ是关于 θ的贝叶斯估计量。 θ
1 mN = N
∑x
k =1
N
k
2 ⎧ Nσ 0 σ2 mN + μ0 ⎪μ N = 2 2 2 2 Nσ 0 + σ Nσ 0 + σ ⎪ 解方程组： ⎨ 2 2 ⋅ σ σ ⎪σ 2 = 0 N 2 2 ⎪ + N σ σ 0 ⎩

利用定理，求μ贝叶斯估计量
ˆ = ∫ μp(μ | A)dμ ∵μ ⎧ 1 ⎪ 1 ⎛ μ − μN ˆ = ∫μ ∴μ exp⎨− ⎜ ⎜ σ 2 2π σ N N ⎪ ⎩ ⎝ 把μ N 代入上式得： Nσ 0 σ2 ˆ= mN + μ μ0 2 2 2 2 Nσ 0 + σ Nσ 0 + σ

样本集中的样本最有可能来源于概率密度最大的 地方。似然函数定义为联合概率密度，样本独立 抽取时为概率密度的乘积，所以，已知一组样 本，最有可能来自于似然函数最大所对应的密度 函数。因此，可以利用似然函数作参数估计。
令l (θ )为样本集A的似然函数 ，如果 θ = d ( x1 , x2 ,..., x N )

未知参数为多元情况
T
1) θ = [θ 1 , θ 2 ,..., θ s ] , 对θ的各分量分别求最 2 ) 对于一些指数函数形式 H (θ )分别对θ的各分量求导
值。
，定义 H (θ ) = ln l (θ )， 令 ，组成s个方程，解方 程，
求最值。

未知参数为特殊情况 若p(x)服从均匀分布，方程的解可能为无穷大。
( )
⎧ 1 N ⎪μ = N ∑ xi = x ⎪ i =1 2 2 ∴⎨ ∴ μ σ 为 μ 和 σ 的最大似然估计量 、 N 2 ⎪σ 2 = 1 ( ) x x − ∑ i ⎪ N i =1 ⎩

设A = {x1 , x2 ,..., x N }是来自 p( A | θ )的随机样本， 例3.3：
N ( N N xi − μ ) 2 = − ln 2π − ln σ − ∑ 2 2 2 2 σ i =1
∵θ = μ ,σ
[
2 T
]
N ⎧ ∂H 2(xi − μ ) N xi − μ ⎪ ∂μ = −∑ − 2σ 2 = ∑ σ 2 =0 i =1 i =1 ⎪ ∴⎨ N 1 H N ∂ 2 ⎪ ( ) μ x = − + − =0 ∑ i 2 2 2 2 ⎪ σ σ 2 ∂ i =1 σ 2 ⎩
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎫ ⎪ ⎬ dμ = μ N ⎪ ⎭
（6）贝叶斯学习

为了反映样本的数目，重新标记样本集为：
A N = {x1 ,x 2 , ,x N }
θˆ = ∫ θp (θ | A N )dθ θ的贝叶斯估计量为：
θ的后验分布为：p(θ | A
N
( )= ∫ p (A
p A N | θ ⋅ p(θ )
（5）例

2 总体分布密度为 N μ , σ ，设 A = {x1 ,x 2 , 例3.4：
(
)
是取自这种分布的样本 集，已知 μ服从 N μ 0 ,σ 0 ˆ。 分布，用贝叶斯估计的 方法求 μ的估计量 μ

(
,x N }
2
)
确定θ(即μ)的先验分布p(θ)
∵ p(μ ) ~ N μ 0 , σ 0
⎧ ⎞ ⎤⎫ μ N 1 ⎞ 2 ⎛ 1 N ⎪ 1 ⎡⎛ ⎪ 0 ⎟ ⎜ ⎟ = α ⋅ exp⎨− ⎢⎜ + − ⋅ + μ x μ 2 2 ⎟ 2 ⎟ ⎥⎬ 2 2 ∑ k ⎜ ⎜ σ0 ⎠ σ0 ⎠ ⎥ ⎪ ⎝ σ k =1 ⎣⎝ σ ⎦⎪ ⎩ 2⎢ ⎭
''
∵ p(μ | A)是μ的二次函数的指数函数 ，所以仍是一个正态密 度 ∴ 把p(μ | A)写成N μ N , σ N 的形式
l (θ ) = p( A | θ ) = p{x1 , x2 ,..., xN | θ } = ∏ p( xk | θ )
k =1 N
为样本集A的θ的似然函数
p{x1 , x2 ,..., xN | θ } 是N个随机变量 x1 , x2 ,..., xN
的联合密度，各变量相互独立抽取，所以联合概率 密度等于各自概率密度乘积。
(
)
(
)
∴ p ( A | θ ) = ∏ p (xk | μ ) =∏
k =1 N 2 ⎧ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎛ xk − μ ⎞ ⎫ exp ⎨ − ⎜ ⎟ ⎬ 2π σ ⎪ ⎭ ⎩ 2⎝ σ ⎠ ⎪

求θ的后验分布p(θ|A)
N p ( A | μ ) ⋅ p (μ ) = α ∏ p( xk | μ ) ⋅ p(μ ) p(μ | A) = ∫ p( A | μ )⋅ p(μ )dμ k =1 2 2 N ⎧ ⎫ ⎧ ⎛ ⎞ 1 1 ⎪ 1 μ − μ0 ⎪ ⎪ 1 ⎛ xk − μ ⎞ ⎫ ⎪ ⎟ ⋅ − =α ⋅ exp exp⎨− ⎜ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ∏ ⎬ ⎜ ⎟ σ σ 2 2 2π σ 0 ⎪ ⎠ ⎪ ⎪ 0 ⎠ ⎪ ⎩ ⎝ ⎭ ⎩ ⎝ ⎭ k =1 2π σ 2 2 N ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ − − μ μ μ x 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ' k 0 ⎟ ⎜ = α ⋅ exp⎨− ⎜ ⎟ ⎬ ⎬ ⋅ ∏ exp⎨− ⎜ ⎟ 2 σ 0 ⎠ ⎪ k =1 ⎪ ⎪ ⎩ 2⎝ σ ⎠ ⎪ ⎭ ⎩ ⎝ ⎭ 2 2 ⎤⎫ ⎧ N ⎡ ⎛ ⎞ − − μ μ μ x 1 ⎪ ⎛ k ⎞ ⎪ 0 ⎟ = α ' ⋅ exp⎨− ⎢⎜ + ⎜ ⎟ ⎥⎬ ∑ ⎜ ⎟ 2 ⎢⎝ σ 0 ⎠ k =1 ⎝ σ ⎠ ⎥ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎭ ⎩