2014人教A版数学必修五 3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案(4)

3.3.1二元一次不等式组与平面区域（一）教学重点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集，了解什么是边界 教学难点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集 教学过程一.复习准备：1.定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.定义：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.定义：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式组的解集.二.新课导入：1.一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为数轴上的一个区间. 那么，在直角坐标系内，二元二次不等式组的解集表示什么图形呢？（教师分析，学生画）2.研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.分析：平面内所有的点被直线6x y -=分成三类：在直线上；在直线的右下方区域；在直线的左上方区域，重点讨论左上方和右下方区域各用哪个不等式来表示.适时定义边界. 3.结论：不等式中仅>或<不包括边界；但含“≤”“≥”包括边界.同侧同号，异侧异号 4.教学例题例1：画出不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画边界（用虚线表示），再取点判断区域，即可画出.（教师分析，学生作图） 例2：用平面区域表示不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集.（同上）分析：此解集是由两个不等式的交集构成，即各个不等式表示的平面区域的公共部分. 5.练习：1）不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 .2）画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.3.3.1二元一次不等式组与平面区域（二）教学重点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示. 教学难点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）. 教学过程一.复习准备：画出二元一次不等式组2312236x yx yx+≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.（师生同练）二.讲授新课：1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.教师读题——师生列式——完成数学模型的转化——学生画图2.练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序. 桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min 着色，9min上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.3.出示例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.教师读题——师生列表——学生列式（老师讲评）——学生画图4.小结：根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.三.巩固练习：1.某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.2.某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.3.作业: P106习题A组第3题3.3.1简单的线形规划问题（一）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，并能加以解决.教学过程一.复习准备：当,x y满足不等式组111xyy x⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y=+的最大值是（答案：5）二.讲授新课：1.出示例题：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值 给出定义：目标函数——把要求的最大值的函数线形目标函数——目标函数是关于变量,x y 的一次解析式线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行解——满足线形约束条件的解(,)x y 叫做可行解可行域——由所有可行解组成的集合 结合以上例题给出解释探究：在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？2.练习：1) 求2z x y =+的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2)求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩3.小结：作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 图解法的实质是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组转化成为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.. 此步的过程可简述为“可行域——直线系——最优解” 三. 作业P106习题A 组第4题3.3.1简单的线形规划问题（二）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决. 教学过程一.复习准备：什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？ 二.讲授新课： 1.出示例题：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时使用食物A 和食物B 多少？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值2.练习：某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应该如何配置盒饭，才能既科学有费用最少？（答案：面食1315百克，米食1415百克） 3.小结：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析目标函数中所求量的几何意义，由数形结合思想求解问题. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，关键在于找出约束条件与目标函数，准确地描可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解. 三. 巩固练习：1.（2004年全国卷）设,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 （答案：5）2.甲，乙，丙三种食物维生素A ，B 含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. 试用,x y 表示混合物的成本P （元）；并确定,,x y z 的值，使成本最低，并求最低成本. 3.作业：P106 习题A 组第4题以下为赠送文档：选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

利用Excel 求解数学规划问题1、 线性规划 例1⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥≥≤+++≤+++≤++++++=4,3,2,10105000452110001001401101401100101461680..6001180310460max 214321432143214321j x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j利用Excel 求解其步骤如下：1、选择“工具”菜单中的“加载宏”选项，装入“规划求解”宏，此时，“工具”菜单中便出现“规划求解”选项。

如果“工具”菜单中已有“规划求解”选项，则直接进行第2步。

2、 按下表格式输入线性规划模型表中3、 在目标函数所在行的G3单元格内输入公式： =$B$2*B3+$C$2*C3+$D$2*D3+$E$2*E3此公式即为目标函数表达式，将该公式复制到G4,G5,G6,G7,G8单元格，即得约束条件左端表达式。

4、选择“工具”菜单的“规划求解”选项，弹出“规划求解参数”对话框，依次选定符合模型要求的项目。

（1）单击“设置目标单元格”框，将光标定位于框内，然后单击目标函数值单元格G3。

（2）在“规划求解参数”对话框的“等于”栏内，选择“最大值”选项。

（3）在“可变单元格”栏输入处，从表中选择$B$2:$E$2区域，使之出现$B$2:$E$2。

（4）在“约束”栏，单击“添加”按钮，弹出“添加约束”对话框，依次输入约束条件。

在“单元格引用位置”处，点击G4单元格，从“约束值”位置处选择约束类型“>=,<=,=,int,bin ”中的“<=”，在后面的框内点击F4单元格，按“添加”按钮，产生第一个约束条件。

类似地，添加第二、第三、第四、第五个约束条件后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框。

（５）点击“选项”按钮，根据需要选择“假定非负”等项目后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框（６）按“求解”按钮，弹出“规划求解结果”对话框，可根据需要选择“运算结果报告、敏感性报告、极限值报告”。

教学准备1. 教学目标1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。

3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。

2. 教学重点/难点重点：求二元一次不等式表示的平面区域。

难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。

3. 教学用具4. 标签教学过程一．复习导入：（设计意图：为下面学习作铺垫）2．今天学习3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域（写出课题）二．新课讲授：1．放映多媒体，出示实例问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分析：放映多媒体，出示下表学生填表（设计意图：帮助学生理清已知条件，为列不等式组做准备）（设计意图：消除学生错误认识）老师：引导学生回忆一元一次不等式的解法（放映多媒体）⑤老师用多媒体演示正确步骤（设计意图：通过学生探索，总结出画二元一次不等表示的平面区域的方法和步骤以及注意事项，有利于培养学生独立分析解决问题的能力）6．学生总结画二元一次不等表示的平面区域步骤：学生口答，老师板书1.画边界2.判断不等式表示的区域3.用阴影线表示所要区域三、课堂练习：教师利用多媒体出示题目：（设计意图：通过练习巩固所学内容）四．小结：①这节课学习了哪些知识和技能？②这节课学到了哪些研究问题的方法？学生思考，发表自己的意见，老师指导。

（设计意图：培养学生反思归纳能力）五．作业：①193页习题3.3第1题板书。

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。

【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。

解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。

（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。

解析：作出图形找整点即可。

（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。

解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。

解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。

（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。

解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。

例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【整体设计】 教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义。

作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用，然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型。

本节将通过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型，引出二元一次不等式(组)的相关概念。

本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法。

其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定。

在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程。

能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题图解法的重要基础。

②注重探究方法，结合等式(函数)所表示的图形的认知，用类比的方法提出“二元一次不等式组的解集表示什么图形”的问题③注重探究手段，结合信息计术 教学目标 1、通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域2、通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数列结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3、通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想。

尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 重难点教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），灵活运用二元一次不等式（来）表示平面区域教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式0>++C By Ax （或)0<表示0=++c By Ax 的哪一侧区域课时安排 1课时第1课时导入新课出示课本给出的实例，“一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢”？让学生用不等式来刻画资金分配的问题，可得到不等关系，由此引出二元一次不等式（组）的解集的概念展开新课 一、提出问题①让学生阅读课本，什么是二元一次不等式（组）的解集？②在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？③怎样判断二元一次不等式0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域？④直线0=++C By Ax 将平面内的点分成了哪几类？二．学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方． 三．建构数学1．进一步验证结论的正确性：如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+， ∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方， ∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->； 同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<． 又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）2．得出结论： 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．四．数学运用1．例题：例1．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域． 例2．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>．xyO下半平面 y kx b <+上半平面 y kx b >+y kx b =+ 20x y +-=2 2xyO(,)P x y ∙解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例3．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）： 解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．新问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？根据前面的讨论，不等式（1）表示直线104y x =-及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线43200x y +-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．如果再加上约束条件0,0x y ≥≥，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分．例4．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩解：（1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域；图①图②不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域． （2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-< 所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式 组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例5．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．解：ABC ∆三边所在的直线方程：AB ：240x y -+=；AC ：240x y +-=；BC ：0y =．ABC ∆内任意一点都在直线,AB AC 下方，且在直线BC 的上方，故(,)x y 满足的条件为2402400x y x y y -+>⎧⎪+-<⎨⎪>⎩．例6．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ．提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例7．（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=．（2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322ay x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a<，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．五．回顾小结：1．二元一次不等式的几何意义；2．二元一次不等式表示的平面区域的确定．六．课外作业：课本第86页练习第1－4题．课本第93页A组第1，2题，B组第1，2题3.3.2简单的线性规划问题【整体设计】教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用。