高等流体力学-第9讲

ε = − p + ( μ + λ ) skk
2 3
* 第二粘性系数
μ′
— Stokes 认为平均法向正应力
ε
就是压力函数的负值 — μ ′ =
2 μ +λ =0 3
1 2 ( p = − p δ + μ s − skkδij ) ij ij Stokes 假说下 ij 3
的本构方程
G 1 P = − pI + 2μ[S − (∇⋅V ) I ] 3
3.4 本构方程
3.4.2
应力——应变关系
牛顿内摩擦定律的量化描述——本构方程
平均法向正应力
pij = − pδ ij + 2 μ sij + λ skk δ ij 2 = − pδij + ( μ + λ)skkδij 3 1 +2μ(sij − skkδij ) 3
ε = − p + ( μ + λ ) skk
3.6 流体力学基本方程组及其定解问题
3.6.1 微分形式的流体力学方程
微分形式的流体力学方程组——积分形式的流体力学方程组
*
微分方程组及其封闭性 G ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρV ) = 0 ◆ 连续性方程 ∂t G G dV ρ = ρF + ∇⋅ P ◆ 运动方程 dt
◆ 能量方程 ◆ 本构方程 ◆ 状态方程
理想流体
du τ =μ dy
非牛顿流体：
n
(5) (6) (7)
粘弹性流体 震凝性流体 摇溶性流体
du 剪切变形率 dy
3.4 本构方程
3.4.2 * 应力和应变
应变 — 变形运动 — 速度梯度张量 — 变形速度张量
牛顿内摩擦定律的量化描述——本构方程
G ∂v j ∇V = ∂ xi
1 ∂ v j ∂ vi + ) ⇒ S= ( 2 ∂ xi ∂ x j
— 通常工程流体力学陈述的动力粘性系数
μ
ux = u( y)
1 du 2 dy 0 0 ⎞ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎠
u y = uz = 0
⎛ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 1 du S = ⎜ 2 dy ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝
y
skk = 0
通常意义下的 动力粘性系数
ux = u( y)
o
τ 12 = μ
P = pij = − pδ ij + τ ij为对称张量,
∂vl ∂vl = ( λδ jiδ kl + αδ jkδ il + βδ jlδ ik ) ⇒ ( λδ ijδ kl + αδ ikδ jl + βδ ilδ jk ) ∂xk ∂xk
∂vl = ( λδ ijδ kl + αδ ilδ jk + β δ ikδ jl ) ⇒α = β ∂xk
◆ 本构方程 ◆ 状态方程
P = − pI + 2μ S
f ( p, ρ , T ) = 0
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
粘性不可 压缩流体一般 方程组
3.6 流体力学基本方程组及其定解问题
3.6.1 微分形式的流体力学方程
* 粘性不可压缩流体 —— Navier - Stokes 方程
本构方程 广义牛顿内 摩擦定律
3.4 本构方程
3.4.2
本 构 方 程 * 第一粘性系数
考虑一维流动：
牛顿内摩擦定律的量化描述——本构方程
1 pij = − pδ ij + 2μ ( sij − skk δ ij ) + μ ′skk δ ij 3 G G 1 P = − pI + 2μ[S − (∇⋅V ) I ] + μ′(∇⋅V ) I 3
P = − pI + 2μ S
p ◆ 状态方程 —— 当 T = C ：
=c
G G G dV = F + ν ΔV dt
N - S 方程自封闭
粘性不可压缩流体的等温过程 可单独求解Navier - Stokes 方程
3.6 流体力学基本方程组及其定解问题
3.6.1 微分形式的流体力学方程
*
Байду номын сангаас
G 理想不可压缩流体方程组 ρ = C μ =0 ∇ ⋅V = 0 ⎫ G ∇ ⋅V = 0 ⎪ ◆ 连续性方程 G ⎪ G dV ⎪ ρ = ρ F − ∇p ◆ 运动方程 dt ⎪ ⎪ dU ⎬ ◆ 能量方程 ρ = ∇ ⋅ ( k ∇T ) + ρ q ⎪ dt ⎪ P = − pI ◆ 本构方程 ⎪ ⎪ ⎪ p = ρ RT ◆ 状态方程 ⎭
◆ 连续性方程 ◆ 本构方程
ρ =C
G ∇ ⋅V = 0
◆ 运动方程
∂p ∂ ∂u j ∂ui + ( ) ∇ ⋅ P = ∇ ⋅ (− pI + 2 μ S ) = − δ ij + μ ∂xi ∂xi ∂xi ∂x j 2 ∂ uj ∂p ∂ ∂ui ( )] =− + μ[ 2 + G ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi G dV G ρ = ρF + ∇⋅ P = −∇p + μΔV dt G G G dV N - S 方程 ρ = ρ F − ∇p + μΔV dt
3.6 流体力学基本方程组及其定解问题
3.6.1 微分形式的流体力学方程
* 粘性不可压缩流体一般方程组
G ρ 为常数， ∇ ⋅ V = 0 G ∇ ⋅V = 0 ◆ 连续性方程 G G dV ρ = ρF + ∇⋅ P ◆ 运动方程 dt dU ρ = P : S + ∇ ⋅ ( k ∇T ) + ρ q ◆ 能量方程 dt
应力张量 = 压力函数 + 偏应力张量
P = pij = − pδij +τ ij
* 本构方程 —— 本构关系
偏应力张量
—— 二阶各向同性张
量，与理想流体和 静止流体统一起来
变形速度张量
τ ij ⇔ S
3.4 本构方程
3.4.2
牛顿内摩擦定律的量化描述——本构方程 牛顿内摩擦定律 —— 偏应力张量各分量与速度梯度张量各分量 — 线性关系
3.4 本构方程
3.4.2
广义内摩擦定律：
∂vl τij = cijkl ∂xk
牛顿内摩擦定律的量化描述——本构方程
= cijkl slk + cijkl alk
⇒ τ ij 也是对称张量 ⇒ τ ij = τ ji
四阶各向同性张量（P46）： C ijkl
= λδ ij δ kl + αδ ik δ jl + βδ il δ jk
2 3
μ′
第二粘 性系数
1 pij = − pδ ij + 2μ ( sij − skk δ ij ) + μ ′skk δ ij 3G G 1 P = − pI + 2μ[S − (∇⋅V ) I ] + μ′(∇⋅V ) I 3
μ μ′
— 剪切变形粘性系数 — 第一粘性系数 — 体变形粘性系数 — 第二粘性系数
p22 = − p + λ ( s11 + s22 + s33 ) + 2μs22
p11 + p22 + p33 = −3 p + 3λ ( s11 + s22 + s33 ) + 2μ ( s11 + s22 + s33 ) = −3 p + ( 3λ + 2μ ) skk
二阶张量pij的第一不变量：
∂vl τij = cijkl ∂xk
= cijkl slk + cijkl alk
符合几乎所有典 型流体介质物性
cijkl
—— 动力粘性系数张量，4 阶张量， 假定各向同性：
⎡τ11 ⎤ ⎡c1111 ⎢τ ⎥ ⎢c ⎢ 12 ⎥ ⎢ 1211 ⎢τ13 ⎥ ⎢c1311 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢τ 21 ⎥ ⎢c2111 ⎢τ 22 ⎥ = ⎢c2211 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢τ 23 ⎥ ⎢c2311 ⎢τ ⎥ ⎢c ⎢ 31 ⎥ ⎢ 3111 ⎢τ 32 ⎥ ⎢c3211 ⎢τ ⎥ ⎢c ⎣ 33 ⎦ ⎣ 3311
G ∂ρ + ∇⋅ ρV = 0 ∂t
( )
G G dV ρ = ρ F + ∇⋅ P dt
dU ρ = ρq + P:S + ∇⋅ ( k∇T ) dt
第3章
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
流体力学基本方程组
连续性方程 运动方程 能量方程 本构方程 状态方程 流体力学基本方程组及其定解问题
ρ
G G 1 P = − pI + 2μ[ S − (∇ ⋅V ) I ] + μ '(∇ ⋅ V ) I 3
dU = P : S + ∇ ⋅ ( k ∇T ) + ρ q dt
f ( p, ρ , T ) = 0
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
流体力学方 程组是封闭的
独立的未知变量的总数: [ρ(1) p(1) V(3) P(6) T(1) ] 12； 方程总数为：1+ 3 + 1 + 6 + 1 = 12；
=μ
Cijkl 关于 k, l 对称
C ijkl = λδ ijδ kl + μ (δ ik δ jl + δ il δ jk )
Cijlk = λδ ijδ lk + μ (δ ilδ jk + δ ikδ jl )
cijkl alk = 0
τ ij = λδ ijδ kl slk + μ (δ ikδ jl + δ ilδ jk ) slk = λδ ij skk + μ ( s ji + sij ) τ ij = λδ ij s kk + 2 μ s ij (S为对称张量sij = s ji )