平面向量(A卷 基础过关检测)1——新高考数学复习专题测试附答案解析

【高中数学】数学《平面向量》复习知识要点一、选择题1．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BABC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，因为AD DC λ=u u u v u u u v ，所以λ= 12， 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b rr，则()a b R λλ=∈rr；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅rr r r rr④||||||a b a b +≥+rrrr；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．3．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（ ）A ．22B ．19C ．-19D ．-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211cos 216AB BC AC B AB BC +-==⋅，又()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.4．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心C ．重心D ．内心【答案】B 【解析】 【分析】可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u ru u ur u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论．【详解】Q ()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， 即()||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ， Qcos BA BCB BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB ACBC BC BC AB B AC C⋅+=-+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u ru u ur u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r ，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.故选：B ． 【点睛】本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.5．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（ ）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以22333333,,(2)()1322222AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以72cos 13213BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ，∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.7．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（ ）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】 【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.8．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ=( )A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||2||AB AC λ===u u u ru u ur . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.9．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b ⋅r r r .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D .【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.10．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r（ ）A ．2136a b -r rB ．1133a b +r rC ．1124a b +r rD ．1133a b -r r【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 2136a b =-r r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π===，点P 为ABC V 所在平面内一点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．252-B ．8-C ．172-D ．1758-【答案】A 【解析】 【分析】根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2x y ，时,取得最小值.【详解】如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r， 则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r22325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r|＝|NM u u u u r |， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ， 又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6，故选：D ．本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题13．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u v u u u v （ ）A ．1B ．22C ．32D ．62【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B CBC A BC A BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以3AB BC=uu u v uu u v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．14．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v的值是A ．－8B ．－1C ．1D ．8【解析】 【分析】 【详解】因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D15．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.16．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可. 【详解】 设||n x →=，因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2213m n x x →→-=-+=， 即220x x --=，解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.17．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A B C ．2-D 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设()=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以2212302x y x y +--+=，又()222b c x y -=-+r r ，所以原问题等价于，圆2212302x y x y +--+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆2212302x y x y +--+=的圆心坐标为312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为5，所以点()20，与圆2212302x y x y +--+=上一动点距离的最小值为()22357521222⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．18．如图，向量a b -r r等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r，19．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r，则以下说法不正确的是（ ） A ．若//a b r r，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 1 【答案】B 【解析】 【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()fα的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性. 【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时5a =-rr ，,a b r r反向.故选项D 正确.故选：B 【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.20．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）A B C D 【答案】A 【解析】【分析】根据2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 22OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=-代入上式可得==所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。

的大小是（A．3B．4二、多选题9．在△ABC中，角A，B，C因为在中，满足ABC BC所以，即222AB BC AC += ()AC BC BC BA BC ⋅=-⋅4．C【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.【详解】由题意可知，()22200BC CB BA BC BC BC BA BC BC BA ⋅++=-+⋅+=⇒⋅= 所以，即的形状是直角三角形.BC BA ⊥ABC 故选：C 5．A【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.2b ac =223a bc c ac +=+2223b c a bc +-=【详解】因为，且，2b ac =223a bc c ac +=+所以，2223b c a bc +-=所以，2223cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π6A =故选：A 6．C【分析】求出，对两边平方可得答案.ar 25a b -=【详解】，，5a =5a b ⋅=因为，所以，25a b -=222220-=-⋅+= a b a a b b 即，解得.251020-+= b 5b =故选：C.7．C【分析】由零向量与任意向量共线判断A ，根据判断B ，设，建立方程，根据3a b =r r a b λ=方程解的情况判断C ，根据判断D.12a b=【详解】对于A ：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B ：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；1233a e e =+ 12b e e =+ 3a b =r r对于C ：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，a b λ= ()12122e e e e λ-=+ 12λλ=⎧⎨-=⎩可以作为一组基底；对于D ：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；122a e e =-r u r u r 1224b e e =- 12a b =故选：C.8．A【分析】利用平面向量基本定理计算即可.【详解】设，则MG MN λ= ()AG AM MG AM MN AM AN AMλλ=+=+=+-，()()11AM AN x AB y ACλλλλ=-+=-+又因为G 是的重心，故，ABC 1331AG AB AC=+ 所以有.()()11113313313x x y y λλλλ⎧-=⎪⎪⇒+=-+=⎨⎪=⎪⎩故选：A 9．BC【分析】利用同角三角函数的基本关系和判断的符号，即可判断A 选()sin sin B A C =+cos A 项；由，求的值，即可判断B 选项；由正弦定理，求的()cos cos B A C =-+B sin sin a bA B =b 值，即可判断C 选项；利用求面积，即可判断D 选项.1sin 2ab C 【详解】解：由，得，4sin 5A =3cos 5A =±由，得为锐角且，，tan 7C =C 72sin 10C =2cos 10C =若，则，3cos 5A =-()172sin sin sin cos cos sin 050=+=+=-<B A C A C A C 与矛盾，故，故A 错误；sin 0B >3cos 5A =时，，3cos 5A =()()324722cos cos πcos 5105102B A C A C ⎡⎤=-+=-+=-⨯+⨯=⎣⎦因为，所以，故B 正确；(0,π)B ∈π4B =由正弦定理，即，得，即，故C 正确；sin sin a bA B =sin sin a B b A =24425b ⨯=522b =所以的面积为，D 错误．ABC 115272sin 4722210ab C =⨯⨯⨯=故选：BC ．10．AB【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A ；由正弦定理，向量数量积的定义，三角恒等变换结合正弦函数的性质求解判断B ；利用三角恒等变换结合正切函数的性质计算判断C ；利用余弦定理计算判断D ．【详解】对于A ，由，，得，当且仅当π3C ∠=2c =2242a b ab ab ab ab =+-≥-=时取等号，即的最大值为4，2a b ==ab 则面积，即面积的最大值为， A 正确；ABC 113sin 43222S ab C =≤⨯⨯=ABC 3对于B ，由正弦定理得，则，，43sin sin 3b c B C ==43sin 3b B=2π3B A =-83832πcos sin cos cos sin()333AC AB bc A B A A A ⋅===- 2833143cos (cos sin )4cos sin cos 3223A A A A A A =+=+，23431343π2(1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)2sin(2)2332233A A A A A =++=++=++显然，有，，则当，2π03A <<4π023A <<ππ5π2333A <+<ππ232A +=即时，取得最大值为，B 正确；π12A =AC AB ⋅ 4323+对于C ，，由，2π2π2πcos()cos cos sin sin cos 13333tan cos cos cos 22A A A B A AA A -+===-+2π(0,)3A ∈得，因此的取值范围为，C 错误；tan (,3)(0,)A ∈-∞-⋃+∞cos cos B A 1(,2)(,)2-∞-⋃-+∞对于D ，由余弦定理得，D 错误.22222222c s 2os co b b c a a c b b a B A c bc ac a +-+-⋅=⋅=++=故选：AB 11．CD【分析】求出可判断A ；求出的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B ；由向量a b，a b -垂直的坐标运算可判断C ；利用向量夹角公式计算可判断D.【详解】对于A ，，故A 错误；2112a b ==+= ，对于B ，因为，所以，故B 错误；()()()201111a b -=-=-,,,()11112⨯--⨯=对于C ，因为，所以，所以，故()()()201111a b -=-=-,,,()11110a b b -⋅=⨯-⨯= ()a b b -⊥ C 正确；对于D ，，因为，22cos ,222a b a b a b ⋅===⨯0,πa b ≤≤所以与的夹角为，故D 正确.a bπ4故选：CD.12．BD【分析】用与点A 到边BC 的距离及的长比较大小可判断A ，B ，C ；求三角形各边及角b c 可判断D.【详解】选项A ，点A 到边BC 的距离是1，∵，∴三角形有两解；122<<选项B ，点A 到边BC 的距离是2与b 相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；选项C ，点A 到边BC 的距离是，三角形无解；2.5b >选项D ，根据已知可解出，，π75C A B =--=︒62a c ==+∴三角形有唯一解.故选：BD.13．3-【分析】根据，利用数量积的坐标运算求解.()b a kb⊥+ 【详解】解：因为向量，，()4,2a =-()1,1b =-所以，()4,2a kb k k +=--+又因为，()b a kb⊥+ 所以 ，()420b a kb k k ⋅+=+++=解得 ，3k =-故-314．35【分析】由向量平行的充要条件求出参数，进而由模长的坐标公式即可得解.【详解】由题意，且，()()2,,1,2a t b ==-//a b 所以，解得，()2210t ⨯--⨯=4t =-所以.()()223,6,3635a b a b -=--=+-= 故答案为.3515．2【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即221,4,1a b a b ==⋅= ()222a b a b-=- 可得解.【详解】由题意，，22222211,24a ab b ====== πcos ,12cos 13a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯= 所以.()2222244144142a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-⨯+= 故2.16．32【分析】根据题意，利用方位角分别求得三角形中各个角的大小，在和中，应BCE ADC △用正弦定理求得的长，再在中，利用余弦定理，即可求解.,AC BC ABC 【详解】如图所示设为向北方向，由题意得，,CF 45ACF ∠=26CD =由题可得，67.5,60,26,2ADC DAC ACB DC CE ∠=∠=∠===，75,45,60BCE CBE CEB ∠=∠=∠= 在中，由正弦定理得，可得，BCE sin sin CB CECEB CBE =∠∠sin 6sin CE CEB BC CBE ⋅∠==∠再在中，，所以,ADC △67.5ADC DAC ∠=∠=26DC AC ==在中，ABC 由余弦定理得，22212cos 602462266182AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 所以，即两座岛之间的距离为百海里.32AB =,A B 32。

高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训：平面向量一、选择题1．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线B [因为BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，所以BD →，AB →共线，又有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选B ．]2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3，λ)且a ⊥b ，则λ的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．32D ．－32A [由向量垂直的充要条件可得：2×3＋1×λ＝0，解得λ＝－6，即λ的值为－6.] 3．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a|＝|b|B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥bD [a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b.]4．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ． 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3D [向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.]5．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4C [∵(2a －b )·b ＝2a·b －|b|2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.]6．在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6B [由题意得AB ＝32，△ABC 是等腰直角三角形，CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎫CA →＋13AB →·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝0＋13|AB →|·|CB →|cos 45°＝13×32×3×22＝3，故选B ．]7.如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →＝( )A ．－12AB →＋32AC →B ．12AB →＋32AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →C [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23·(BA →＋AC →)＝13AB →＋23AC →.]8．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2D [∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2， ∴a ·b ＝1×2×cos 60°＝1， ∴|2a －b |＝4|a |2＋(b )2－4a ·b ＝4＋4－4＝2，故选D ．]9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A ．⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－79 C ．⎝⎛⎭⎫73，79D ．⎝⎛⎭⎫－79，－73 D [设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)．又(c ＋a )∥b ， ∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73，故选D ．]10．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( ) A ．－1＋ 3 B ．－2 C ．－1±3 D ．1C [∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2， 又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝ (k a －b ) ·( a ＋b )|k a －b||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.]11．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形B [由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．]12.如图，已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bB [BC →＝2BD →＝2⎝⎛⎭⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b .] 13．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°C [由题知，(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴a ，b 的夹角为120°.]14．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A ．(2,6) B ．(－2，－6) C ．(2，－6)D ．(－2,6)D [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)．]15．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|，且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|AC →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13.] 二、填空题16．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝ . 1 [a －2b ＝(3，3)．∵a －2b 与c 共线，∴3×3＝3k ，解得k ＝1.]17．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么ab ＋bc ＋ca 等于 ． －32 [∵等边三角形ABC 的边长为1， ∴a ·b ＝1×1×cos 120°＝－12，b ·c ＝1×1×cos 120°＝－12，c ·a ＝1×1×cos 120°＝－12，∴ab ＋bc ＋ca ＝－32.]18．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c|＝ . 82 [由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.]19．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a|＝|b|＝1，则a 与b 的夹角θ为 ． π3 [因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b －8＋5＝0，即a·b ＝12. 又a·b ＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.]三、解答题20．已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2.求： (1)(a －2b )(a ＋b )； (2)|3a －4b |.[解] a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， ∴ab ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， (1)(a －2b )(a ＋b )＝|a |2－2ab ＋ab －2|b |2＝16＋4－2×4＝12. (2)|3a －4b |2＝9|a |2－24ab ＋16|b |2＝9×42－24× (－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419.21．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b|＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. [解] (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c|＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)． (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a·b －2b 2＝0，所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，所以2×5＋3a·b－2×54＝0，所以a·b＝－52.所以cos θ＝a·b|a||b|＝－1.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.。

5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( )A ．B ．21 C ．21 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ）A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2（2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=uu u r uu u r _______.（2012·15）已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |= .（2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .5．平面向量（解析版）一、选择题【2015，2】解：(3,1),u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A【2014，6】解：+EB FC EC CB FB BC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =111()222AC AB AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选A 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________． 【解析】23． 由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅．因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--， 解得23||=． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b ．又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量（解析版）一、选择题此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 （2017·4）A 解析：由||||+=-a b a b r r r r 平方得2222()2()()2()++=-+a ab b a ab b r r r r r r r r ，即0=ab r r ，则⊥a b r r ，故选A.（2015·4）C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.（2014·4）A 解析：2222||210.||2 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r r r r r r r r Q Q Q 两式相减，则 1.ab =r r二、填空题（2016·13）-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．（2013·14）2解析：在正方形中，12AE AD DC =+uu u r uuu r uuu r ，BD BA AD AD DC =+=-uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2012·15）∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）（2011·13）k = 1解析： (a +b )·(k a -b )=0展开易得k =1.。

专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。

装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------试题共页第页试题共页第页试题共页第页试题共页第页式作差整理后得到(1＋λ)c＝(1＋μ)a，∵向量a，c不共线，∴1＋λ＝0,1＋μ＝0，即λ＝－1，μ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.故选D.10．解析：由题意，不妨设a＝(1,0)，b＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，p＝(x，y)，∵p·a＝p·b＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，－12x＋32y＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝32，∴|p|＝x2＋y2＝1，故选B. 11．解析：由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，化简得AB→·AC→＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB→与AC→垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E⎝⎛⎭⎪⎫23，23，F⎝⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫23，23，AF→＝⎝⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE→·AF→＝23×13＋23×43＝109.答案：B12．解析：由⎩⎨⎧a⊥c，b∥c⇒⎩⎨⎧2x－4＝0，2y＋4＝0⇒⎩⎨⎧x＝2，y＝－2，∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝10，故选B.二、填空题13．解析：∵λa＋b＝0，即λa＝－b，∴|λ||a|＝|b|.∵|a|＝1，|b|＝5，∴|λ|＝ 5.---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 答案： 514．解析：∵OA→⊥AB→，∴OA→·AB→＝0，即OA→·(OB→－OA→)＝0，∴OA→·OB→＝OA2→＝9.答案：915．解析：∵a⊥b，∴a·b＝2m－6＝0，m＝3，∴a－b＝(1,7)，∴|a－b|＝1＋49＝5 2.答案：5 216．解析：如图所示，BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝⎝⎛⎭⎪⎫12AC→－AB→·⎝⎛⎭⎪⎫AB→＋13AC→－13AB→＝⎝⎛⎭⎪⎫12AC→－AB→·⎝⎛⎭⎪⎫13AC→＋23AB→＝16AC2→－23AB2→＝16×4－23×4＝－2. 答案：－2试题共页第页B卷答案解析一、选择题1．解析：∵A(1,3)，B(4，－1)，∴AB→＝(3，－4)，又∵|AB→|＝5，∴与AB→同向的单位向量为AB→|AB→|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.答案：A2．解析：由|a＋b|＝|a－b|可知a⊥b，设AB→＝b，AD→＝a，作矩形ABCD，可知AC→＝a＋b，BD→＝a－b，设AC与BD的交点为O，结合题意可知OA＝OD＝AD，∴∠AOD＝π3，∴∠DOC＝2π3，又向量a＋b与a－b的夹角为AC→与BD→的夹角，故所求夹角为2π3，选D.答案：D3．解析：由题意可得OD→＝kOC→＝kλOA→＋kμOB→(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．答案：B4．解析：∵a＝(1，3)，b＝(3，m)，∴|a|＝2，|b|＝9＋m2，a·b＝3＋3m，又a，b的夹角为π6，试题共页第页可化为x2＋y2－2x≤0，即(x－1)2＋y2≤1，故选C.答案：C10．解析：由题知AD→＝12(AB→＋AC→)，∵AB→·AC→＝－16，∴|AB→|·|AC→|cos∠BAC＝－16.在△ABC中，|BC→|2＝|AB→|2＋|AC→|2－2|AB→||AC→|·cos∠BAC，∴102＝|A B→|2＋|AC→|2＋32，|AB→|2＋|AC→|2＝68，∴|AD→|2＝14(AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→)＝14(68－32)＝9，∴|AD→|＝3.答案：D11．解析：如图，设A(m,0)，B(0，n)，∴mn＝2，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，OP→＝a＋2b＝(1,2)，P A→＝(m－1，－2)，PB→＝(－1，n－2)，P A→·PB→＝5－(m＋2n)≤5－22nm＝1，当且仅当m＝2n，即m＝2，n＝1时，等号成立．答案：A12．解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故由几何性质得12＋12－1≤|c|≤12＋12＋1，即2－1≤|c|≤2＋1.答案：A二、填空题13．解析：AB→＝OB→－OA→＝(3,2－t)，由题意知OB→·AB→＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，解得t＝5.答案：514．解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－98，当且仅当2a＝－b时取等号．答案：－9815．解析：作CO⊥AB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，B⎝⎛⎭⎪⎫12，0，C⎝⎛⎭⎪⎫0，32，D⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，所以E⎝⎛⎭⎪⎫16，33，F⎝⎛⎭⎪⎫－56，32，所以AE→·AF→＝⎝⎛⎭⎪⎫53，33·⎝⎛⎭⎪⎫23，32＝109＋12＝2918.答案：291816．解析：如图，AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋13BC→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋1λDC→＝BC→＋1λAB→，所以AE→·AF→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB→＋13BC→·⎝⎛⎭⎪⎫BC→＋1λAB→＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13λAB→·BC→＋1λAB→2＋13BC→2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.答案：2。

（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。

5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）考点一 证线段垂直【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD 中，()2,3AC =-，()6,4BD =，则该四边形的面积为（ ）A ．52B ．252C ．13D ．26【答案】C【解析】∵12120AC BD ⋅=-+=，∵AC ∵BD ，所以四边形ABCD 面积为：114936161322AC BD ⋅=⨯+⨯+=.故选：C. 【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任意一点（异于A 、C 两点），PE AB ⊥，PF BC ⊥，垂足分别为E 、F ，连接DP 、EF ，求证：DP EF ⊥.【答案】见解析【解析】设正方形ABCD 的边长为1，()01AE a a =<<，则EP AE a ==，1PF EB a ==-，2AP a =.，()()DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF∴⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅考点呈现例题剖析()()1cos18011cos902cos4521cos45a a a a a a =⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯()210a a a a =-++-=，DP EF ∴⊥，即DP EF ⊥.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD 满足：0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则该四边形一定是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形【答案】B 【解析】0AB CD +=，AB DC ∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC -⋅=, 0DB AC ∴⋅=，所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.故选：B2．（2022·福建·漳州三中）若O 为ABC 所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】ABC 中，|||2||||()()|OB OC OB OC OA CB OB OA OC OA -=+-⇔=-+- 22||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC ⇔-=+⇔-=+22222240AB AB AC AC AB AB AC AC AB AC ⇔-⋅+=+⋅+⇔⋅=因AB 与AC 均为非零向量，则AB AC ⊥，即90BAC ∠=，ABC 是直角三角形.故选：B3．（2022·上海）在Rt ABC 中，90,BAC AB AC ︒∠==，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且,2AE EB BF FC ==．求证：CE AF ⊥．【答案】证明见解析.【解析】因为12CE CA AE AC AB =+=-+，()1133AF AB BF AB BC AB AC AB =+=+=+-=2133AB AC +．由0AB AC ⋅=且AB AC =，得121233CE AF AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221110332AB AC AB AC --⋅=，所以CE AF ⊥.考点二 夹角问题【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H 为ABC 的垂心，若1235AH AB AC =+，则sin BAC ∠=（ ）A BC D 【答案】C【解析】依题意，2235BH BA AH AB AC =+=-+，同理1335CH CA AH AB AC =+=-．由H 为△ABC 的垂心，得0BH AC ⋅=，即22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭，可知222cos 53AC AC AB BAC =∠，即3cos 5AC BAC AB∠=．同理有0CH AB ⋅=， 即13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，可知213cos 35AB AC AB BAC =∠，即5cos 9AB BAC AC ∠=，解得21cos 3BAC ∠=，2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ，又()0,πBAC ∠∈，所以sin BAC ∠=．故选：C ．【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M ,得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ D.2．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC 中，斜边BC 长为a ，A 是线段PE 的中点，PE 长为2a ，当⋅B C P E 最大时，PE 与BC 的夹角是（ ）A ．0B ．30C ．60D ．90【答案】A【解析】如图所示，设PE 与BC 的夹角为[]()0,θθπ∈，AB AC ⊥，所以0AB AC ⋅=， 因为A 是线段PE 的中点，PE 长为2a ，所以=AP AE ，==AP AE a ， 又因为,==--BP AP AB CE AE AC ，所以()()⋅-⋅-=⋅-⋅-⋅+=⋅BP CE AP AB AE AC AP AE AP AC AB AE AB AC22a AP AC AB AE a AE AC AB AE =--⋅-⋅=-+⋅-⋅()22=-+⋅-=-+⋅a AE AC AB a AE BC222211cos cos 22a PE BC a PE BC a a θθ=-+⋅=-+⋅=-+， 因为0,θπ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]cos 1,1θ∈-，所以当cos 1θ=时⋅B C P E 最大，此时0θ=，⋅B C P E 最大的值为0.故选：A.3．（2022·福建省同安第一中学）在OAB 中，2OA OB ==，AB =P 位于直线OA 上，当PA PB →→⋅取得最小值时，PBA ∠的正弦值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】建立如图所示平面直角坐标系：则(3,0),(3,0),(0,1)A B O-,设(,)P x y，因为动点P位于直线OA上，直线OA的方程为：1y=+，所以22(,),)3PA PB x y x y x y→→⋅=-⋅-=-+222244931)2(334x x x x x=-++=-=-，当x=PA PB→→⋅取得最小值94-，此时3()4P，3(),(4BP BA→→==-，所以15cosBP BAPBABP BA→→→→⋅∠====⋅又因为(0,)PBAπ∠∈，所以sin14PBA∠=，故选：C.考点三线段长度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形ABCD中，(2,1,2,AB AD AC===，则BD=（）A．1B C．2D．3【答案】B【解析】由题意得|7AC=∣，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得：()()222222222,22110,BD AC AB AD BD BD+=+∴+=+=∴=B【例3-2】（2022·云南）已知ABC120C∠=︒，2cosc b B=，则AC边的中线的长为（）A B．3C D．4【答案】C【解析】根据正弦定理由2cos sin2sin cos sin sin2c b B C B B C B=⇒=⇒=，因为,(0,180)B C∈︒，所以2C B=，或2180C B+=︒，当2C B=时，60B∠=︒,不符合三角形内角和定理，当2180C B+=︒时，30B∠=︒，因此30A∠=︒,因此a b=，因为ABC所以有122a a a⋅==，负值舍去，即2a b==，由余弦定理可知：AB ==设AC 边的中点为D ，所以有1()2BD BC BA =+，因此222111()24222BD BC BA BC BA BC BA =+=++⋅=故选：C 【一隅三反】1．（2022·云南师大附中）ABC 中，60A ∠=︒，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知3AB =，且1233AD AC AB =+，则AD 的长为（ ）AB ．3C ．D ．【答案】C【解析】如图，过D 作//DE AC 交AB 于E ，作//DF AB 交AC 于F ，则AD AE AF =+，又1233AD AC AB =+， 所以23AE AB =，13AF AC =，所以13BD AF BC AC ==，即12BD DC =， 又AD 是BAC ∠的平分线，所以12AB BD AC CD ==，而3AB =，所以6AC =， cos 36cos609AB AC AB AC BAC ⋅=∠=⨯⨯︒=，222212144()33999AD AC AB AC AC AB AB=+=+⋅+2214469312999=⨯+⨯+⨯=，所以23AD =C ． 2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，2AB AC ==，点M 满足20BM CM +=，若23BC AM ⋅=，则BC 的值为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】取BC 中点O ，连接AO ，20BM CM +=，即2BM MC =，∴M 为BC 边上靠近C 的三等分点，()BC AM BC AO OM BC AO BC OM ⋅=⋅+=⋅+⋅，AB AC =，AO BC ∴⊥，0BC AO ∴⋅=，又16OM BC =，21263BC AM BC OM BC ∴⋅=⋅==，2BC ∴=.故选：C .3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，213AC =，(2)CA tCB t CD =+-，(1)t >，则OD =（ ）A ．52B ．C ．3D 【答案】C【解析】取AC 的中点为M ，因为(2)CA tCB t CD =+-，故2CA CD tDB -=即22CM CD tDB -=，故2DM tDB =，所以,,D M B 三点共线，故M 与O 重合，所以AO =故21316+24cos3OD OD π=-⨯⨯，解得1OD =或3OD =，因为1t >且2DO tDB =，故OD OB >，故3OD =，故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，1534ABC S =△，则AB 边上的中线长为（ ） A ．49 B ．7C ．494 D ．72【答案】D【解析】因为ABCS11sin 322ab C b ==⨯⨯=5b =，根据余弦定理可得2222cos 19c a b ab C =+-=，故c =AB 中点为M ，故()12CM CA CB =+，故22172cos 22CM CA CB CA CB C =++==. 即AB 边上的中线长为72.故选：D .考点四 几何中的最值【例4】（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD 中，AB CD ，AD AB ⊥，且6AB =，3AD =.若线段CD 上存在唯一的点E 满足4AE BE ⋅=，则线段CD 的长的取值范围是（ ） A ．[1,2) B ．[1,5)C ．[1,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【解析】 如图所示，以A 为坐标原点，AB 和AD 分别为x 轴和y 轴正方向建立直角坐标系.则(0,0),(6,0)A B , 设DE 的长为x ，则(,3)E x ，则(,3)AE x =，(6,3)BE x =-，所以(6)94AE BE x x ⋅=-+=，解得1x =或5x =，由题意知：DC x ≥ ，且点E 存在于CD 上且唯一，知CD 的长的取值范围是[1,5)，故选：B. 【一隅三反】1．（2022·安徽安庆）设点P 是ABC 的中线AM 上一个动点，()PA PB PC ⋅+的最小值是92-，则中线AM 的长是___________. 【答案】3【解析】设PM x =，,AM m =则.PA m x =-因为M 为BC 边中点，所以1()2PM PB PC =+，即2PB PC PM +=.于是222()22()222()22m m PA PB PC PA PM x m x x mx x ⋅+=⋅=--=-=--. 当2m x =，即点P 是中线AM 的中点时，()PA PB PC ⋅+取得最小值2,2m -即29,22m -=-因此 3.m =故答案为：32．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点P 是边长为2的正三角形ABC 的三条边上任意一点，则||PA PB PC ++的最小值为___________.【解析】不妨假设P 在AB 上且(1,0),(1,0)A B C -，如下图示，所以，P 在3(1)y x =+且10x -≤≤，设(,3(1))P x x +，则(,)PA x =-，(1,1))PB x x =--+，(1,1))PC x x =-+，所以(3,PA PB PC x ++=---，故||9PA PB PC x ++=，当12x =-时，||PA PB PC ++3．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF .若正六边形的边长为1，点P 是其内部一点（包含边界），则AP AC ⋅的取值范围为___________.【答案】[0,3]【解析】过点C 作CM AB ⊥于,M 所以,AC AM MC =+且33==,=22AM MC AP AQ QP AM MC λμ=++，,其中1123λμ-≤≤≤≤，0,()()()()22=3=34=A A AM MCAM MC MAM M M P AC C C λμλλμμλμ++++++⋅当P 点与C 点重合时，AP 在AC 方向上的投影最大，此时1,1λμ==,·AP AC 取得最大值为3；当P 点与F 点重合时，此时1,13λμ=-=，即AP AC ⊥,故0AP AC =,取得的最小值为∴·AP AC 的取值范围是[0,3]．故答案为：[0,3]．4．（2022·四川省内江市第六中学）如图，在等腰ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 、AC 的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则MN 的最小值是________．【解析】在等腰ABC 中，∵||||1AB AC ==，120o A ∠=， ∴1||||cos 2AB AC AB AC A ⋅==-； ∵E 、F 分别是边AB 、AC 的点，∴11()()22AM AE AF AC AB μλ=+=+，1()2AN AB AC =+，∵1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-，∴222222211[(1)2(1)(1)(1)]44MN AB AB AC AC λμλμλμλλμμ+---+=-+--⋅+-=，∵21λμ+=，∴12λμ=-， ∴()()()22222237()121212174177444MN μμμμμμμμμ-+-+-----+-+===， 其中λ，(0,1)μ∈，即1(0,)2μ∈，∴当27μ=时，2MN 取得最小值328，∴||MN ． 考点五 三角形的四心【例5】（2022·甘肃·兰州一中）（多选）点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A ．若0OA OB OC ++=，则点O 为ABC 的重心 B ．若222OA OB OC ==，则点O 为ABC 的垂心C ．若()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=，则点O 为ABC 的外心 D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC 的内心 【答案】AC【解析】对于A ，设边BC 、AC 、AB 的中点分别为D 、E 、F 2OB OC OD +=,则20OA OD +=，所以2OA OD =-所以A 、O 、D 三点共线，即点O 在中线AD 上，同理点O 在中线,BE CF 上，则O 是ABC 的重心.故A 正确对于B ，若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，所以OA OB OC == 所以O 为ABC 的外心，故B 错误对于C ，设边AB 、BC 、CA 的中点分别为点D 、E 、F ， 则()20OA OB AB OD AB +⋅=⋅=,所以OD 为线段AB 的中垂线，同理OE 、OF 分别为线段BC 、CA 的中垂线，所以O 是ABC 的外心，故C 正确 对于D ，由已知，()0OA OB OB OC OB OA OC OB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，即OB 垂直CA ，也即点O 在边AC 的高上；同理，点O 也在边AB BC 、的高上， 所以则O 是ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC 【一隅三反】1．（2022·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )A ．2GH OG =B ．0GA GB GC ++= C ．OH OA OB OC =++D ．OA OB OC ==【答案】ABC 【解析】如图：根据欧拉线定理可知，点O ､H ､G 共线，且2GH OG =.对于A ，∵2GH OG =，∵2GH OG =，故A 正确；对于B ，G 是重心，则延长AG 与BC 的交点D 为BC 中点，且AG ＝2GD ，则2GA GB GC GA GD ++=+0=，故B 正确；对于C ，33()OH OG AG AO ==-23()3AD AO =-23AD AO =-2()3AO OD AO =+-2OD AO=-OB OC OA =++，故C 正确；对于D ，OA OB OC ==显然不正确.故选：ABC.2．（2022·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知∵ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =4，AC =2，则下列各式正确的有（ ） A ．4AG BC ⋅= B ．6AO BC ⋅=-C ．OH OA OB OC =++D ．42AB AC OM HM +=+【答案】BCD【解析】由G 是三角形ABC 的重心可得23AG AM =211()322AB AC =+1133AB AC =+，所以1()()3AG BC AB AC AC AB ⋅=+⋅-221(||)3AC AB =-=4-，故A 项错误；过三角形ABC 的外心O 分别作AB 、AC 的垂线，垂足为D 、E ，如图（1），易知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO AC OAE AO AB OAD =∠-∠AE AC AD AB =-2211||622AC AB =-=-，故B 项正确；因为G 是三角形ABC 的重心，所以有0GA GB GC ++=，故OA OB OC ++()()()OG GA OG GB OG GC =+++++3OG GA GB GC =+++3OG =，由欧拉线定理可得3OH OG =，故C 项正确； 如图（2），由3OH OG =可得2133MG MO MH =+，即2133GM OM HM =+，则有26AB AC AM GM +==216()33OM HM =+42OM HM =+，D 项正确，故选：BCD.3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O 是四边形ABCD 内一点，若0OA OB OC OD +++=，则下列结论错误的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形，点O 是正方形ABCD 的中心 B ．四边形ABCD 为一般四边形，点O 是四边形ABCD 的对角线交点 C ．四边形ABCD 为一般四边形，点O 是四边形ABCD 的外接圆的圆心 D ．四边形ABCD 为一般四边形，点O 是四边形ABCD 对边中点连线的交点 【答案】ABC【解析】对于A ，若四边形ABCD 为正方形，点O 是正方形ABCD 的中心，则必有0OA OB OC OD +++=， 但反过来，由0OA OB OC OD +++=推不出四边形ABCD 为正方形，故A 错误； 对于BCD ，如图所示，O 是四边形ABCD 内一点，且0OA OB OC OD +++=设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，由向量加法的平行四边形法则知2OA OB OE =+，2OC OD OF +=，0OE OF ∴=+，即O 是EF 的中点；同理，设AD ，BC 的中点分别为M ，N ，由向量加法的平行四边形法则知2OA OD OM +=，2OC OB ON =+，即O 是MN 的中点；所以O 是EF ，MN 的交点，故BC 错误，D 正确； 故选：ABC4．（2022·山东省平邑县第一中学）（多选）在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（ ）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心 B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心 C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形 【答案】ABCD 【解析】对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =-，所以||:||2:1AN ND =，所以N 是ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确； 对于D ，由()0||||AB ACBC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =； 由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．考点六 三角的面积【例6-1】（2022·全国·高三）点P 菱形ABCD 内部一点，若230PA PB PC ++=，则菱形ABCD 的面积与PBC 的面积的比为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12【答案】B【解析】如图，设AB 中点为E ，BC 中点为F ，因为230PA PB PC ++=，即220PA PB PB PC +=++，则420PE PF +=，即2PF PE =-， 则24111122334326PBCPBFBEFABCABCD ABCD SSSS S S ==⨯=⨯=⨯=， 所以ABCD 的面积与PBC 的面积的比值是6.故选：B.【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点O 为正ABC 所在平面上一点，且满足(1)0OA OB OC λλ+++=，若OAC 的面积与OAB 的面积比值为1:4，则λ的值为（ ）A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】B【解析】(1)0OA OB OC λλ+++=， ()0OA OC OB OC λ→∴+++=．如图，D ，E 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知2OA OC OE +=，()2OB OC OD λλ+=，故OE OD λ=-，在正三角形ABC 中，11114428COAAOBABCABCSS S S ==⨯=，113828COB ACBABCABCABCS SS S S =--=，且三角形AOC 与三角形COB 的底边相等，面积之比为13,所以13OE OD =，得13λ=．故选：B 【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）设O 为OAB 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与OAB 的面积的比值为（ ） A ．6 B ．83C ．127D ．4【答案】A【解析】设1112,7,3===OA OA OB OB OC OC ，因为2730OA OB OC ++=，所以1110OA OB OC ++=，所以O 为111A B C △的重心， 设111111===OA B OA C OB C SSSk ，所以111111*********,,21146⋅⋅⋅======⋅⋅⋅OBC OAB OAC OB C OA B OA C S S S OB OC OA OB OA OC S OB OC S OA OB S OA OC ，则111,,21146===OBCOABOACSk S k S k ，所以27=++=ABCOBCOAB OACS SSSk ，所以276121==ABC BOCk S Sk ， 故选：A2．（2022·全国·高三）P 是ABC 所在平面内一点，若3CB PA PB =+，则:ABP ABC S S =△△（ ） A ．1:4 B ．1:3C ．2:3D ．2:1【答案】A【解析】由题设，3PA CB BP CP =+=，故,,C P A 共线且3CP PA =，如下图示：所以:1:4ABPABCSS=.故选：A3．（2022·四川凉山）已知P 为ABC 内任意一点，若满足()0,,0xPA yPB zPC x y z ++=>，则称P 为ABC 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ） ∵若1x y z ===，则点P 为ABC 的重心； ∵若1x =，2y =，3z =，则16PBCABCSS =；∵若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则点P 为ABC 的垂心； ∵若1x =，3y =，1z =且D 为AC 边中点，则25BP BD =． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】对于∵，当1x y z ===时，0PA PB PC ++=；设BC 中点为M ，则2PB PC PM +=，即22PA PM MP =-=，P ∴为ABC 的重心，∵正确；对于∵，当1x =，2y =，3z =时，230PA PB PC ++=，()2PA PC PB PC ∴+=-+，取AC 中点D ，BC 中点E ，2PA PC PD +=，2PB PC PE +=，24PD PE ∴=-，即2PD EP =，P ∴到直线BC 距离1d 与D 到直线BC 距离2d 之比为：1:3，即12:1:3d d =；又D 为AC 中点，∴点A 到直线BC 距离322d d =，13:1:6d d ∴=， 13::1:6PBCABCSSd d ∴==，即16PBCABCSS =，∵正确；对于∵，由PA PB PB PC ⋅=⋅得：()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心，∵正确；对于∵，当1x =，3y =，1z =时，30PA PB PC ++=，3PA PC PB ∴+=-， 又D 为AC 边中点，233PD PB BP ∴=-=，又BP PD BD +=，32BP BP BD ∴+=，25BP BD ∴=，∵正确.故选：D.。

高三数学平面向量试题答案及解析1.已知，若共线，则实数x=A．B．C．1D．2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件；由已知得到，又因为共线，所以。

选B2.已知向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】设量与向量＋2的夹角为故选D4.设向量，是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为，，，则的值可能是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】若则；若则若则无解；故选C5.已知，则实数k的值是。

【答案】-1【解析】略6.已知：（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时，的最小值为5，求m的值.【答案】（1）（2）3【解析】7.已知向量，则实数k的值为（）A．B．0C．3D．【答案】C【解析】，又，，即，解得【考点】平面向量的坐标运算。

8.已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D．【解析】∵，，∴，故选D【考点】平面向量共线的坐标表示．9.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．故选B．【考点】向量减法的坐标的运算．10.已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则的夹角余弦值为．故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．1【答案】C【解析】，根据题意有，解得，故选C．【考点】向量的运算，向量共线的坐标表示．12.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，即可得到结论；第二问，由，则可以得到，运用正弦函数的图象和性质，即可得到函数的值域．试题解析：（1）向量，则函数，，则，；（2）由，则，，则．则的值域为．【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质．13.设，，若，则= ．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以＝．【考点】1、平面向量垂直的充要条件；2、平面向量的模．14.己知向量，满足||=||=2且，则向量与的夹角为．【答案】【解析】因为||=||=2，所以由数量积的运算律可将化为，即，所以，故向量与的夹角为．【考点】①向量数量积的运算律；②向量夹角计算公式．15.在△ABC中，若点D满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，因此．【考点】向量的加法法则．16.设向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，解得，故选C．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．17.已知，，，且与垂直，则实数的值为．【答案】．【解析】本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由得．由得，所以．【考点】向量垂直，向量的数量积．18.设直角的三个顶点都在单位圆上，点M，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C．【考点】1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．【思路点睛】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即可求出的最大值．19.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，故选C．【考点】向量的回头法运算及几何意义．20.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．【考点】1．向量的运算；2．二次函数．21.已知向量，，，若向量与共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．【考点】平面向量的运算及共线定理．22.设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，所以，即．故选D．【考点】向量的线性运算．23.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为，．【答案】，或【解析】作，则，向量，由题意可得为边长为的等边三角形，向量的夹角为，可得，由，可得四点共圆，在中，，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，解得，当在中，同理可得．【考点】平面向量的数量积的运算．24.设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量，，则当时，的取值范围是___________．【答案】．【解析】根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：．【考点】平面向量的线性运算．26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量数量积27.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用.28.梯形中，，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得，故选C.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的平行.29.设向量，若向量与向量垂直，则的值为（）A．3B．1C．D．-1【答案】D【解析】因为向量，向量与向量垂直，所以，故选D.考点 1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为，是边上的动点，则（）A．有最大值B．有最小值C．是定值D．与的位置有关【答案】C【解析】设是中点，则.故选C．【考点】向量的数量积．【名师】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．31.如图，四边形是三个全等的菱形，，设，，已知点在各菱形边上运动，且，，则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则；设，则；∴；∴；∴；设，则，表示在y轴上的截距；当截距最大时，取到最大值；由图形可以看出当直线经过点时截距最大；∴；即x+y的最大值为4．【考点】向量的线性运算．【名师】考查向量的线性运算，通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．这是一道综合题，有一定的难度，对学生分析问题解决问题的能力要求较高．32.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量，故选B．【考点】向量的运算．33.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，两边平方得：，∵，∴,故选A．【考点】（1）直线与圆的方程的应用；（2）向量共线定理；（3）平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．由是圆上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．34.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限，是其终边上的一点，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为，则，因为角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限且，所以，．故应选D．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有，所以，，，即，，故选C.【考点】1、平面向量数量积公式；2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.37.已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为，所以，所以，所以C正确，故选C．【考点】向量平行与垂直的充要条件．38.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,,所以，故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．【答案】－3【解析】，由∥（＋）得，．【考点】向量平行．40.已知向量,若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，即有，由，可得，即有，，由，可得与夹角的大小为．故选：D．【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中，，，点分别是中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，则且，,，令，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，有最小值，将代入得，当直线经过点时，有最大值，将代入得，故答案为A．【考点】（1）平面向量数量积的运算；（2）简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．44.设向量，且，则的值是（）A．2B．C．8D．【答案】C【解析】由已知得，∴.【考点】平面向量坐标运算．45.边长为的正三角形，其内切圆与切于点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，内切圆的方程为，设点，则．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，确定点的坐标，利用内切圆得出的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．46.平面向量与的夹角为30°，已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D．【考点】向量的有关运算．47.已知非零向量的夹角为，且，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由得，，解得，故选A．【考点】向量的数量积．48.在等腰梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为_____________．【答案】【解析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，所以.【考点】向量的数量积、向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解．49.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，点是线段上,，故选A．【考点】向量及其运算．50.设是单位向量，且，则的最小值为（）A．-2B．C．-1D．【答案】D【解析】当时，，故选D．【考点】向量及其基本计算．51.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算．52.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由知P是的重心，则，所以，∵共线，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．故选A．【考点】平面向量基本定理，三点共线定理．【名师】设上直线外一点，，则三点共线的条件是．利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题，通过它把几何问题代数化．53.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.54.已知向量，，且，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线，则（）A．1B．C．2D．【解析】在菱形中，，设相交于点，由向量数量积的几何意义可知，故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足，且，则___________．【答案】【解析】由于，两边平方得，因为.【考点】向量运算.58.已知向量，满足，，且（），则．【答案】【解析】设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．【考点】向量的坐标运算．59.已知向量_________.【答案】【解析】，解得，，那么，故填：.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积；向量的模.61.设向量.若，则实数等于（）A．-1B．1C．-2D．2【解析】，∴，得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为向量，，所以有 , 若,则有，解得.63.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量，且∥，则实数_________.【答案】【解析】依题设，，由∥得，，解得.65.已知向量，若，则__________．【答案】11【解析】由题意可知，因为，所以∙=0，解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】解：∵函数的周期，则，即C点是一个对称中心，根据向量的平行四边形法则可知： ,则： .本题选择D选项.67.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．【答案】【解析】因为，又因为向量与向量共线，所以，所以.68.（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为__________．【答案】19【解析】三点共线，，，，故答案为.69.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】因为所以；因为，所以的最大值与最小值之和为，选C.70.已知向量，，且，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，，则向量和的夹角为，选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.71.在中，，，，，是线段的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知．故本题选．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合．在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】，所以的最大值是3.74.设向量，．则与垂直的向量可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：，本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.76.若向量，且，则的最大值是A．1B．C．D．3【答案】D【解析】× ,选D.77.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得：，其中整理可得：，当时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.78.已知向量，若与垂直，则实数的值是_________.【解析】，79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则，．由，得，即①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算．求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．80.（20分）已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.（1）若,试用表示；（2）证明：；（3）若的外接圆的半径为，用表示.【答案】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，即∣∣=∣∣=∣∣,而，=∣∣-∣∣=0，（3）在中,O是外心A=，B=于是∣∣2=（=+2+2=（），【解析】略81.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．82. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.83.已知，若，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，，解得。

新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题03 平面向量目录一览①2023真题展现考向一平面向量的数量积的运算考向二平面向量的夹角②真题考查解读③近年真题对比考向一平面向量的数量积的运算考向二平面向量的模长考向三两个向量的垂直问题考向四两个向量的平行（共线）问题④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一平面向量的数量积的运算2．（2023·全国乙卷理数第12题）已知O e B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则A ．122+C ．12+【答案】A【详解】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知当点,A D 位于直线PO 同侧时，设则：PA PD ⋅ =||||cos PA PD α⎛⋅ ⎝ 2cos sin cos ααα=+1cos 22α+=考向二 平面向量的夹角由题知,1,OA OB OC ==AB 边上的高2,2OD AD =所以2CD CO OD =+=cos ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠ 【命题意图】【考查要点】【得分要点】考向一平面向量的数量积的运算考向二平面向量的模长考向三两个向量的垂直问题考向四两个向量的平行（共线）问题12．（2023·河南安阳三模）已知正方形故选：13．（2023·河南安阳三模）的动点，则DE DO ⋅的最小值为（A ．1B ．【答案】C所以，()(12DE DO λAB AD AB ⋅=-⋅ 11111121,2333333λλλ⎛⎫⎡⎤=--+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦二、填空题已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．。

新高考数学《平面向量》专题解析一、选择题1．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（ ）A 1B ．2C ．12D ．2【答案】A 【解析】 【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，.又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1ce a==. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.2．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u u u vv，AD b =u u u v v ，则向量b v与a b -vv 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.3．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ=( )A 3B 3C 6D 6【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u ur 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可. 【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC=u u u r u u u r ，||362||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.4．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（ ）A ．22B ．19C ．-19D ．-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211cos 216AB BC AC B AB BC +-==⋅，又()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.5．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）A ．12-B ．12C．2D． 【答案】A 【解析】 【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r .又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r，即20t a a b ⋅+⋅=r r r .所以2221122ba b t a b⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.6．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．垂心C ．重心D ．内心【答案】B 【解析】 【分析】可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u ru u ur u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论．【详解】Q ()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， 即()||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ， Qcos BA BCB BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB ACBC BC BC AB B AC C⋅+=-+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u ru u ur u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.故选：B ． 【点睛】本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.7．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（ ）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得234+32231,12AC AC =-⨯⨯⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以22333333,,(2)()1322222AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以72cos 13213BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ，∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.9．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r满足(3)10a b c +⋅=rrr，则x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vC ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案； 【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ，∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.11．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6 故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.12．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．13．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )A ．4B ．2C ．1D ．16【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，所以|2|2a b -=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.15．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（ ）A ．23B 35C ．322D ．98【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-== 因为225+=8λμ，所以22522()(),3, 3.22833b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v 求出,u λ.16．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v （ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 【答案】D【解析】【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r |，再根据向量的数量积公式计算即可【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r|，取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ， 又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ， 所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题 17．已知向量()()75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以||1a b -===r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.18．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 1 【答案】B【解析】【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时a =r ，,a b r r 反向.故选项D 正确.故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.19．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是 【答案】B【解析】【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．20．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ） A ．12B ．2C ．24D ．242【答案】C【解析】【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】 解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点， ∴24m n a -==，122210F F c ==.∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =，∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） AB ．2C ．D ．502．（2019·全国·高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2D ．33.（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1 B ．()2,6--或()2,1- C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--4．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长为2，以AB 为直径的圆M ，若点P 为圆M 上一动点，则·PC PD 的取值范围为（ ）A ．[]04，B ．[]08，C ．[]18-，D ．[]14-， 5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知ABC 是边长为a 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．22a -B ．238a -C ．243a -D ．2a -6．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，则当m 与n 的夹角最大时，m n -的值为（ ） A ．4B ．2CD ．17．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-8.（2016·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·广东广州·三模）已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．5a b ⋅= B ．5a b -=C ．,4a b π=D ．a b ∥10．（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP λ=AD AE μ+，则（ ）A ．λ最大值为12B ．μ最大值为1C ．AP AD ⋅最大值是2 D ．AP AE ⋅211．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量()3,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．与a 共线的单位向量只有一个为12)D ．向量a 与b 夹角的余弦值范围是[ 12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量(1,sin ),(cos ,2)a b θθ==，则下列命题正确的是（ ）A ．存在θ，使得 //a bB ．当tan θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有||||a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，tan θ=三、填空题13．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 14.（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+ca b ，则λ=________．15.（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________． 16.（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(2,1)-、(1,3)-、(3,4). 若OB OA OD λμ=+，求λμ+的值18．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O 为坐标原点，若动点S 满足向量2DS =，求OS 的最大值19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =.(1)用AB ，AD 表示AG ；(2)若6AB =，32AD =45BAD ∠=︒，如图建立直角坐标系，求GB 和DF 的坐标. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）． (1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．21．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q 是线段BC 上的动点，求·AQ DQ 的最值22．（2017·江苏·高考真题）已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，．（1）若a b，求x的值；（2）记()f x a b=⋅，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） AB ．2C ．D ．50【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b -． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以2||(1)a b -=-= 故选A2．（2019·全国·高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积. 【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC =，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3.（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1B ．()2,6--或()2,1-C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -， 故选：C ．4．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长为2，以AB 为直径的圆M ，若点P 为圆M 上一动点，则·PC PD 的取值范围为（ ）A ．[]04，B ．[]08，C ．[]18-，D ．[]14-， 【答案】B 【解析】 【分析】以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，写出,C D 坐标，设(cos ,sin )P θθ，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围． 【详解】以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,2)C ，(1,2)D -， 圆方程为221x y +=，P 在圆上，设(cos ,sin )P θθ， (1cos ,2sin )PC θθ=--，(1cos ,2sin )PD θθ=---，2(1cos )(1cos )(2sin )PC PD θθθ⋅=---+-22cos 144sin sin θθθ=-+-+44sin θ=-，sin [1,1]θ∈-，所以[0,8]PC PD ⋅∈．故选：B ．5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知ABC 是边长为a 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．22a - B ．238a -C ．243a -D ．2a -【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出PA 、PB 和PC ，计算()PA PB PC ⋅+的最小值即可． 【详解】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则30,2A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,02B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ，则PA x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2PB a x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1,2PC a x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()2,2PB x y PC --+=，所以()22(2)(2)22PA PB PC x x y y x y ⎫⋅+=-⋅-+-⋅-=+⎪⎪⎝⎭2223228x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭；所以当0x =，y =时，()PA PB PC ⋅+取得最小值是238a -．故选：B ．6．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，则当m 与n 的夹角最大时，m n -的值为（ ） A ．4 B ．2 CD ．1【答案】C 【解析】 【分析】以O 为原点建立平面坐标系，设(4,0)a =，(,)m x y =，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量,m n 的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设,,a m n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，如图所示， 不妨设(4,0)a =，(,)m x y =，则222m x y =+，4a m x ⋅=， 由210m a m -⋅+=可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m 的终点M 在以(2,0) 同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m 与n 的夹角最大．设圆心为A ，则AM =1OM =，则sin MOA ∠= ∴60MOA ∠=︒，设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴22sin 21MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯= 即当m 与n 的夹角最大时，3m n -= 故选：C7．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =332()42⨯-=-，故选：B ．8.（2016·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图可得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,222x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()222133||4x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点(),x y 与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B. 【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． 二、多选题9．（2022·广东广州·三模）已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．5a b ⋅= B ．5a b -=C ．,4a b π=D ．a b ∥【答案】ABC 【解析】 【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可. 【详解】31(1)(2)5a b ⋅=⨯+-⨯-=，A 正确；2(2,1),21a b a b -=-=+B 正确；22223(1)10,1(2)5a b =+-==+-=，则52cos ,,,2452a b a b a b a bπ⋅====，C 正确； ()()3211⨯-≠-⨯，D 错误.故选：ABC.10．（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP λ=AD AE μ+，则（ ）A ．λ最大值为12 B ．μ最大值为1C ．AP AD ⋅最大值是2 D ．AP AE ⋅2【答案】BCD 【解析】 【分析】以AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项. 【详解】以AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，()1,0A -，()1,2D -，()1,1E ，设BOP α∠=，则()cos ,sin P αα，()cos 1,sin AP αα=+，()0,2AD =，由AP AD AE λμ=+，得2cos 1μα=+且2sin λμα+=，[]0,απ∈()()112sin cos 144λαααθ=--=--A 错； 0α=时max 1μ=，故B 正确；2sin 2AP AD α⋅=≤，故C 正确；()sin 2cos 222AP AE αααφ⋅=++=++，故D 正确． 故选：BCD.11．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量()3,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．与a 共线的单位向量只有一个为12)D ．向量a 与b 夹角的余弦值范围是[ 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A 、B ，根据单位向量的定义判断C ，根据向量夹角的坐标表示及正弦函数的性质判断D ； 【详解】解：对于A 选项：若a b ⊥，则0a b ⋅=， ∴sin 0θθ+=，∴tan θ=A 正确；对于B ：若a b a b +=-，则22a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，即a b ⊥，由A 可知，tan θ=0θπ≤≤，所以23πθ=，故B 正确；对于C 选项：与a 共线的单位向量为aa ±，故为12⎫⎪⎪⎝⎭或12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故C 选项错误；对于D 选项：设向量a 与b 夹角为α，则cos sin 3πθα⎛⎫+ ⎪⎝=⎭，因为0θπ≤≤，所以4333πππθ≤+≤，所以sin 13πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故cos 1α≤≤，故D 错误；故选：AB ．12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量(1,sin ),(cos ,2)a b θθ==，则下列命题正确的是（ ）A ．存在θ，使得 //a bB ．当tan θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有||||a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，tan θ=【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，sin 21θ=，故A 错误；B 选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C 选项，计算出两向量的模长，得到ππ,2k k Z θ=+∈，C 错误；利用向量的数量积列出cos a b θθ⋅==2tan 20θ-θ+=，求出正切值.【详解】对于选项A ：若 //a b sin cos =θθ，即sin 21θ=， 所以不存在这样的θ，故A 错误；对于选项B ：若a b ⊥，则cos 0θθ=，即cos θ=θ，得tan 2θ=，故B 正确； 对于选项C ：22||1sin ,||2cos a b θθ=+=+，当||||a b =时，cos21θ=-， 此时ππ,2k k Z θ=+∈，故C 错误；对于选项D ：cos a b θθ⋅==两边同时平方得2222cos 2sin sin 3cos 3sin θθθθθθ++⋅=+，化简得222cos sin cos 0θ+θ-θθ=，等式两边同除以2cos θ得2tan 20θ-θ+=，即2(tan 0θ-=，所以tan θ=D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=14.（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b +()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为1215.（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=． 故答案为：35．16.（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．【答案】[12+ 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,822,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(2,1)-、(1,3)-、(3,4). 若OB OA OD λμ=+，求λμ+的值【答案】136【解析】【分析】设出D ，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出D 的坐标，从而求出OB 、OA 、OD 的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可． 【详解】解：设(,)D x y ，(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，则(1,2)AB =，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，3142x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2D ， 所以()1,3OB =-，()2,1OA =-，()2,2OD =，因为OB OA OD λμ=+，所以()()()1,32,12,2λμ-=-+，所以22123λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩，解得4356λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以136λμ+= 18．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O 为坐标原点，若动点S 满足向量2DS =，求OS 的最大值【答案】2 【解析】 【分析】先利用AB DC =求出D 点坐标，再结合2DS =求出S 的轨迹是圆，最后利用O 到圆心的距离加半径求出最大值即可. 【详解】设(,)D a b ，()(1,2),3,4AB DC a b ==--，由AB DC =得3142a b -=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，故(2,2)D ，设(,)S x y ，(2,2)DS x y =--，则由2DS =得()()22224x y -+-=，即S 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，故OS 的最大值为O22=.19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =.(1)用AB ，AD 表示AG ；(2)若6AB =，32AD =45BAD ∠=︒，如图建立直角坐标系，求GB 和DF 的坐标. 【答案】(1)5799=+AD AG AB (2)17,33GB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4,2DF =-【解析】 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可. (1)13AE AD AB =+，13AF AD AB =+，又2FG GE =，所以2()AG AF AE AG -=- 所以21573399AG AE AF AB AD =+=+(2)过点D 作AB 的垂线交AB 于点D ，如图，于是在Rt ADD '△中，由45BAD ∠=︒可知，3AD '=根据题意得各点坐标：()0,0A ，()6,0B ，()9,3C ，()3,3D ，()5,3E ，()7,1F ，5757(60)(3,3)9999AG AB AD =+=+=，177,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以177,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()6,0AB =，177,33AG =⎛⎫⎪⎝⎭，()4,2DF =-,17,33GB AB AG ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．【答案】(2)k ＝14；(3)k ＜32且k ≠－6.【解析】 【分析】（1）解方程1×k －2×(3)-＝0即得解； （2）解方程1×(5)-＋2×(22)k +＝0即得解； （3）解不等式1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，即得解. (1)解：因为向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ），且a →∥b →， 所以1×k －2×(3)-＝0，解得k ＝－6，所以b →(2)解：因为a →＋2b →＝(5,22)k -+，且a →⊥(2)a b →→+，所以1×(5)-＋2×(22)k +＝0，解得k ＝14．(3)解：因为a →与b →的夹角是钝角，则a b →→⋅＜0且a →与b →不共线．即1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，所以k ＜32且k ≠－6．21．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q 是线段BC 上的动点，求·AQ DQ 的最值 【答案】最小值614- ，最大值57. 【解析】 【分析】根据平行四边形，求出D 点的坐标，分别求出AQ DQ 的解析式， 根据解析式求出最值，再综合考虑即可. 【详解】依题意作上图，点D 的位置有3个，分别为12,,D D D ，下面分别求出这3个位置的坐标：设(),D x y ，则有()()1,23,4AB DC x y ===-- ，解得()2,2,2,2x y D ==∴ ；()(),1,23,4AB CD x y ==-- ，解得()14,6,4,6x y D === ； ()(),4,12,1BC DA x y ==--- ，解得()26,0,6,0x y D =-=- ；∵点Q 在BC 上，设(),,Q m n BQ BC λ= ，则有()()1,34,1m n λ+-= ， 41,3m n λλ=-=+ ([]0,1λ∈) ，()41,2AQ λλ=++ ，()43,1DQ λλ=-+ ，()145,3DQ λλ=-- ， ()245,3D Q λλ=++ ，21751AQ DQ λλ=-- ，当534λ=时，取最小值=9368- ，最大值=11；21171711AQ DQ λλ=-- ，当12λ= 时，取最小值=614-，最大值=-11； 22172911AQ D Q λλ=++，当0λ= 时，取最小值=11，最大值=57；所以在以A ，B ，C 为顶点的平行四边形中，AQ DQ 的最小值为614-，最大值为57；综上，最小值为614-，最大值为57. 22．（2017·江苏·高考真题）已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． （1）若a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3； 5π6x =时，()f x 取到最小值- 【解析】 【分析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．（2）根据()f x a b =⋅求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值． 【详解】解：（1）∵向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． 由a b ，可得：3sinx =，即tanx = ∵x ∈[0，π] ∴56x π=．（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭∵x ∈[0，π]，∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =-。

新高考数学《平面向量》专题解析一、选择题1．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC⋅u u u r u u u r的值为（ ）A．83-B．1-C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】由已知可得：EB=EC=7，又23tan BED3BDED∠===所以221tan1cos1tan7BEDBECBED-∠∠==-+∠所以1||cos7717EB EC EB EC BEC⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=-⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r‖故选B．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．3．如图，在ABC∆中，12AN NC=u u u r u u u r，P是线段BN上的一点，若15AP mAB AC=+u u u r u u u r u u u r，则实数m的值为（）A．35B．25C．1415D．910【答案】B【解析】【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u u r 为基底表示出AP u u u r即可得到结论. 【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．4．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（ ）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,12AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以22333333,,(2)()13222AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以72cos 13213BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ，∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ） A ．0 B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.6．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr7．已知向量,a b r r满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】 【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得cos ,2a b 〈〉=-r r ，即可求得向量a r 与b r的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||a =r||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r ，所以123 cos,2||||234a ba bab⋅-〈〉===-⨯r rr rr r，又因ar与br的夹角[0,]π∈，所以ar与br的夹角为56π.故选：D．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．8．如图，已知1OA OB==u u u v u u u v，2OC=u u u v，4tan3AOB∠=-，45BOC∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v=+，则mn等于（）A．57B．75C．37D．73【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB==u u u r u u u r，且4tan3AOB∠=-，∴34cos sin55AOB AOB∠=-∠=，，∴A（1，0），B（3455-，），又令θAOC∠=，则θ=AOB BOC∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=10，sin θ=10,又OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．9．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．98【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-==因为225+=8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,u λ.11．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用数量积的分配律即得解. 【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r， ()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.12．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u ur u u u rB ．12AB AD -u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．12AB AD -u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v故选A. 【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.13．已知向量m =r(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12B ．2C ．2D ．﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.14．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解．【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．15．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以()2212112AF n u u u v =-+=+=.故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.16．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r（ ）A ．2136a b -r rB ．1133a b +r rC ．1124a b +r rD ．1133a b -r r【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 2136a b =-r r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.17．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为（ ）.A 3B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r.所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OAO O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB=+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.18．已知向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.19．已知单位向量,a b r r满足3a b +=r r，则a r 与b r 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r rr r r r ，又因为单位向量,a b r r ，所以1632a ba b ⋅=⇒⋅=rr r r ，所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3a b π〈〉∈r r ，故选C.20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ） A．4BC．2D．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||EB =u u u r ，故选：A 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。