当前位置：文档之家 › 常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法

  • 格式：ppt
  • 大小：632.01 KB
  • 文档页数：54

下载文档原格式

  / 54

合集下载

常微分方程与差分方程

常微分方程与差分方程

数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。

常微分方程的差分的方法

常微分方程的差分的方法

对于二阶常微分方程 $y'' = f(t, y, y')$，可以采用隐式差分法或显式差 分法进行求解。
VS
隐式差分法需要解方程组，计算量大， 但精度高；显式差分法精度低但计算 量小。
复杂微分方程组的求解实例
对于多个一阶或二阶常微分方程组成的复杂微分方程组，可以采用耦合差分法或龙格-库塔法进行求 解。
差分方法的基本概念和原理
基本概念
差分方法的基本概念是将时间或空间离散化，将连续的微分方程转化为离散的差 分方程。在时间离散化中，我们使用向前、向后或中心差分近似微分项；在空间 离散化中，我们使用有限差分近似微分项。
原理
差分方法的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代或递 推的方式求解该差分方程。在每一步迭代或递推中，我们使用已知的函数值和差 分近似来计算新的函数值，直到达到所需的精度或收敛条件。
耦合差分法是将多个微分方程转化为耦合的差分方程组进行求解；龙格-库塔法是一种迭代算法，通过 已知的$y_n$和$y'_n$来求解$y_{n+1}$。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
改进的龙格-库塔方法
引入预估校正步骤
为了提高数值解的精度和稳定性，可以在龙 格-库塔方法中引入预估校正步骤。通过预 估和校正两个步骤的结合，可以减小数值误 差并提高方法的收敛速度。
考虑非线性项的处理
在求解二阶常微分方程时，非线性项的处理 对于数值解的精度和稳定性具有重要影响。 通过改进非线性项的处理方式，可以进一步 提高改进的龙格-库塔方法的性能。
有限差分法
有限差分法的原理
有限差分法是一种基于离散化的数值方法， 通过将微分方程转化为差分方程来求解。该 方法的关键在于选择合适的差分格式和离散 化方案，以保证数值解的精度和稳定性。

常微分方程与差分方程

常微分方程与差分方程
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
第4页
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
2 yx 2( x2 ) (2x 1)
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4

yx zx

zxyx yxzx zx zx1

zx1yx yx1zx zx zx1
可参照导数的四则运算法则学习
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第18页
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx f x 2
f x 0
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第24页
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
第十章 常微分方程与差分方程
第9页
证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx

第三章常微分方程的差分方法15

第三章常微分方程的差分方法15
第三章 常微分方程的差分方法
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误 差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯 形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利 用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值 问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1） （2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求 解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn

yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉 格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远 比显式格式困难得多。

第三章常微分方程的差分方法(17-18)

第三章常微分方程的差分方法(17-18)

四阶经典龙格解：四阶经典龙格-库塔公式
h y n +1 = y n + ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6 K1 = f ( xn , y n ) h K 2 = f ( xn+ 1 , y n + K1 ) 2 2 h K 3 = f ( x 1 , y n + K 2 ) n+ 2 2 K = f ( x , y + hK ) n +1 n 3 4
y ( x n +1 ) − y ( x n ) = y ′(ξ ) h
所以
y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hy ′(ξ )
即
y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hf (ξ , y (ξ )
（11）
K ∗ = f (ξ , y (ξ ) ) 为区间 [ xn , xn +1 ] 上的平均 我们称 斜率，这样只要对平均斜率 K ∗提供一种算法，相应地我
（16）
值得注意的是，龙格－库塔法的推导基于泰勒展 开法，因而它要求解具有较好的光滑性。如果解的光 滑性差，则该方法得到的解反而不好。
运用四阶经典龙格例：运用四阶经典龙格-库塔方法计算
3x y'= y − y y (0) = 1
的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。 的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。 x=0.4处的近似值 h=0.2
x n + p = x n + ph,
0 < p ≤1
x n + q ∈ [ x n , x n +1 ]

常微分方程有限差分

常微分方程有限差分

常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。

而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。

将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。

在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。

这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。

常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。

通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。

总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。

通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。

第三章 常微分方程的差分方法

P1 P1 P0 Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自 动 化 工 程 学 院
School of Automation Engineering
第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。

常微分方程与差分方程


一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x

常微分方程差分解法、入门、多解法

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。

近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。

关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。

计算方法常微分方程的差分方法


01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有 与 恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式 设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

• 他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海
的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余 卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论 占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作， 足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉
数值分析简明教程
4.7
安工大2004
• 19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧
拉的著作永远是了解数学的最好方法．"
•
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧
，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是
值得我们学习的．欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲
• 1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在
兴奋中突然停止了呼吸，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我 要死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”，享年76岁。
• 欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作
为自己的数学家，为有他而感到骄傲 .
数值分析简明教程
4.6
安工大2004
数值分析简明教程
4.9
安工大2004
七桥问题
• 七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥 尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷 格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。问是否可能从这四块陆地中任 一块出发，恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究并解决了 此问题，他把问题归结为如下右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能 的。
• 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），1707年出生在
瑞士的巴塞尔城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自 学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读 得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人 请教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了 数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小 的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努 利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与 其建立了深厚的友谊。约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜 于蓝的学生：“我介绍高等分析时，他还是个孩子，而你将他带 大成人。”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次 年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始 了他的数学生涯。
学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧
来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π（1736年
），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（
1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等，
都是他创立并推广的。歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信
第三章 常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
数值分析简明教程
4.1
安工大2004
引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的
最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
数值分析简明教程
4.2
安工大2004
欧拉格式
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解
的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这项手续
称为离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若
在点
xn
列出方程，并用差商
y xn1 y xn
h
代替y 'xn
y xn1 y xn hf xn, y xn
，结果有
设用 y xn 的近似值yn 代入上式右端，记所得结果为yn1 ，这样导
出的计算公式
yn1 yn hf xn, yn , n 0,1, 2,
就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值 y0 是已知的，则依据
y ' f x, y

y

x0


y0
且满足Lipshitz条件 :| f (x, y) f (x, y* ) | L | y y* |
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归
结出来的微分方程要靠数值解法。
上式即可逐步算出数值解 y1, y2 ,
。
数值分析简明教程
4.3
安工大2004
数值分析简明教程
4.4
安工大2004
数值分析简明教程
4.5
安工大2004
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）
• 18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称
为“分析的化身”。
差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻 。
x1 x2 xn
, yn , ,
，相邻节点间距h xn1 xn
称为步长
初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列
的yn ,次yn序1, 一yn步2, 一步地向yn前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息 计算 的递推公式，这类计算格式统称为差分格 式。
的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几
何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，
微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，
复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更
独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当 时数学家们称他为"分析学的化身"．
中提出来的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创
立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的
设计计算理论。
数值分析简明教程
4.8
安工大2004
• 欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19
岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”，欧 拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己 的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名 。