常微分方程的差分方法

常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。

而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。

将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。

在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。

这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。

常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。

通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。

总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。

通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。

近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。

关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。

常微分方程两点边值问题的差分方法说实话常微分方程两点边值问题的差分方法，我一开始也是瞎摸索。

我就知道这是个挺难搞的事儿，但我就想把它弄明白。

我最早尝试直接用我之前学过的常微分方程的一些解法，可发现对于两点边值问题完全行不通，这才意识到这个问题很特殊，需要专门的方法来对付。

那我就开始了解差分方法呗。

这个差分啊，简单来说就有点像我们数东西的时候不是一个一个数，而是隔几个数一个那样，在数学里就是把连续的函数离散化。

比如说我们有个常微分方程，在一个区间上的两点边值问题，我要做的第一步，不妨就把这个区间分成好多小份，这个小份的大小我开始还不确定选多少好呢，我就试了好几个不同的值。

我试着先在网格点上近似导数。

我最开始想当然地用了一种很简单的近似方法，就像我们估算速度的时候，直接用两个点的函数值之差除以距离嘛，但是发现这样得到的结果那叫一个惨不忍睹啊，误差大得很。

后来仔细研究才知道，要根据这个常微分方程的具体形式来更好地构造近似导数，才能减小误差。

还有在处理边界条件的时候，这个可千万不能马虎。

我一开始就没太重视边界条件，结果算出的结果也完全不对。

其实就像是盖房子必须要打好地基一样，这个边界条件对于两点边值问题就是根基，如果根基歪了，那整个房子肯定也立不住。

我后来发现了一个比较靠谱的步骤。

就是在差分的时候，对于方程中的每一项，根据泰勒公式来构建合理的差分格式。

这个就像搭积木，每个部分都要搭得准确才能让整体稳固。

我把方程中的项都按照精心设计的差分格式替换掉之后，就得到了一个代数方程组，解这个方程组就能够求出在离散点上的近似解了。

不过这里面还有个小窍门，在求解方程组的时候，我刚开始没注意方程组矩阵的性质，有时候得到的解是不准确的。

我后来发现有的矩阵如果是稀疏友好型的，那就要选择专门针对稀疏矩阵的算法来求解，这样速度又快结果又准确。

我不确定我现在的方法是不是最完美的，但就目前我做的一些练习题还有自己研究的小例子来说，这个方法已经相当好用了。

5.1常微分⽅程的数值解法第五章常微分⽅程的差分⽅法⼀、教学⽬标及基本要求通过对本节课的学习，使学⽣掌握常微分⽅程、常微分⽅程⽅程组的数值解法。

⼆、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分⽅程的数值解法。

具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。

三、教学重点难点1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔⽅法、收敛性与稳定性。

2. 教学难点：收敛性与稳定性。

四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。

适当提问，加深学⽣对概念的理解。

五、正⽂基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式引⾔1．主要考虑如下的⼀阶常微分⽅程初值问题的求解:00()(,)()y x f x y y x y '=??=?微分⽅程的解就是求⼀个函数y=y(x)，该函数满⾜微分⽅程并且符合初值条件。

2. 例如微分⽅程:xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得⼀阶常微分⽅程的初始问题24(1)3y y x y ?'=+=-?。

显然函数y(x)=x 2-4x 满⾜以上条件,因⽽是该初始问题的微分⽅程的解。

3. 但是,只有⼀些特殊类型的微分⽅程问题能够得到⽤解析表达式表⽰的函数解，⽽⼤量的微分⽅程问题很难得到其解析解，有的甚⾄⽆法⽤解析表达式来表⽰。

因此，只能依赖于数值⽅法去获得微分⽅程的数值解。

4．微分⽅程的数值解：设微分⽅程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进⾏划分得⼀系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本⽆法得到，我们⽤数值⽅法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分⽅程的数值解。

如果计算y n 时，只利⽤y n-1，称这种⽅法为单步法；如果在计算y n 时不仅利⽤y n-1，⽽且还要利⽤y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种⽅法为r 步⽅法，也称多步法。

常微分方程的差分方法-欧拉法一、摘要：人类社会已迈进电子计算机时代。

在今天，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为广大科技工作者和学者的一项基本技能，数值分析的基本内容是数值算法的设计与分析，科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题，本文中主要以解决此问题最简单形式（一阶方程的初值问题）来求解微分方程。

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法，本文就数值解法中的差分方法进行求解微分方程。

二、关键词：差分方法、初值问题、数值解法、MATLAB三、引言：科学计算不应当将计算方法片面的理解为各种算法的简单罗列和堆积，它也是一门内容丰富、思想方法深刻而有着自身理论体系的数学学科。

微积分的发明是人类智慧的伟大发展。

求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法。

怎样应用数值解法求解从实际问题中归结出来的微分方程呢？四、正文y′=f(x,y) (1)y(x0)=y0 (2)方程（1）中含有导数项y′(x),这是微分方程的本质特征，也正是它难以求解的症结所在。

数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称离散化。

由于差分是微分的近似运算，实现离散化的基本途径是用差商替代导数。

譬如，若在点x n列出方程（1）：y′(x n)=f(x n,y(x n))替代其中的导数项y′(x n),结果有：并用差商y(x n+1)−y(x n)hy(x n+1)≈y(x n)+hf(x n,y(x n))设用y（x x）的近似值y n代入上式的右端，记所得结果为y n+1,这样导出的计算公式：y(x n+1)=y(x n)+hf(x n,y(x n))，n=0,1,2, (3)这就是众所周知的欧拉（Euler）格式。

若初值y0是已知的，则据式（3）可以逐步算出数值解y1,y2,…。

‘P(x)dxC (x) =Q(x)e ，，再对其两边积分得fP(x) dxC(x)二.Q(x)e dx C ，于是将其回代入常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分①可分离变量方程(分离变量法) 如果一阶微分方程 d^ = f (x, y)中的二元函数 f (x, y)可表示为f (x, y)二g(x)h(y) dx 的形式，我们称 3 =g(x)h(y)为可分离变量的方程。

dx 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 -dy g(x)dx 的形式，再对此式两边积 h(y)分得到 型 g(x)dx C 从而解出 3二g(x)h(y)的解，其中C 为任意常数。

' h(y) ' dx 具体例子可参考书本 P10 — P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程(常数变易法) 如果一阶微分方程史=f (x, y)中的二元函数f (x, y)可表示为 dx f(x, y) =Q(x) - P(x)y 的形式，我们称由此形成的微分方程 dy P(x)y =Q(x)为一阶线 dx性微分方程，特别地，当 Q(x) =0时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性 非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程裂P(x)厂0,这是可 —P(x)dx分离变量的方程，两边积分即可得到 y 二Ce • ，其中 C 为任意常数。

这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设 C(x)来替换C ,于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如 y=C(x)e - …P(x)dx …P(x)dx得至U C (x)e —P(x)C(x)e-P(x)dx dy 的解。

将其代入 P(x)y 二Q(x)我们就可 dx…P(x)dxP(x)C(x)e • 二Q(x)这其实也就是 —'P(x)dx y = C(x)e 即得一阶线性微分方程鱼，P(x)y =Q(x)的通解 dx-P(x)dxy =e .Q(x)eP(x)dxdx + CI 。