3.2等比数列前n项的和第一课时

( q = 1) ( q ≠ 1)
a1 − an q = 1− q
例1: (1)已知等比数列 {a n }中，a1 = 2,q = 3,求S3; (1)已 3,求
1 1 1 (2)求 ...的 10项 (2)求等比数列1， ， ， ，...的前10项的和 . 2 4 8
解：(1)S3 = 2 × (1 − 33 ) 1− 3 = 26 .
(
)
Байду номын сангаас
(
)
1.本节课主要学习了等比数列的前n 1.本节课主要学习了等比数列的前n项和公式 本节课主要学习了等比数列的前
na1 , ( q = 1) S n = a1 (1 - q n ) a - a q = 1 n . ( q ≠ 1) 1- q 1- q
及其简单应用. 及其简单应用.
2.本节课用到了由特殊到一般的思想、错位相减法、 2.本节课用到了由特殊到一般的思想、错位相减法、分 本节课用到了由特殊到一般的思想 类讨论思想、方程思想等. 类讨论思想、方程思想等.
装饰对于德行也同样是格格不入的，因为德 行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭
明总：这是
我做的最成功 的一笔生意！ 的一笔生意！
问题2 你 问题2： 会求1+ q + q 2 + q3 + ...+ q n-1的和吗？
29 q + q2 + q3 + ⋯ + qn-1 , S n = 1+ 2 2 2 2 30
①
n 29 qn-1+ q30 . ② q S 30 = q + q + q + ⋯ + 2 2 2 n 2 2 2 n q ) Sn = 1 − q30 , ② ,得 由① − 2 (1 − 2 30 n, q (30 = 1) n 1− q 2 S = 1 − q q ) (S ≠=1230 − 1 Sn = 30 ( 1 − q 1 − q q,≠ 1) 即 30 2 .

4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64. 求这个等比数列的首项和公比.
a1
8,
q
1 2
；或a1
2,
q
2.
巩固练习
5.如果一个等比数列前5项和等于10, 前10项的和等于50, 求 这个数列的公比.
解法1：当q 1时，不合题意；
当q 1时，S10 S5
1 q10 1 q5
1 q5 5,
1 q
a1
(q 1) an q , 1 q
(q 1)
则a7 a8 a9 ？ S3, S6 S3，S9 S6成等比数列
解法1：
a1 a1q a1q2 3 (1S) 6 - S3 a1q3 a1q4 a1q5 24 (2)
(2) 可得q3 8, q 2
(1) 将q
2代入(1)式可得a1
S39
7
-
S6
a7 a8 a9 192
其前n 1项和为
Sn1 an an1b an2b2
an b a n1 1 1 a1b
an1 bn1 . ab
abn1 bn
巩固练习
3.设等比数列an的前n项和为Sn ,已知a2 6, 6a1 a3 30.求an和Sn.
当a1 3, q 2时，an 3 2n1, Sn 3(2n 1) 当a1 2, q 3时，an 2 3n1, Sn 3n 1
S2n
Sn
a1(1 q2n ) 1 q
a1(1 qn ) 1 q
a1qn (1 qn ) 1 q
q
n
S
，
n
S3n
S2n
a1(1 q3n ) 1 q
a1(1 q2n ) 1 q
a1q2n (1 1 q

假设千粒麦子的质量为40g，据查，目前世 界小麦年产量为6亿t。根据以上数据判断国王能 不能实现他的诺言？
思考：
❖ (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
1,2,22 ,23,,263
❖ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？
1 2 22 23 263 ?
问题探究
若{an} 为等比数列，那么等比数列前n项和： Sn a1 a2 a3 an1 an ?
公式辨析
1．口答：
在公比为 q 的等比数列{an}中
(1)若 a1
2,q 3
1 3
，则
S
n
_1__(_1_)_n__
3
（2）若 a1 1,q 1 ，则 Sn __n______
2．判断是非：
①1
2
4
8
(2)n1
1 (1 2n 1 2
)
②1 2 22 23 2n 1
注意：1.对公比q的分类讨论；
3.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
国际象棋的传说
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象 棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以 满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第 三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至 第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意 了。
S8
1 [1 (1)8 ] 22
1 1
255 ; 256
2
能否运用q≠1时的 另一个公式进行
1 27 • q8 , q 0.解得：q 1
243
3
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1 ( 1)
1640 . 81
3

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1

∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室

Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工