第4章-热传导问题的数值解法

上的标号m、n来表示。
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热

每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域 的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成，这 个小区域称作元体或控制体。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析

相邻节点向中心节点导入的热量：
w
A t
x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
e
A
t x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
s
A
t y
Δx 1 tm,n1
Δy
tm,n
n
A
t y
Δx
1
tm,n1 Δy
tm,n
热平衡时：
w e s n 0
如果 Δx Δy ：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
tm1,n
tm,n
Δx 1!
t x
m,n
Δx 2 2!
2t x 2
m,n
tm1,n tm,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
两式相加：
tm1,n tm1,n 2tm,n
Δx
2 2t x 2
③ 内部角点
2
hx
3t
m,n
2
tm1,n
tm,n1
tm1,n
tm,n1
3x 2 m ,n 2
2hx
tf
hΔx Δx
1 h BiΔ ——网格 Bi 数
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
如果边界为曲线，或倾斜边界， 用阶梯形折线模拟真实边界。
4.3.3 求解代数方程的迭代法
求解代数方程组： 直接解法——高斯消元法，矩阵求逆； 迭代法——逐次逼近法。
) 1
2FoΔBiΔt
f
式中，网格毕渥数 BiΔ hΔx ，网格傅里叶数 FoΔ aΔ Δx2

Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
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x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
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(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格