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最新广州白云区中考数学一模数学试卷

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最新广州白云区中考数学一模数学试卷（附满分答案）第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） １．与－12互为相反数的是（＊） （Ａ）－０.５ （Ｂ）12 （Ｃ）２ （Ｄ）21２．平行四边形的对角线（＊）（Ａ）相等 （Ｂ）不相等 （Ｃ）互相平分 （Ｄ）互相垂直 ３．函数y ＝－x －２的图象不经过（＊）（Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限 ４．若分式244x x --的值为零，则x 的值是（＊） （Ａ）０ （Ｂ）±２ （Ｃ）４ （Ｄ）－４ ５．如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，如果ＡＢ＝１０，ＣＤ＝８，那么线段ＯＥ的长为（＊） （Ａ）６ （Ｂ）５ （Ｃ）４ （Ｄ）３６．已知三角形的两边长分别为２cm 和７cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（＊）（Ａ）３cm （Ｂ）５cm （Ｃ）８cm （Ｄ）１０cm７．在平面直角坐标系下，与点Ｐ（２，３）关于x 轴或y 轴成轴对称的点是（＊）（Ａ）（－３，２） （Ｂ）（－２，－３） （Ｃ）（－３，－２） （Ｄ）（－２，３）８．若ab =ab 的值为（＊）（Ａ）2m （Ｂ）2mn （Ｃ）m n + （Ｄ）m n - ９．下列命题中错误的是（＊）（Ａ）平行四边形的对边相等 （Ｂ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （Ｃ）对角线相等的四边形是矩形 （Ｄ）矩形的对角线相等１０．将边长为３cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连结这个正六边形的各边中点，又形成一个新正六边形，则这个新正六边形的面积等于（＊）图1（Ａ）24cm （Ｂ）28 （Ｃ）24cm （Ｄ）28第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） １１．方程：２（x －１）＋１＝０的解为 ＊ ．１２．把直线y ＝－２x ＋１向下平移２个单位长度，得到的直线是 ＊ ．１３．不等式组302(1)33x x x +>⎧⎨-+≥⎩的解集为 ＊ ．１４．在反比例函数23my x-=的图象上有两点Ａ（1x ，1y ），Ｂ（2x ，2y ）， 当1x ＜０＜2x 时，有1y ＞2y ，则m 的取值范围是 ＊ ．１５．多边形的内角和与它的一个外角的和为７７０°，则这个多边形的边数是 ＊ ．１６．如图２，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ＝２，ＢＣ＝８，Ｅ为ＡＢ的中点，ＥＦ∥ＤＣ交ＢＣ于点Ｆ．则ＥＦ的长＝ ＊ ．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分９分）分解因式：244x y xy y -+１８．（本小题满分９分）已知，如图３，点Ｂ、Ｅ、Ｆ、Ｃ在同一条直线上，∠Ａ＝∠Ｄ，ＢＥ＝ＣＦ，∠Ｂ＝∠Ｃ． 求证：ＡＦ＝ＤＥ．１９．（本小题满分１１分）某校为了了解九年级男生１０００米长跑的成绩，从中随机抽取了５０名男生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得分进行统计后分为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个等级，并绘制成下面的频数分布表（表一）和扇形统计图（图①）。

表一（２）求表示得分为Ｃ等级的扇形的圆心角的度数；（３）如果该校九年级共有男生２５０名，试估计这２５０名男生中成绩达到Ａ等级的人数约有多少人？２０．（本小题满分１０分）开学前，李浩去商场买书包，商场在搞促销活动，买一个书包可以通过抽奖形式送笔．方法如下：在一个不透明的箱子里，分别装有四张完全一样的卡片，上面分别写有“钢笔”、 “圆珠笔”、“铅笔”、“谢谢”字样（其中“谢谢”卡即意味着没有奖品）．凭抽取的卡片，工作人员即时对应地给出奖品．李浩买了一个书包，并参加了抽奖．（１）若只准抽一次，且每次只能抽一张，直接写出李浩能抽到一支笔的概率；（２）若可以不放回地抽两次，每次只能抽一张，请用树形图把所有可能的情况表示出来，并求李浩得到钢笔和圆珠笔的概率．A B DEF 图3B 等46%A 等D 等C 等图①２１．（本小题满分１０分）为了帮助云南昭通地震灾区重建家园，某校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为２４００元，第二次捐款总额为６８００元．已知第二次捐款人数是第一次的２倍，而且人均捐款额比第一次多２０元．求第一次捐款的人数．２２．（本小题满分１２分）如图４，点Ｎ（０，６），点Ｍ在x 轴负半轴上，ＯＮ＝３ＯＭ．Ａ为线段ＭＮ上一点，ＡＢ⊥x 轴，垂足为Ｂ，ＡＣ⊥y 轴，垂足为Ｃ．矩形ＡＢＯＣ的面积为２． （１）点Ｍ的坐标为 ＊ ； （２）求直线ＭＮ的解析式；（３）求点Ａ的坐标（结果用根号表示）．Oxy图4B ACNM２３．（本小题满分１３分）如图５，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∠ＡＢＣ＝３０°，ＥＤ⊥ＡＢ于点Ｆ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，交ＥＦ于点Ｄ．（１）∠Ｅ＝ °； （２）△ＤＣＥ是什么特殊三角形？请说明理由；时，求证△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．２４．（本小题满分１４分）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于Ａ、Ｂ两点（Ａ在Ｂ的左侧），且Ａ、Ｂ两点的横坐标是方程24x x +－１２＝０的两个根．抛物线与y 轴的正半轴交于点Ｃ，且ＯＣ＝ＡＢ．（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）求此抛物线的解析式；（３）连接ＡＣ、ＢＣ，若点Ｅ是线段ＡＢ上的一个动点（与点Ａ、点Ｂ不重合），过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，连接ＣＥ，设ＡＥ的长为m ，△ＣＥＦ的面积为Ｓ，求Ｓ与m 之间的函数关系式； （４）对于（３），试说明Ｓ是否存在最大值或最小值，若存在，请求出此值，并求出此时点Ｅ的坐标，判断此时△ＢＣＥ的形状；若不存在，请说明理由．BA图5２５．（本小题满分１４分）如图６，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＡＢ上的点，△ＡＢＣ，△ＢＤＥ，△ＡＣＤ的周长依次为m ，1m ，2m ．（１）当∠２＝∠３，ＢＤ＝35ＢＣ时，求1m m的值； （２）当∠１＝∠２，ＢＤ＝35ＢＣ时，求22()m m的值；（３）当∠１＝∠２＝∠３时，证明：12m m m +≤54．2018白云区中考数学一模参考答案及评分建议二、填空题三、解答题 １７．（本小题满分９分）解：244x y xy y -+＝2(44)y x x -+……………………………………………４分＝22(222)y x x -⋅⋅+………………………………………………………………６分 ＝2(2)y x -…………………………………………………………………………９分１８．（本小题满分９分）证明：∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋Ｆ，………………………………２分 即ＢＦ＝ＣＥ．………………………………………………………………………３分 在△ＡＢＦ和△ＤＣＥ中，…………………………………………………………４分∵A D B C BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ……………………………………………………………………７分 ∴△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＡＡＳ），…………………………………………………８分 ∴ＡＦ＝ＤＥ（全等三角形对应边相等）．…………………………………………９分１９．（本小题满分１１分） 解：（１）由表一和扇形图①， 可得x ＋８＝５０×４６％，………………………………………………………２分 解得x ＝１５．………………………………………………………………………３分 由表一，得７＋１２＋１５＋８＋y ＋１＋３＝５０，…………………………４分 得y ＝４．……………………………………………………………………………５分m ＝０.３０，n ＝０.０８；………………………………………………………７分（２）Ｃ等级扇形的圆心角的度数为： （０.０８＋０.０２）×３６０°＝３６°；……………………………………９分 （３）达到Ａ等的人数约为：（０.１４＋０.２４）×２５０…………………………………………１０分 ＝９５（人）．……………………………………………………………１１分２０．（本小题满分１０分） 解：（１）34；…………………………………………………………………………３分 （２）树形图如下（图２）按规定的方法，所有等可能的情况共１２种，而抽到钢笔和圆珠笔占两种，钢笔谢 谢 圆 珠 笔 铅 笔 圆珠笔钢 笔 铅 笔 谢 谢 铅笔谢 谢钢 笔 圆 珠 笔谢谢铅 笔钢 笔圆 珠 笔图2…８分∴Ｐ（钢笔，圆珠笔）＝212…………………………………………………………９分 ＝16，……………………………………………………１０分 即李浩得到钢笔和圆珠笔的概率为16．２１．（本小题满分１０分） 解法一：设第一次捐款的人数为x ，…………………………………………………………１分 根据题意，得：68002x －2400x＝２０，…………………………………………６分 解该分式方程，得x ＝５０，………………………………………………………８分经检验，x ＝５０是原分式方程的解．……………………………………………９分 答：第一次捐款的人数为５０人．………………………………………………１０分 解法二：设第一次人均捐款y 元，……………………………………………………………１分 根据题意，得：680020y +＝２×2400y，……………………………………………６分 解得y ＝４８，………………………………………………………………………７分经检验，y ＝４８是原分式方程的解．……………………………………………８分 ２４００÷y ＝２４００÷４８＝５０，…………………………………………９分 答：第一次捐款的人数为５０人．………………………………………………１０分２２．（本小题满分１２分） 解：（１）Ｍ（－２，０）；…………………………………………………………１分 （２）设直线ＭＮ的解析式为：y ＝kx b +，……………………………………２分 分别把Ｍ（－２，０），Ｎ（０，６）坐标代入其中，得6002k bk b=⋅+⎧⎨=-+⎩，………………………………………………………………………４分 解得36k b =⎧⎨=⎩，…………………………………………………………………………５分∴直线ＭＮ的解析式为：y ＝３x ＋６；…………………………………………６分 （３）设点Ａ的坐标为（x ，y ）．………………………………………………７分 ∵点Ａ在线段ＭＮ上，∴y ＝３x ＋６，且－２＜x ＜０．根据题意，得ＯＢ·ＡＢ＝２，∵ＯＢ＝－x ，ＡＢ＝y ，…………………………………………………………８分 ∴－x （３x ＋６）＝２，…………………………………………………………９分整理得：236x x +＋２＝０，解得x＝－１±3．……………………………………………………………１０分当x＝－１＋3时，y当x＝－１－3时，y．………………………………………………１２２３．（本小题满分１３分）解：（１）３０°；………………………………………………………………１分（２）△ＤＣＥ为等腰三角形．…………………………………………………２分∵ＣＤ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＣＤ＝９０°．…………………………………３分即∠１＋∠３＝９０°（如图１）．∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°，…………………………………４分∴∠ＥＣＢ＝９０°，即∠２＋∠３＝９０°，∴∠１＝∠２．……………………………………………………………………５分∵∠Ｂ＝３０°，∴∠Ａ＝６０°；∵ＯＣ＝ＯＢ，∴∠１＝∠Ｂ＝３０°，…………………………………………６分∴∠２＝３０°．∵ＥＤ⊥ＡＢ于点Ｆ，∴∠Ｅ＝９０°－∠Ａ＝３０°，∴∠Ｅ＝∠２，………………………………………………………………………７分故△ＤＣＥ的等腰三角形；（３）证明：在Ｒt△ＡＢＣ中，∵∠Ｂ＝３０°，∴ＡＣ＝12ＡＢ＝12×２＝１．……………………………………………………８分……………………………………………………９分ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝２－32＝12+……………………………………１０分在Ｒt△ＡＥＦ中，∵∠Ｅ＝３０°，……………………………………１１分在△ＤＣＥ和△ＯＣＢ中，∵∠Ｅ＝∠２＝∠Ｂ＝∠１＝３０°……………………１２分∴△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．……………………………………………………………１３分２４．（本小题满分１４分） 解：（１）由方程24x x +－１２＝０得（x ＋６）（x －２）＝０，∴1x ＝－６，2x ＝２，……………………………………………………………１分 由题意得Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）．………………………………………２分ＡＢ＝６－（－２）＝８，∵ＯＣ＝ＡＢ且Ｃ点在y 轴的正半轴上，∴Ｃ（０，８）．……………………………………………………………………３分 ∴Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标分别为： Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）、Ｃ（０，８）； （２）∵点Ｃ（０，８）在抛物线上，当x ＝０时，y ＝８，∴c ＝８．…………………………………………………４分 将Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）代入28y ax bx =++， 得366804280a b a b -+=⎧⎨++=⎩，………………………………………………………………５分解得2383a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………６分∴所求抛物线的解析式为y ＝－22833x x -＋８；………………………………７分 （３）依题意，ＡＥ＝m ，则ＢＥ＝８－m ．∵ＥＦ∥ＡＣ，∴△ＢＥＦ∽△ＢＡＣ，…………………………………………８分 设ＢＥ边上的高为h ，由相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”，可得：ＢＥ边上的高︰ＢＡ边上的高＝ＢＥ︰ＢＡ，……………………………９分 即h ︰ＯＣ＝ＢＥ︰ＢＡ， ∴h ︰８＝（８－m ）︰８， ∴h ＝８－m ．如图２，Ｓ＝Ｓ△ＣＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＣＥ－Ｓ△ＢＥＦ ………………………………………１０分 ＝12×８×８－12×８m －122(8)m -，BA 图1化简整理得Ｓ＝－2142m m + （０＜m ＜８）；……………………………１１分 （４）存在最大值．………………………………………………………………１２分 ∵Ｓ＝－2142m m + ＝－2221(844)2m m -+-＝－21(4)2m -＋８， ∵－12＜０，∴当m ＝４时，Ｓ有最大值８，………………………………１３分 Ｓ最大值＝８．m ＝４，即ＡＥ＝４，∴点Ｅ的坐标为Ｅ（－２，０），∵Ｂ（２，０），∴ＯＣ⊥ＥＢ且平行ＥＢ，即ＣＥ＝ＣＢ，∴△ＢＣＥ为等腰三角形．……………………………………………………１４分２５．（本小题满分１４分）解：（１）∵∠２＝∠３，∴ＤＥ∥ＡＣ， ∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ，…………………………………………………………１分 ∴1m m ＝BD BC，……………………………………………………………………２分 由ＢＤ＝35ＢＣ，得BD BC ＝35， 即1m m ＝35； ……………………………………………………………………３分 （２）∵∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，………………………………………………………４分 ∴2m m ＝DC AC ＝AC BC ，…………………………………………………………５分 12108642-2-5x=-2F EC B A O y x 图2∴22()m m ＝DC AC AC BC⋅＝DC BC ，………………………………………………６分 由ＢＤ＝35ＢＣ，得ＤＣ＝25ＢＣ， ∴22()m m ＝25；…………………………………………………………………７分 （３）证法一：由∠２＝∠３，得ＤＥ∥ＡＣ，∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ；∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，∴△ＡＣＤ∽△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ． ∴1m m ＝BD BC①……………………………………８分 2m m ＝DC AC ＝AC BC②……………………………………９分 由②得，22()m m ＝DC AC AC BC⋅＝DC BC ＝BC BD BC-＝１－BD BC ＝１－1m m ， ……………………………………１０分 ∴1m m ＝１－22()m m．…………………………………………………………１１分 12m m m +＝1m m ＋2m m ＝１－22()m m ＋2m m＝－22()m m ＋2m m ＋１＝－2215()24m m -+，………………………………１２分 ∵－221()2m m -≤０，…………………………………………………………１３分 ∴12m m m +≤54．………………………………………………………………１４分证法二：由∠２＝∠３，得ＡＣ∥ＤＥ，∴△ＢＣＡ∽△ＢＤＥ．∵∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＢＣＡ∽△ＡＣＤ，∴△ＢＣＡ∽△ＢＤＥ∽△ＡＣＤ．…………………………………………８分 ∵△ＡＢＣ，△ＥＢＤ，△ＡＤＣ的周长为m ，1m ，2m ，∴相似比为m ︰1m ︰2m ，∴ＢＣ︰ＢＤ︰ＡＣ＝m ︰1m ︰2m ．………………………………………９分 设BC m ＝1BD m ＝2AC m ＝k ，…………………………………………………１０分 则ＢＣ＝mk ，ＢＤ＝1m k ，ＡＣ＝2m k ．ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝（1m m -）k ，由CD AC AC BC =，得122m m m m m -=，等式左边的分子、分母同除以m ， 得1221m m m m mm-=，………………………………………………………………１１分 设2m x m =，1m y m=，…………………………………………………………１２分 则1y x x-=，１－y ＝2x ， y ＝１－2x ， 12m m m +＝1m m ＋2m m＝x ＋y ＝x ＋１－2x ………………………………１３分 ＝－2x ＋x ＋１＝－215()24x -+，…………………………………………１４分 当x ＝12时，12m m m +取得最大值54，∴12m m m +≤54． 证法三：证明：由∠２＝∠３，得ＤＥ∥ＡＣ，∴△ＥＢＤ∽△ＡＢＣ．设相似比为k ，由题意知，０＜k ＜１．则1m m ＝DE AC ＝BE AB ＝BD BC＝k ．……………………………８分 ∵∠２＝∠１，∠Ｃ是公共角，∴△ＤＡＣ∽△ＡＢＣ， ∴2m m ＝DC AC ＝AD AB ＝AC BC．…………………………………………………９分 在△ＡＢＣ中，设ＡＢ＝x ，ＡＣ＝y ，ＢＣ＝z ，………………………１０分 由BD BC＝k ，得ＢＤ＝k ＢＣ＝k z ，ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝z －k z ． 由DE AC＝k ，得ＤＥ＝k ＡＣ＝k y ． 由△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ，得AC BC ＝DC AC ， 得y z kz z y-=，∴22(1)y z k =-．……………………………………………１１分 ∵０＜k ＜１，∴１－k ＞０，∴yz ．……………………………１２分 ∴12m m m+＝1m m ＋2m m ＝DE AC ＋DC AC ＝()ky z kz y +-＝kn ，…………………………………………………………１３分 则１－k ＝2n ，k ＝１－2n ， ∴12m m m+＝１－2n ＋n ＝－2n ＋n ＋１＝－215()24n -+，………………………………………………………１４分 当n ＝12时，12m m m +取得最大值54， ∴12m m m +≤54．。

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2021白云区中考一模数学试题参考答案

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参考答案及评分建议(2021一模)二、填空题 三、解答题１７．(本小题满分９分) 解:43 1 (1)630 (2)x x ->⎧⎨-≤⎩解(1)得 x ＞１，…………………………………………………………３分 解(2)得 x ≥２，…………………………………………………………６分∴不等式组的解集为:x ≥２，…………………………………………８分 数轴表示为:１８．(本小题满分９分)证法一:∵ＡＢＣＤ为平行四边形，∴∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ．……………………………３分 ∵Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点， ∴ＥＤ＝12ＡＤ，ＢＦ＝12ＢＣ，………………………………………５分 而ＡＤ＝ＣＢ，∴ＥＤ＝ＦＢ．…………………………………………６分在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中，∵AB CD B D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，……………………………………………………………８分 ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ(ＳＡＳ)．………………………………………９分 证法二:∵ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ且ＡＤ∥ＢＣ．………………………………２分 ∵Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点， ∴ＡＥ＝ＥＤ＝12ＡＤ，ＣＦ＝ＦＢ＝12ＢＣ，…………………………４分 ∴ＡＥ＝ＣＦ．即ＡＥ∥ＣＦ且ＡＥ＝ＣＦ，……………………………５分3 图1…………９分∴ＡＦＣＥ为平行四边形，…………………………………………………６分 ∴ＡＦ＝ＣＥ．………………………………………………………………７分 在△ＡＢＦ和△ＣＤＥ中，∵AB CD BF DE AF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，………………………………………………………………８分 ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ(ＳＳＳ)．…………………………………………９分１９．(本小题满分１０分)解:(１) ５２ ；…………………………………………………………１分 这组数据从小到大重新排列为:４８,５１,５２,５２,５２,６４,６４,６９,７２,７６．……………………２分 ∵居中的两个数分别为:５２和６４，……………………………………３分 (５２＋６４)÷２＝５８，∴这组数据的中位数为５８；………………………………………………５分 (２)三(１)数据的平均数为:x ＝110(48＋51＋52＋52＋52＋64＋64＋69＋72＋76)＝６０．………６分 设三(２)班数据的众数为x ，………………………………………………７分 由题意得:４x ＋３４８＝１０×６０，……………………………………９分 解得x ＝６３，∴这组数据的众数为６３．…………………………………………………１０分２０．(本小题满分１０分) 解:(１)树形图如下:)(２)按题意，组成的两位数分别为:11、12、13、14、21、22、23、24、31、32、33、34、41、42、43、44共16个．…………………………………………６分 这其中是３的倍数的分别为:12、21、24、33、42这5个．………………………………………………８分1 1234 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 ……４分……………………………４分所以符合条件的概率为:Ｐ＝516．……………………………………１０分２１．(本小题满分１２分) 解(１)∵直径ＡＢ⊥弦ＣＤ， ∴ＡＢ平分弦ＣＤ，即ＣＥ＝12ＣＤ＝３．………………………………２分 在Ｒt △ＯＣＥ中，由勾股定理，(２) ② ，………………………………………………………………６分 证明:连结ＯＰ(如图２)．………………………………………………７分∵ＯＣ＝ＯＰ，∴∠２＝∠３，……………………………………………８分 又∵∠１＝∠２， ∴∠１＝∠３，∴ＣＤ∥ＯＰ．………………………………………………………………９分 ∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＯＰ⊥ＡＢ，…………………………………………１０分 ∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ＝９０°，∴AP ＝BP ，……………………１２分 即点Ｐ平分下半圆．２２．(本小题满分１２分)解:(１)(２８７５－２５００)÷２５００………………………………２分 ＝０.１５＝１５％．即２０１０年黄豆生产的增长率为１５％；…………………………………３分 (２)设这两年的平均增长率为x ，…………………………………………４分 则有:２８７５2(1)x +＝４１４０，………………………………………９分2(1)x +＝１.４４，１＋x ＝±１.２x １＝０.２，x ２＝－２.２(不合题意，舍去)，∴x ＝０.２＝２０％，…………………………………………………………１１分即２０１１、２０１２这两年黄豆生产的平均增长率为２０％．…………１２分２３．(本小题满分１２分) 解:(１)如下图；图2Ｓ＝12ＯＡ·y…………………………………………………………………４分＝12×３·y ＝32y＝32(－x＋４)＝－32x＋６，即Ｓ＝－32x＋６，……………………………………………………………６分自变量x的取值范围为:０＜x＜４；………………………………………７分(２)∵Ｓ＝－32x＋６，当Ｓ＝92时，得－32x＋６＝92，……………………………………………………………８分解得x＝１，y＝－x＋４＝３∴点Ｐ的坐标为(１，３)…………………………………………………９分［或∵Ｓ＝32y，∴当Ｓ＝92时，得32y＝92，∴y＝３，∴－x＋４＝３，得x＝１，∴点Ｐ的坐标为(１，３)］(３)第四个顶点Ｑ的坐标为:Ｑ(x＋３，y)…………………………１０分或Ｑ(x－３，y)……………………………………………………………１１分或Ｑ(３－x，－y)．………………………………………………………１２分图示如下:其中Ｑ(x＋３，y)为图１；Ｑ(x－３，y)为图２与图３；Ｑ(３－x，－y)为图４与图５．……………………２分２４．(本小题满分１４分)解:(１)∵所给一元二次方程有解，∴根的判别式⊿≥０，………………１分图1 图2 图4 图3 图5即22(21)4(1)k k ---≥０，解得k ≤54；…………………………………２分 设方程的两个根分别为x １、x ２，………………………………………………３分则2212x x +＝９，即21212()2x x x x +-＝９，………………………………４分又x １＋x ２＝－(２k －１)，x １·x ２＝21k -，………………………………５分 分别代入上式，解得k １＝－１或k ２＝３， ∵k ≤54，∴k ＝－１．…………………………………………………………６分 代入函数式中，得y ＝23x x -，………………………………………………７分配方可得y ＝239()24x --， 即抛物线的对称轴为x ＝32，顶点坐标为Ｄ(32，－94)，大致图象如下(见下图)；(２)由(１)，令y ＝０，得23x x -＝０，解得x １＝０,x ２＝３，∴Ａ(０，０)，Ｂ(３，０)．这样的点存在．…………………………………………………………………９分 其坐标为Ｍ(２，－２)．……………………………………………………１０分 设Ｍ(x m ，y m )，而△ＡＭＢ是锐角三角形，故32＜x m ＜３， ∴y m ＜０．故有Ｓ△ＡＭＢ＝12m AB y ⋅⋅＝132m y ⋅⋅＝３， ∴m y ＝２，y m ＝±２，舍去正值，∴y m ＝－２，当y m ＝－２时，23m m x x -＝－２，解得x m ＝１或x m ＝２，∵32＜x m ＜３，∴x m ＝１舍去，而32＜２＜３， ∴x m ＝２满足条件，……………………………………………………………１１分 ∴这样的点存在，其坐标为Ｍ(２，－２)；Ｏ yx1 1AB D……………………８分。

2024年广东省广州市白云区中考数学一模试卷及答案解析

2024年广东省广州市白云区中考数学一模试卷及答案解析

2024年广东省广州市白云区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列各数中，与﹣2024互为相反数的是（）A．2024B．﹣2024C．D．2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（m2）3＝m6B．m2•m3＝m6C．m﹣2＝﹣m2D．m2÷m2＝m24．（3分）某校举行“喜迎中国共产党建党105周年”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（）A．方差是0B．中位数是95C．众数是5D．平均数是905．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．（3分）已知一次函数y＝ax+b经过点（﹣2，﹣3），正比例函数y1＝ax不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（）A．第一、第二象限B．第一、第三象限C．第二、第三象限D．第二、第四象限7．（3分）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝400米，求点P到赛道AB的距离（）（结果保留整数，参考数据：）A．B．C．87D．1738．（3分）某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（）A．﹣＝6B．﹣＝6C．﹣＝6D．﹣＝69．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE ＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（）A．0，180°﹣2αB．r，180°﹣αC．D．10．（3分）若，则关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个实数根D．有两个不相等的实数根二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）2023年10月26日上午，神舟十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神舟十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近21200个小时，其中，数字21200用科学记数法表为．12．（3分）若点A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”连接）．13．（3分）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为°．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，若CF+EF的最小值，则CE＝．15．（3分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，四边形AEDF 的面积为60，DF＝5，则△ADE中AD边上的高为．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B→A运动一周到点A停止．当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作直线PQ⊥AP，与矩形的边的另一交点为Q．若点P的运动时间为t，当8＜t＜10时，CQ长度的范围是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．18．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．求证：BC＝FE．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），所在圆的圆心为O，∠AOB＝60°．将AB向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．（1）点B的坐标是，所在圆的圆心坐标是；（2）在图中画出，求的长．20．（6分）给出6个整式：x+2，x﹣2，2x+1，2，x2+x﹣1，x2﹣x﹣11．（1）从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；（2）从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程．21．（8分）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．22．（10分）某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数图象．（1）乙机器每天加工个零件，甲机器维修了天；（2）求甲机器出现故障以后，未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式．23．（10分）【问题探究】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，在AB边上作点E为一点，连接CE，DE，使得CE⊥DE（画出一个点E即可，要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作图的证明）；（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，∠C＝60°，点E为CD上一点，连接AE，BE，∠ABE＝60°，试判断AD与CE之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，四边形ABCD是赵叔叔家的果园平面示意图，点E为果园的一个出入口（点E在边CD 上），AE，BE为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，AD∥BC，AB＝AE，∠C＝∠ABE＝45°，AD＝150米，赵叔叔计划在△BCE区域内种植某种果树，并沿CE修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出CE的长度．24．（12分）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，2）．（1）用含有k的式子表示b；（2）若直线l与x，y轴分别交于A，B两点，△AOB面积为S，求S的取值范围；（3）过点P的抛物线y＝（x﹣k）2+n与y轴交点为E，记抛物线的顶点为C，该抛物线是否存在点F 使四边形BPEF为平行四边形？若存在，求此时顶点C的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）如图，在四边形ABCD中，点N，M分别在边BC，CD上．连接AM，AN，MN，∠MAN＝45°．（1）【实践探究】如图①，四边形ABCD是正方形．（Ⅰ）若CN＝6，MN＝10，求∠CMN的余弦值；（Ⅱ）若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点；（2）【拓展】如图②，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝12，AD＝16，CN＝12，求DM的长．2024年广东省广州市白云区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2024的相反数为2024，A选项正确．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了互为相反数的定义，对各选项准确化简是解题的关键．2．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为：故选：D．【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．3．【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．（m2）3＝m6，故此选项符合题意；B．m2•m3＝m5，故此选项不合题意；C．m﹣2＝，故此选项不合题意；D．m2÷m2＝1，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【分析】分别根据众数、中位数、算术平均数以及方差的定义与计算方法判断即可．【解答】解：由题意可知，这10名选手的成绩的众数是95，中位数是＝95，平均数是（85×1+90×3+95×5+100×1）＝93，方差是[（85﹣93）2+3×（90﹣93）2+5×（95﹣93）2+（100﹣93）2]＝16，故选：B．【点评】本题考查条形统计图，中位数，众数，算术平均数以及方差，理解统计图中数量之间的关系是正确计算的前提，掌握中位数、方差的计算方法是得出正确答案的关键．5．【分析】先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≤﹣1，解不等式②，得：x＞﹣5，∴该不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣1，其解集在数轴上表示如下：故选：A．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．6．【分析】根据正比例函数不经过第三象限得到a＜0，再根据一次函数y＝ax+b经过点（﹣2，﹣3）确定b值的正负，最后确定反比例函数图象的分布即可．【解答】解：∵正比例函数y1＝ax不经过第三象限，∴a＜0，∵一次函数y＝ax+b经过点（﹣2，﹣3），∴b＜0，∴反比例函数的图象位于第二、四象限．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．7．【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC＝x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB＝400米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x米，在Rt△APC中，∠APC＝30°，∴（米），在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，∴（米），∵AB＝400米，∴AC+BC＝400，∴，∴，∴PC＝173米，∴点P到赛道AB的距离约为173米，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得：﹣＝6，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．9．【分析】连接IE、IF，根据切线长定理和切线的性质定理得AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，则AF+CD＝AF+CE＝AC，所以AF+CD﹣AC＝0，而∠FIE＝2∠FDE＝2α，则∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI ﹣∠FIE＝180°﹣2α，于是得到问题的答案．【解答】解：连接IE、IF，∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∠FDE＝α，∴AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，∴AF+CD＝AF+CE＝AC，∴AF+CD﹣AC＝AC﹣AC＝0，∵∠AEI＝∠AFI＝90°，∠FIE＝2∠FDE＝2α，∴∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝360°﹣90°﹣90°﹣2α＝180°﹣2α，故选：A．【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．10．【分析】先根据二次根式有意义的条件得到k≤2，再根据二次根式的性质计算得到|k﹣1|＝﹣（k﹣1），则利用绝对值的意义得到k≤1，所以k的取值范围为k≤1，接着计算出根的判别式的值得到Δ＝﹣8（k ﹣1），从而可判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义可对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得2﹣k≥0，解得k≤2，∵，∴|k﹣1|﹣（2﹣k）＝﹣1，即|k﹣1|＝﹣（k﹣1），∴k﹣1≤0，解得k≤1，∴k的取值范围为k≤1，∵Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8（k﹣1）≥0，∴方程有两个实数解．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式的化简求值．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：21200＝2.12×104，故答案为：2.12×104．【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是关键．12．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2+k的开口向上，对称轴为直线x＝2，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【解答】解：y＝（x﹣2）2+k，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，∵点A（﹣1，y1）离直线x＝2的距离最远，C（2，y3）在直线x＝2上，∴y1＞y2＞y3．故答案无：y1＞y2＞y3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．【分析】根据直方图中的数据，可以计算出a的值，然后即可计算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数．【解答】解：由条形统计图可得，a＝100﹣10﹣50﹣10＝30，“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：108．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】连接AF，AE，推出CF+EF的最小值，就是AE的长，再利用勾股定理求出BE，进而求出CE的长．【解答】解：连接AF，AE，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于直线BD对称，∴AF＝CF，∴CF+EF＝AF+EF≥AE，∵CF+EF的最小值，∴AE＝，在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝，∴由勾股定理，得BE＝＝＝2，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣2＝2，故答案为：2．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．15．【分析】先证△AED≌△AFD，可得DE＝DF＝5，已知四边形AEDF的面积为60，可得△ADE的面积，可求得AE、AD的长，再根据面积公式可得△ADE中AD边上的高的长度．【解答】解：∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴DE＝DF＝5，△AED的面积＝△AFD的面积，∵四边形AEDF的面积为60，＝30，∴S△ADE＝×DE×AE，∵S△ADE∴AE＝12，AD＝＝13，∴△ADE中AD边上的高＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质以及全等三角形的判定条件．16．【分析】先判断出P点所在位置，连接AQ，根据三角形相似的判定与性质，用t表示出CQ，从而求出DQ，在根据二次函数的最值求出DQ的取值范围，最后根据勾股定理求出AQ的取值范围即可．【解答】解：由题意可知，当t＝8时，点P的运动路程为3×8＝24，当t＝10时，点P的运动路程为3×10＝30，∵AD+CD＝21，AD+CD+BC＝33，∴当8＜t＜10时，点P在线段BC上，∴CP＝3t﹣21，BP＝33﹣3t，∵∠APQ＝90°，∴∠CPQ +∠APB ＝90°，∵∠PAB +∠APB ＝90°，∴∠PAB ＝∠CPQ ，∴△CPQ ∽△BAP ，∴＝，∴CQ ＝（t ﹣7）（11﹣t ）＝﹣（t ﹣9）2+4，∵8＜t ＜10，∴3＜CQ ≤4．故答案为：3＜CQ ≤4．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，结合相似三角形的判定与性质以及二次函数最值问题来解答是本题解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：分解因式得：（x ﹣2）（x +6）＝0，可得x ﹣2＝0或x +6＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣6．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18．【分析】根据题意，先得出∠E ＝∠ACB ，再用两角夹边判定即可．【解答】证明：∵CD ⊥AB ，∴∠A +∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠ECF ＝90°，∴∠A ＝∠ECF ，∵EF ⊥CE ，∴∠E ＝90°，∴∠E ＝∠ACB ，在△ACB 和△CEF 中，，∴△ACB≌△CEF（ASA），∴BC＝FE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．19．【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质可得点B的坐标，根据题意可得所在圆的圆心坐标；（2）由平移的性质画出，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图，连接OB，AB，作BP⊥OA于点P，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2，故BP＝AB•sin60°＝＝，OP＝OA＝1，∴点B的坐标是（﹣1，）；所在圆的圆心坐标是（0，0）．故答案为：（﹣1，），（0，0）；（2）如图所示：＝＝．【点评】本题考查了图象的平移、弧长的计算等，掌握平移的性质以及弧长公式是解答本题的关键．20．【分析】（1）根据分式的定义即可写出，答案不唯一；（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行运算即可．【解答】解：（1）写出的分式有：等，答案不唯一；（2）从6个整式：x+2，x﹣2，2x+1，2，x2+x﹣1，x2﹣x﹣11中选择2个整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式：（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4．【点评】本题考查了分式的定义及整式的混合运算，分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．21．【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图得：共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，所以这三人在同一个献血站献血的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】（1）设乙机器每天加工a个零件，根据甲、乙两台机器10天共生产（9200﹣5200）个零件列出方程，求出a得到乙机器每天加工250个零件；根据甲机器维修的时间即为乙机器单独工作的时间，结合图象根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可求出甲机器维修的天数；（2）分两种情况：①当10＜x≤18时；②当18＜x≤26时；利用待定系数法即可求解．【解答】解：（1）设乙机器每天加工a个零件，由题意得：10（150+a）＝9200﹣5200，解得：a＝250，即乙机器每天加工250个零件；甲机器维修的天数为＝8（天）．故答案为：250，8；（2）设未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式为y＝kx+b．①当10＜x≤18时，把（10，5200），（18，3200）代入，得：，解得：，∴y＝﹣250x+7700（10＜x≤18）；②当18＜x≤26时，把（18，3200），（26，0）代入，得：，解得：，∴y＝﹣400x+10400（18＜x≤26）；综上所述，甲机器出现故障以后，未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式为：y＝．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，工作时间、工作总量与工作效率之间关系的应用，利用数形结合以及分类讨论是解题的关键．23．【分析】（1）作出以CD为直径的圆，利用直径所对的圆周角为直角可得该圆与AB的交点即为所求；（2）连接BD，利用等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；（3）过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EH⊥BC，延长HE交AD的延长线于点G，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到EH的长度，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）1．作出线段CD的垂直平分线，2．以CD为直径画圆，交AB于点E，3．连接DE，CE，则点E为所求．如图，（2）AD与CE之间的数量关系为：AD＝CE，理由：连接BD，如图，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝BC，∠CBD＝∠CDB＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EBC．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝60°，∴∠ADB＝∠C＝60°．在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AD＝EC；（3）过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EH⊥BC，延长HE交AD的延长线于点G，如图，∵AD∥BC，AF⊥BC，EH⊥BC，∴四边形AFHG为矩形，∴AF＝HG，∠G＝∠FAG＝90°．∵AB＝AE，∠C＝∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝45°，∴△ABE，△EHC为等腰直角三角形，∴∠BAE＝90°，∠HEC＝45°，∴∠GED＝∠HEC＝45°，∴△DEG为等腰直角三角形，∴DG＝EG．∵∠BAE＝∠FAG＝90°，∴∠BAF＝∠GAE．在△BAF和△EAG中，，∴△BAF≌△EAG（AAS），∴AF＝AG，∴AG＝GH，∴AG﹣DG＝GH﹣GE，即：HE＝AD＝150（米），∴CE＝EH＝150（米）．【点评】本题主要考查了尺规作图，梯形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出梯形的高线是解决此类问题常添加的辅助线．24．【分析】（1）将点P（﹣1，2）坐标代入y＝kx+b即可得到b＝k+2；（2）由（1）可知，直线y＝kx+b＝kx+k+2（k＞0），可得A（﹣，0），B（0，k+2），根据面积公式和均值不等式求出S的取值范围即可；（3）先求出n与k的关系，然后用k表示出E，C的坐标，根据B和P的坐标关系，可以推出E和F 的坐标关系，从而得到F的坐标，代入抛物线解析式求得k值，即可求出C的坐标．【解答】解：（1）∵y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，2）．∴﹣k+b＝2，∴b＝k+2（k＞0）．（2）由（1）可知，直线y＝kx+b＝kx+k+2（k＞0），∴A（﹣，0），B（0，k+2），S＝＝×（k+2）＝×（4+k+），∵k＞0，∴（﹣）2≥0，k﹣4+≥0，∴k+≥4，∴S＝×（4+k+）≥×（4+4）＝4，∴S的取值范围为：S≥4．（3）存在点F使四边形BPEF为平行四边形，理由如下：∵抛物线y＝（x﹣k）2+n过点P（﹣1，2），∴2＝（﹣1﹣k）2+n，∴n＝﹣k2﹣2k+1，∴抛物线为y＝（x﹣k）2﹣k2﹣2k+1（k＞0），∴C（k，﹣k2﹣2k+1），当x＝0，y＝﹣2k+1，∴E（0，﹣2k+1），∵四边形BPEF为平行四边形，∴PB∥EF，PB＝EF，∵点P向右平移1个单位长度、再向上平移k个单位长度得到点B，∴点E向右平移1个单位长度、再向上平移k个单位长度得到点F，∴F（0+1，﹣2k+1+k）即（1，﹣k+1），∵点F在抛物线上，∴（1﹣k）2﹣k2﹣2k+1＝﹣k+1，解得：k＝，∴C（，）．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解一次和二次函数的解析式以及平行四边形的性质是本题解题的关键．25．【分析】（1）（Ⅰ）利用正方形的性质，勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；（Ⅱ）延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，利用全等三角形的判定与性质得到EN＝MN，设BN＝m，DM＝n，则MN＝EN＝m+n，利用直角三角形的边角关系定理得到CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，利用勾股定理得到m，n的关系式3m＝2n，从而CM＝DM＝n；（2）以AD为边作正方形ADEF，延长AN，交EF于点G，延长EF至点H，使FH＝DM，连接AH，MG，延长CB交AF于点K，利用（1）（ii）的方法解答即可得出结论．【解答】（1）（Ⅰ）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∴CM＝＝＝8，∴∠CMN的余弦值＝；（Ⅱ）证明：延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，在△ABE和△ADM中，，∴△ABE≌△ADM（SAS），∴EN＝MN，设BN＝m，DM＝n，则MN＝EN＝m+n．∵tan∠BAN＝＝，∴AB＝3m，∴BC＝CD＝AB＝3m，∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n．在Rt△CMN中，∵CN2+CM2＝MN2，∴（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，∴3m＝2n．∴CM＝3m﹣n＝2n﹣n＝n，∵DM＝n，∴CM＝DM，∴M是CD的中点；（2）解：以AD为边作正方形ADEF，延长AN，交EF于点G，延长EF至点H，使FH＝DM，连接AH，MG，延长CB交AF于点K，如图，∵四边形ADEF为正方形，∴AF＝EF＝DE＝AD＝16，∵四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠C＝90°，∴四边形AKCD为矩形，∴CK＝AD＝16，AK＝CD＝12，∴KN＝CK﹣CN＝16﹣12＝4，∵KN∥EF，∴△AKN∽△AFG，第15页（共15页）∴，∴，∴FG＝．∴EG ＝EF ﹣FG ＝．在△AFH 和△ADM中，，∴△AFH ≌△ADM （SAS ），∴HG ＝MG ．设DM ＝x ，则EM ＝16﹣x ，MG ＝HG ＝x ，∵EG 2+EM 2＝MG 2，∴，解得：x ＝8．∴DM 的长为8．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键。

白云区初中一模数学试卷

白云区初中一模数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，是负数的是（）A. -3B. 0C. 3D. -2.52. 下列运算中，正确的是（）A. (-2) × (-3) = 6B. (-2) × (-3) = -6C. (-2) ÷ (-3) = 2D. (-2) ÷ (-3) = -2/33. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a - b > 0B. a + b < 0C. a - b < 0D. a + b > 04. 下列代数式中，表示a的2倍减去3的是（）A. 2a - 3B. 3 - 2aC. 2a + 3D. 3 - 2a5. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是（）A. (-2，3)B. (2，-3)C. (-2，-3)D. (2，3)二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x = -2，则2x + 5的值为______。

7. 若a = 3，b = -4，则a^2 - 2ab + b^2的值为______。

8. 若a + b = 7，a - b = 3，则a的值为______。

9. 若一个数的2倍减去5等于3，则这个数是______。

10. 在直角三角形ABC中，∠A = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，则AB的长度为______cm。

三、解答题（共50分）11. （15分）解下列方程：（1）2x - 5 = 3x + 1（2）5(x - 2) = 3(2x + 1)12. （15分）已知a、b、c是等差数列的前三项，且a + b + c = 18，a + c = 12，求b的值。

13. （20分）如图，矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，点E在BC上，AE = 4cm，求三角形AEC的面积。

四、附加题（共10分）14. （10分）若x^2 - 5x + 6 = 0，求x^3 - 3x^2 + 2x的值。

2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(解析版)

2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(解析版)

2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．﹣3的相反数是（）A．B．﹣3C．D．32．在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）3．下列运算正确的是（）A．x8÷x2＝x4（x≠0）B．（m+n）2＝m2+n2C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y64．如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（）A．2B．3C．4D．56．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）A．160B．165C．170D．1757．如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形10．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（）A．4B．6C．8D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．＝．12．分解因式：ax2﹣a＝．13．方程组的解是．14．如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为．15．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．16．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）17．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．18．如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．求证：△ABD≌△CBD．19．已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．（1）化简M；（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．20．某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A 票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？21．为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次随机抽查的学生人数为人，补全图（Ⅰ）；（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为度；（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．22．一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．（1）求b的值；（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线．（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．24．抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．（1）用a表示点A的坐标；（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．25．不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣3的相反数是（）A．B．﹣3C．D．3【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．解：﹣3的相反数是3，故选：D．2．在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【分析】根据向左平移横坐标减，可得结论．解：∵将点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，∴点B的横坐标为0，纵坐标为﹣1﹣2＝﹣3，∴B的坐标为（0，﹣3）．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．x8÷x2＝x4（x≠0）B．（m+n）2＝m2+n2C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．解：A、原式＝x6，所以A选项不符合题意；B、原式＝m2+2mn+n2，所以B选项不符合题意；C、3a与2b不能合并，所以C选项不符合题意；D、原式＝x6，所以D选项符合题意．故选：D．4．如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，故其俯视图的内角和为180°．故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得结论．解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝4，故选：C．6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）A．160B．165C．170D．175【分析】根据中位数的定义直接解答即可．解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，则这些运动员成绩的中位数为165cm．故选：B．7．如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，∴∠DEF＝45°，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠CEF﹣∠DEF＝15°．故选：A．8．关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝a，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0，解得：a＞1，∴点（a，a+1）在第一象限，故选：A．9．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形解：∵DE∥AC，CE∥DB，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形，故选：B．10．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（）A．4B．6C．8D．10解：∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为＝a①；当x＝2时，y2取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；由①②得a＝2，k＝4，∴ak＝8，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．＝2．解：＝＝×＝2．12．分解因式：ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）．解：ax2﹣a，＝a（x2﹣1），＝a（x+1）（x﹣1）．13．方程组的解是．解：，①+②得：2x＝4，即x＝2，①﹣②得：2y＝2，即y＝1，则方程组的解为．故答案为：．14．如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为4．解：由题意，四边形是菱形，∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝＝，∴四边形的周长为4，故答案为：4．15．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．【分析】连接BC，根据圆周角定理得到BC为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出的长，根据圆锥的侧面展开图计算．解：连接BC，∵∠CAB＝90°，∴BC为圆的直径，∴AC＝AB＝3，∴的长＝＝，设圆锥的底面圆的半径为r，由题意得，2πr＝π，解得，r＝，即圆锥的底面圆的半径为，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为3×22019．【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OB n，根据题意找出规律，根据规律解答即可．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OB n＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，∵2021÷12＝168……5，∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos60°＝×22020×＝3×22019，故答案为：3×22019．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）17．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：18．如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．求证：△ABD≌△CBD．【分析】根据AAS证明△ABD与△CBD全等．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（AAS）．19．已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．（1）化简M；（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．【分析】（1）先利用乘法公式展开，然后合并即可；（2）根据正方形的面积公式得到x＝，然后把x的值代入（1）中化简的式子里计算即可．解：（1）M＝x2+x﹣6+x2+2x+1+5＝2x2+3x；（2）∵x是面积为5的正方形边长，∴x＝，∴M＝2×（）2+3×＝10+3．20．某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A 票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？【分析】设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，根据“用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等”列出方程并解答．解：设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，根据题意，得＝．解得x＝26．经检验x＝26是所列方程的解，且符合题意，所以x+9＝35．答：每张A票的票价是26元，则每张B票的票价为35元．21．为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次随机抽查的学生人数为60人，补全图（Ⅰ）；（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为200人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为，90度；（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）由该校人数乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数，再1由369°乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，再由概率公式求解即可．解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），则喜爱⑤数独游戏的人数为：60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），故答案为：60，补全图（Ⅰ）如下：（2）估计该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为：800×＝200（人），图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，故答案为：200，90；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为＝．22．一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．（1）求b的值；（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．【分析】（1）将点（2，﹣1）代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，由反比例函数的性质可求解．解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1），∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，﹣1＝2k+b，∴b＝3；（2）∵k＝﹣2，∴y＝的图象在第二、四象限，y随x的增大而增大，当a＞0时，∴3a＞2a＞a，∴y3＞y1＞y2，当a＜0时，∴3a＜2a＜a，∴y3＜y1＜y2．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线．（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；（2）证明△OBC是等边三角形，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵CB平分∠ACE．∴∠ACB＝∠ECB，∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠BCE＝∠CBO，∴OB∥ED．∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠OBE＝∠E＝90°，∴点B到AD的距离即为DE的长，∵＝2，∴∠AOB＝2∠COB，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∵BE是切线，∴OB⊥EB，∴∠EBO＝90°，∴∠EBC＝30°，∠BCE＝60°，∴BC＝2EC＝2，AC＝2BC＝4，∴∠ACD＝60°，∵AC是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝2，∴DE＝3．答：点B到AD的距离为3．24．抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．（1）用a表示点A的坐标；（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）①根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点B，由抛物线的对称性可得出a和t之间的函数关系；②有题意可得抛物线G的对称轴x＝a≤﹣4，并求出抛物线H的顶点C，联立，求出直线解析式，表达出直线AC与x轴的交点的横坐标，再求出它的最小值．解：（1）y＝x2﹣2ax﹣a+3＝（x﹣a）2﹣a2﹣a+3，∴顶点A（a，﹣a2﹣a+3）；（2）由点A的坐标可知，抛物线H：y＝﹣x2﹣x+3，抛物线G向右平移t个单位后，抛物线为：y＝（x﹣a﹣t）2﹣a2﹣a+3，此时的定点B（a+t，﹣a2﹣a+3），①∵抛物线顶点B仍在抛物线H上，∴y＝﹣（a+t）2﹣（a+t）+3＝﹣a2﹣a+3，整理得t＝﹣2a﹣1，∵t＞0，∴﹣2a﹣1＞0，即a＜﹣，∴t是a的函数，t＝﹣2a﹣1（a＜﹣）；②∵y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，∴对称轴，x＝a≤﹣4，∵抛物线H：y＝﹣（x+）2+，∴C（﹣，），设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A，点C的坐标得，，解得，，∴y＝（﹣a﹣）x﹣a+3，当y＝0时，x＝＝﹣+•，又a≤﹣4，∴当a＝﹣4时，x有最小值﹣，∴直线AC与x轴交点的横坐标的最小值﹣．25．不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．解：（1）如图1，以B为圆心，AB长为半径作弧，交射线CB于点P；（2）如图2，连接QA，QC，QB，BD，∵四边形APQD是平行四边形，∴AP＝DQ，PQ∥AD，AP∥QD，∴∠PAD+∠ADQ＝180°，∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ，∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ＝∠QDC，又∵AP＝QD，AB＝CD，∴△PAB≌△QDC（SAS），∴∠APB＝∠DQC＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠CQD＝∠CBD＝45°，∴点B，点C，点D，点Q四点共圆，∴∠BCD＝∠BQD＝90°，∴∠BQD＝∠BAD＝90°，∴点B，点D，点A，点Q四点共圆，∴∠AQD＝∠ABD＝45°，∵AP∥QD，∴∠PAQ＝∠AQD＝45°；（3）∵四边形APQD是平行四边形，∴S△APO＝S▱APQD，∴当▱APQD的面积最大时，△APO的面积取最大值，∵S▱APQD＝AD×点P到AD的距离，∴当点P到AD的距离最大时，▱APQD的面积最大，如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形ABE，以E为圆心，AE为半径作△ABP的外接圆，延长CB交⊙E于H，过点E作FE⊥BH，交⊙E于P，交DA的延长线于F，此时点P到AD的距离最大，∵EA＝EB，∠AEB＝90°，AB＝2，∴∠EAB＝45°，AE＝，∴∠EAF＝45°，∵EF⊥AF，∴∠EAF＝∠FEA＝45°，∴AF＝EF＝1，∴PF＝1+，∴S▱APQD最大＝AD•PF＝2×（1+），∴S△APO最大＝S▱APQD＝，∴tan∠ADO＝＝．。