高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第四节函数y=Asinωx+φ的图象及应用理

第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用 理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0π2π 3π2 2πy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2015·某某)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2016·某某模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x π10−−−−−→右移个单位y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)． 4．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (－π6)＝________.答案 －23解析 由题图知，函数f (x )的周期T ＝2(11π12－7π12)＝2π3， 所以f (－π6)＝f (－π6＋2π3)＝f (π2)＝－23.5．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·某某)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0π2 π3π2 2πxπ3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z .思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)答案 A解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x .题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例 3 (2015·某某)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值X 围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的X 围为(－1，－12)，故m 的取值X 围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值X 围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值X 围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值X 围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规X 解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ．1．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 C解析 由题意，得y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin 2(x ＋5π12)，则它是由y ＝sin 2x向左平移5π12个单位得到的，故选C.2．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－1，则实数b 的值为( )A ．－2或0B ．0或1C ．±1 D．±2 答案 A解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π＋b ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D．2π 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32 答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2017·某某质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·某某)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 10.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13.(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。

第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。

sin[2(x－φ)＋4π]＝sin(2x＋4π－2φ)， 又∵g(x)是偶函数，∴4π－2φ＝kπ＋π2(k∈Z). ∴φ＝－k2π－π8(k∈Z). 当 k＝－1 时，φ 取得最小正值38π.
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.