高一数学教案：苏教版两个平面垂直的性质定理

苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质一、教学目标：1. 理解两个平面垂直的判定方法，能够运用判定定理判断两个平面是否垂直。

2. 掌握两个平面垂直的性质，能够运用性质定理解决相关问题。

3. 培养学生的空间想象能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：两个平面垂直的判定方法和性质。

2. 教学难点：两个平面垂直的判定方法的灵活运用和性质的证明。

三、教学过程：1. 导入：通过复习三维空间中的基本概念，如点、线、面，引导学生回顾空间图形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解：（2）运用判定定理，给出实例，判断两个平面是否垂直，并解释判断过程。

（4）运用性质定理，给出实例，解决相关问题，并解释解题过程。

3. 课堂练习：布置一些有关两个平面垂直的判定和性质的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

四、课后作业：2. 请学生运用所学知识，解决一些有关两个平面垂直的实际问题。

五、教学反思：六、课堂互动与讨论：1. 组织学生进行小组讨论，探讨两个平面垂直的判定方法在实际问题中的应用。

2. 邀请学生上台展示他们的解题过程，并鼓励其他学生提出疑问或不同解法。

3. 针对学生的疑问，进行解答和引导，帮助学生更好地理解和掌握两个平面垂直的判定方法。

七、案例分析：1. 提供一个实际问题，要求学生运用两个平面垂直的判定方法和性质进行分析和解决。

2. 引导学生通过画图、推理等方法，找到解决问题的突破口。

3. 分组讨论，每组给出自己的解决方案，并选代表进行汇报。

八、拓展与应用：1. 引导学生思考：两个平面垂直的判定和性质在现实生活中的应用。

2. 布置一些开放性问题，要求学生课后思考和探索，如寻找生活中的两个平面垂直的例子。

3. 鼓励学生在下一节课上分享他们的思考和探索成果。

2. 通过课堂练习和案例分析，巩固学生对两个平面垂直判定和性质的理解。

3. 强调两个平面垂直在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质第一章：两个平面垂直的判定1.1 教学目标理解两个平面垂直的概念。

学习两个平面垂直的判定方法。

能够运用判定方法解决实际问题。

1.2 教学内容两个平面垂直的定义。

两个平面垂直的判定定理。

判定定理的应用。

1.3 教学步骤1. 引入两个平面垂直的概念，引导学生思考如何判定两个平面是否垂直。

2. 引导学生学习两个平面垂直的判定定理，解释定理的意义和应用。

3. 提供一些实际问题，让学生运用判定定理解决问题，巩固理解。

1.4 练习题判断下列两个平面是否垂直：1. 平面P：方程为x+y=02. 平面Q：方程为x-y=0解决问题：一个长方体的底面是平面P，侧面是平面Q，求长方体的高。

第二章：两个平面垂直的性质2.1 教学目标学习两个平面垂直的性质定理。

能够运用性质定理解决实际问题。

2.2 教学内容两个平面垂直的性质定理。

性质定理的应用。

2.3 教学步骤1. 引导学生回顾两个平面垂直的概念和判定方法。

2. 引导学生学习两个平面垂直的性质定理，解释定理的意义和应用。

3. 提供一些实际问题，让学生运用性质定理解决问题，巩固理解。

2.4 练习题判断下列两个平面是否垂直：1. 平面P：方程为x+y=02. 平面Q：方程为x-y=0解决问题：一个长方体的底面是平面P，侧面是平面Q，求长方体的对角线长度。

第三章：空间中的直线与平面垂直3.1 教学目标理解直线与平面垂直的概念。

学习直线与平面垂直的判定方法。

能够运用判定方法解决实际问题。

3.2 教学内容直线与平面垂直的判定定理。

判定定理的应用。

3.3 教学步骤1. 引入直线与平面垂直的概念，引导学生思考如何判定一条直线是否与一个平面垂直。

2. 引导学生学习直线与平面垂直的判定定理，解释定理的意义和应用。

3. 提供一些实际问题，让学生运用判定定理解决问题，巩固理解。

3.4 练习题判断下列直线是否与给定的平面垂直：1. 直线l：方程为y=02. 平面P：方程为x+y=0解决问题：一个正方体中，一条直线l通过顶点A且与面ABCD垂直，求直线l与对角线BD的交点E的坐标。

苏教版高中数学必修教案——两个平面垂直的判定和性质教案章节：第一章两个平面垂直的判定教学目标：1. 理解两个平面垂直的判定方法。

2. 学会运用判定方法判断两个平面是否垂直。

3. 掌握两个平面垂直的性质。

教学重点：1. 两个平面垂直的判定方法。

2. 两个平面垂直的性质。

教学难点：1. 两个平面垂直的判定方法的运用。

2. 两个平面垂直性质的理解。

教学准备：1. 平面几何模型。

2. 投影仪。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些生活中的实例，让学生观察并思考这些实例中是否存在两个平面垂直的情况。

2. 引导学生发现这些实例中两个平面垂直的特点。

二、新课讲解（15分钟）1. 介绍两个平面垂直的定义。

2. 讲解两个平面垂直的判定方法。

3. 通过实例演示和讲解，让学生理解并掌握两个平面垂直的判定方法。

三、课堂练习（10分钟）1. 布置一些判断题，让学生运用所学知识判断两个平面是否垂直。

2. 让学生互相讨论并解答，教师进行点评和指导。

四、性质讲解（15分钟）1. 介绍两个平面垂直的性质。

2. 通过实例演示和讲解，让学生理解并掌握两个平面垂直的性质。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结两个平面垂直的判定方法和性质。

2. 教师进行补充和强调。

教学反思：1. 本节课通过实例导入，激发学生的兴趣，让学生主动参与课堂。

2. 讲解过程中，注重引导学生思考和发现，培养学生的几何思维能力。

3. 课堂练习环节，鼓励学生互相讨论，提高学生的合作能力。

4. 性质讲解环节，注重引导学生通过实例理解和掌握两个平面垂直的性质。

5. 课堂小结环节，及时回顾和巩固所学知识，提高学生的总结能力。

教案章节：第二章两个平面垂直的运用教学目标：1. 学会运用两个平面垂直的判定和性质解决实际问题。

2. 提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 两个平面垂直的判定和性质的运用。

教学难点：1. 实际问题中两个平面垂直的判定和性质的运用。

高中数学第九章两个平面垂直的判定和性质（二）教学案苏教版一、素质教育目标(一)知识教学点1．两个平面垂直的性质定理．2．异面直线上两点间的距离公式．(二)能力训练点1．弄清反证法与同一法之间的关系，并会应用同一法证题，进一步培养学生的逻辑思维能力．2．掌握两个平面垂直的性质定理，理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题．3．异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值，还可以证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．另外，还可解决分别在二面角的面内两点的距离问题．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面垂直的性质；会运用异面直线上两点间的距离公式．2．教学难点：异面直线上两点间距离公式的应用．3．教学疑点：(1)弄清反证法与同一法的联系与区别．(2)正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式：EF＝三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第二课时，主要讲解两个平面垂直的性质及异面直线上两点间的距离公式．四、教与学的过程设计(一)复习两个平面垂直的定义，判定师：什么是两个平面互相垂直？生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．师：如何判定两个平面互相垂直？生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．(二)两个平面垂直的性质师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，AB α且AB⊥CD于B．求证：AB⊥β．证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．师：从性质定理可以得出，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题．例1 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求证：a α．师提示：要证明a α，一般用反证法，即否定结论→推出矛盾→肯定结论．下面请同学们写出它的证明过程．其中c为α与β的交线．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾．∴a α．师：现在我们来看课本P．44的证明，这种方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻灯显示)一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般步骤是什么？(幻灯显示)1．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；2．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；3．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是一个东西，由此断定原命题成立．证明(同一法)：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β．因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合．即a α．师：比较反证法与同一法，我们可以知道：凡可用同一法证明的命题也可用反证法来证；反证法可适用于各种命题，同一法只适用于符合同一法则的命题．另外，例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质，可直接应用．下面请同学们一齐完成例2．(三)异面直线上两点间的距离例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA'的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β内作EG⊥C，则EG＝AA'．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果点F(或E)在点A(或A')的另一侧，则EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．师：例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式，还解决了下面的三个问题：(1)证明了两条异面直线公垂线的存在性．(2)证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂线，而EF是斜线，∴AA'＜EF．如在实际中，两条交叉的高压电线如果放电时，火花正是通过它们的最短距离．(3)也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题，请看下面练习．(四)练习在60°二面角的枝上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用异面直线上两点距离公式求CD．(P．45中练习3)∴AC与BD是异面直线．∵AB⊥AC交于点A，AB⊥BD交于点B，∴AB是AC、BD的公垂线，AC、BC所成角是60°．已知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm．师点评：根据二面角的平面角来求异面直线上两点间的距离时，应用异面直线上两点间的距离公式一定要注意cosθ前正负号的选择(当θ≤90°时取“-”号)．(五)总结本节课我们学习了两个平面垂直的性质及异面直线上两点间距离的求法．正确理解、掌握异面直线上两点间的距离公式及其应用是本节课学习的关键．五、作业P．46中习题六9、10(2)、11、12．。

第24课时两个平面垂直的判定和性质教学目标：使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。

教学重点：两个平面垂直的判定、性质。

教学难点：两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。

教学过程：1．复习回顾：1）二面角、二面角的平面角.2）求作二面角的平面角的途径及依据.2．讲授新课：［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.请同学给两个平面互相垂直下一定义：［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决.平面α和β垂直，记作α⊥β［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理.［生］两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.［师］请两位同学给出分析，证明.［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB ⊂α求证：α⊥β.分析：要证α⊥β需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β＝CD，则由AB ⊂α知，AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过点B作直线BE⊥CD则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角.又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角.∴α⊥β.［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线.［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直两个平面垂直的性质：［师］在所给正方体中，下式是否正确①平面ADD1A1⊥平面ABCD②D1A⊥AB③D1A⊥面ABCD［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面ADD1A1②∵AB⊥面ADD1A1，D1A ⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD∴AD1与平面ABCD不垂直［师］平面ADD1A１⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，A是平面ADD1A1内一点.过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法.请同学予以证明.［生］证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a, AB⊂α，AB⊥a于B.求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角由α⊥β可知，AB⊥BE又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线∴AB⊥β.［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例1也可做为性质定理用.例1：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aα先作出直线b⊂α然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注.［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，∵α⊥β∴b⊥β，而a⊥β，P∈a因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直.所以直线a应与直线b重合.那么a⊂α.［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.其结论可作性质定理用.例2：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O 所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由.［生］可从多角度解决该题.解法一：∵VC⊥面ABC，AC面ABC，BC ⊂面ABC∴VC⊥AC，VC⊥BC则∠ACB就是面VBC—BC—面VAC的平面角.因AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°∴面VBC⊥面VAC又D、E分别是VA、VC的中点，则DE∥AC而AC⊥VC即DE⊥VC那么DE⊥面VBC.［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角面面垂直线面垂直.］解法二：因VC⊥面ABC，AC⊂面ABC∴VC⊥AC又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC由此AC⊥面VBC而D、E是VA、VC中点，DE∥AC故DE⊥面VBC.［此法比解法一简单明了，走的弯路较少.转化关系：线垂直面⇒线垂直面内线线垂直面⇒与此线平行的线也垂直平面.］解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°,进而证明ED⊥面VBC（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）3．课堂练习：课本P47练习2，3，4.4．课时小结：（1）证明两个平面垂直.关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直.（2）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直.（3）判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用.5．课后作业：课本P476，7，8。

CA 1课时12 两个平面垂直（1）【课标展示】1. 掌握平面与平面的位置关系.2．掌握平面和平面垂直的判定与性质定理．3. 应用平面和平面垂直的判定和性质定理证明线线垂直、线面垂直等有关问题． 【先学应知】 （一）要点1．二面角:___________________________________________ 二面角的棱：______________________________________ 2.平面与平面垂直的判定定理 （1）语言表示：_________________________________________________________________________ （2）符号表示：_________________________________________________________________________ （3）图像表示：________________________________________________________________________ 3.平面与平面垂直的性质定理 （1）语言表示：_________________________________________________________________________ （2）符号表示：_________________________________________________________________________ （3）图像表示：________________________________________________________________（二）练习４．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是______A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则//αβ 5．与平面11ACC A 垂直的面有___________________ 与平面1ACB 垂直的面有_____________________ 平面11ACC A 与平面11BCC B 的二面角为_______ 【合作探究】例1．如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．AC DD 1C 1B 1A 1（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ；例2．(1)求证: 如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.(2)如果三个平面两两垂直, 求证：它们的交线也两两垂直。

两个平面垂直的性质定理教学设计江苏省南菁高级中学江荣芬一、教材简析两个平面垂直的性质定理是高中数学第二册（下）的内容，在学习本课之前，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。

这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

本课借助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。

二、设计理念长期以来，我们的课堂教学重结果，轻过程，在数学教学中往往采用所谓的“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用结论的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。

数学是思维的体操，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体念，必须让学生追求过程的体念。

基于以上认识，在设计本节课时，不是简单地告诉学生两个平面垂直的性质定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理。

在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题，分析问题，解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。

三、教学目标1、知识目标：1. 掌握面面垂直的性质定理；2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。

2、能力目标：以学生的经验为基础，通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力；在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。

在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。

逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力。

通过变式练习培养学生的发散思维，培养学生的创新能力。