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两个平面垂直●知识梳理1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n md±++，其中：d 是异面直线a 、b的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.●点击双基1.在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD ⊥平面ADC B.平面ABD ⊥平面ABC C.平面ADC ⊥平面BCD D.平面ABC ⊥平面BCD 解析：由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD ，面AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD . 答案：C2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 A.aB.2aC. 22a D. 3a解析：取A 1C 的中点O ，连结AO . ∵AC =AA 1，∴AO ⊥A 1C . 又该三棱柱是直三棱柱， ∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即A 1O 等于A 到平面ABC 的距离.解得A 1O =22a .答案：C3.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0解析：答案：C4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1—BD —A 的正切值为_____________.答案：25.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.解析：如下图，平面α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB =2a .AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ， 则CD 即为所求.∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，∠ABC 就是AB 与平面β所成的角. 故∠ABC =30°，故AC =a .同理，在Rt △ADB 中求得AD =2a . 在Rt △ACD ，CD =222a a -=a.答案：a例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小． 证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求：C A SDBASBC(1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角． 答案：(1) arc sin57 (2) arc sin103变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ；（2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． （1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ．∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角． 设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3．在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1∴cos ∠PEF ＝147572212)7(22=⨯-+即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为1475．例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°．⑴ 求证：AF ∥平面PEC ；⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离． 证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD ． ⑴ 证明：AB ⊥平面V AD ；⑵ 求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． （1）证明：C BD FP AE CVD平面V AD ⊥平面ABCD AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面V ADAB ⊂平面ABCDAD ＝平面V AD∩平面ABCD（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ． ∵△V AD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝23AD ．∵AB ⊥平面V AD ，∴AB ⊥AE ． 又由三垂线定理知BE ⊥VD ． 于是tan ∠AEB ＝AEAB ＝332,即得所求二面角的大小为arc tan 332例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离． 证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形， 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． （2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ， ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ． ∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角， 在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形．∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23∴ tan ∠A 1CD ＝133921=CDD A ．（3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ． ∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ， ∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离． ∵B 1O ＝23∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．BCAA 1B 1C 1变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ． ⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．(2) 略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．●闯关训练 夯实基础1.P 为△ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是A.PA =PB =PCB.PA ⊥BC ，PB ⊥ACC.点P 到△ABC 三边所在直线距离相等D.平面P AB 、平面PBC 、平面PAC 与△ABC 所在的平面所成的角相等解析：条件A 为外心的充分必要条件，条件C 、D 为内心或旁心的必要条件（当射影在△ABC 的形内时为内心，在形外时为旁心）.答案：B2.m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 ①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④ 答案：C 3.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.解析：本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α. 答案：a ⊥b4.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP 的长为__________.解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使OP 为长方体的对角线.故OP =222543++=52.答案：52ACBPG D5.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C . 证明：如下图，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，A A1∴EF ∥AC . ∵AB 1=CB 1， O 为AC 的中点， ∴B 1O ⊥AC . 故B 1O ⊥EF .在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=3，BO =1，∴∠BB 1O =30°.从而∠OB 1D 1=60°，又B 1D 1=2，B 1O 1=21OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点）.∴△D 1B 1O 1是直角三角形，即B 1O ⊥D 1O 1. ∴B 1O ⊥平面D 1EF .又B 1O 平面ACB 1， ∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C.6.（文）如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .A A1（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ； （2）求点D 1到平面B 1EF的距离d ；（3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V . （1）证法一：如下图，连结AC .A A1∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC .∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥BD . 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H . ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1， 且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H . ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =11GB B B =22144+=174，∴d =D 1H =4·174=171716.（3）解：V =V 11EFD B-=V EFB D11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316.评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.（理）如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a .求：A C 1（1）AB 与B 1C 所成的角； （2）AB 与B 1C 间的距离； （3）AB 与B 1D 间的距离. 解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B 1CD 是AB 与B 1C 所成角. ∵DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴DC ⊥B 1C .于是∠DCB 1=90°. ∴AB 与B 1C 所成角为90°.（2）连结BC 1交B 1C 于O ，则BO ⊥B 1C . 又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BO . ∴BO 是异面直线AB 和B 1C 的公垂线段， 易得BO =22 a ，即AB 与B 1C 间的距离为22a .（3）∵AB ∥DC ，AB ⊄平面B 1DC ，DC ⊂平面B 1DC ，∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与平面B 1DC 间的距离即为AB 与B 1D 间的距离.∵BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ，B 1C ∩DC =C ，∴BO ⊥平面DB 1C .∴BO 的长为B 到平面B 1DC 间的距离.∵BO =22a ，∴AB 与B 1D 间的距离为22a .培养能力7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA =AB .（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （2）求点D 到平面PCE 的距离.（1）证明：取PD 的中点F ，则AF ⊥PD . ∵CD ⊥平面PAD ，∴AF ⊥CD .∴AF ⊥平面PCD .取PC 的中点G ，连结EG 、FG ，可证AFGE 为平行四边形. ∴AF ∥EG .∴EG ⊥平面PCD . ∵EG 在平面PCE 内， ∴平面PCE ⊥平面PCD .（2）解：在平面PCD 内，过点D 作DH ⊥PC 于点H .∵平面PCE ⊥平面PCD ，∴DH ⊥平面PCE ，即DH 为点D 到平面PCE 的距离. 在Rt △PAD 中，PA =AD =a ，PD =2a .在Rt △PCD 中，PD=2a ，CD =a ，PC =3a ， ∴DH =PCDC PD ⋅=36a .8.（2003年杭州高考质量检测题）如下图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =AA 1，E 是棱BB 1的中点.A 11（1）求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ；（2）若我们把平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；（3）设AB =a ，求体积V EC A A 1-.（1）证明：连结A 1C 与AC 1交于点F ，连结EF ，则由条件可得EC =EA 1，则EF ⊥A 1C .同理EC 1=EA ，则EF ⊥AC 1，∴EF ⊥面AA 1C 1C .AA1而EF ⊂面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C .〔也可通过如下（2）的辅助线先证明EF ∥A 1H ，而A 1H ⊥面AA 1C 1C 得到〕（2）解：延长CE 交C 1B 1的延长线于点H ，则有C 1B 1=B 1H =A 1B 1，则∠HA 1C 1=90°，且∠CA 1H =90°，所以∠CA 1C 1为平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA 1C 1=60°，应有CC 1=3A 1C 1，与条件AB =AA 1矛盾.所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”. （也可利用公式cos θ=ABCC B A S S ∆∆111得到二面角的平面角来解决）（3）解：V EC A A 1-=V C AA E 1-=31·EF ·21AA 1·AC =61×23a ×a ×a =123 a 3.（或通过V EC A A 1-=V AE A C 1-来计算）探究创新9.如下图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD .（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）求二面角A —BC —P 的大小；（4）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，G 为AD 边的中点，∴BG ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴BG ⊥平面PAD .（2）证明：连结PG ，则PG ⊥AD ，由（1）得BG ⊥AD ，又PG ∩BG =G ，BG ⊂平面PBG ，PG ⊂平面PBG ，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG .∴AD ⊥PB .（3）解：由（2）AD ⊥平面PBG ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PBG .而PB ⊂平面PBG ，BG ⊂平面PBG ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BG .∴∠PBG 就是二面角A —BC —P 的平面角.在△PAD 中，PG =23a ，∴在△PGB 中，∠PBG =45°，即二面角A —BC —P 为45°.（4）解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：取PC的中点F，连结DE、EF、DF，则由平面几何知识，在△PBC中，EF∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，ED⊂平面DEF，EF∩DE=E，∴平面DEF ∥平面PGB.又PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF ⊥平面ABCD.评述：本题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问通过线线垂直与线面垂直的转化得以证明，第（3）问是通过寻找与二面角的棱垂直的平面，进而得出二面角的平面角，再归结为论证与计算，第（4）问是探索性问题，这里通过直觉捕捉结果，再进行逻辑论证.●思悟小结在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.●教师下载中心教学点睛1.结合图形向学生讲明两个平面垂直的判定定理及性质定理.2.在作二面角的平面角时，往往利用两个平面垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.拓展题例【例1】已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若mα，lβ且l⊥m，则α⊥β；④若lβ且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，lβ且α∥β，则l∥m.其中正确命题的序号是_____________.答案：①④【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.APD（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面P AC.∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD .【例3】 如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P —CD —B 为45°.（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ；（3）设AD =2，CD =22，求点A 到平面PEC 的距离.分析：对问题（1），关键是证明AF 与平面PEC 内的一条直线平行，为此可取PC 的中点G ，论证AF ∥EG ；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F 到平面PEC 的距离，进而可以充分运用（2）的结论.（1）证明：取PC 的中点G ，连结EG 、FG .∵F 是PD 的中点，∴FG ∥CD 且FG =21CD .而AE ∥CD 且AE =21CD ，∴EA ∥GF 且EA =GF ，故四边形EGF A 是平行四边形，从而EG ∥AF .又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影.又CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∠PDA 就是二面角P —CD —B 的平面角.∴∠ADP =45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD .由（1），EG ∥AF ，∴EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD .（3）解：过F 作FH ⊥PC 交PC 于点H ，又平面PEC ⊥平面PCD ，则FH ⊥平面PEC ，∴FH 为点F 到平面PEC 的距离，而AF ∥平面PEC ，故FH 等于点A 到平面PEC 的距离.在△PFH 与△PCD 中，∵∠FHP =∠CDP =90°，∠FPC 为公共角，∴△PFH ∽△PCD ，CD FH=PC PF.∵AD =2，CD =22，PF =2，PC =22PD CD+=4，∴FH =42·22=1.∴点A 到平面PEC 的距离为1.。
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积． 解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。
ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
