两个平面垂直的性质定理

两个平面垂直●知识梳理1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n md±++，其中：d 是异面直线a 、b的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.●点击双基1.在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD ⊥平面ADC B.平面ABD ⊥平面ABC C.平面ADC ⊥平面BCD D.平面ABC ⊥平面BCD 解析：由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD ，面AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD . 答案：C2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 A.aB.2aC. 22a D. 3a解析：取A 1C 的中点O ，连结AO . ∵AC =AA 1，∴AO ⊥A 1C . 又该三棱柱是直三棱柱， ∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即A 1O 等于A 到平面ABC 的距离.解得A 1O =22a .答案：C3.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0解析：答案：C4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1—BD —A 的正切值为_____________.答案：25.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.解析：如下图，平面α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB =2a .AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ， 则CD 即为所求.∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，∠ABC 就是AB 与平面β所成的角. 故∠ABC =30°，故AC =a .同理，在Rt △ADB 中求得AD =2a . 在Rt △ACD ，CD =222a a -=a.答案：a例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小． 证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求：C A SDBASBC(1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角． 答案：(1) arc sin57 (2) arc sin103变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ；（2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． （1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ．∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角． 设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3．在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1∴cos ∠PEF ＝147572212)7(22=⨯-+即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为1475．例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°．⑴ 求证：AF ∥平面PEC ；⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离． 证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD ． ⑴ 证明：AB ⊥平面V AD ；⑵ 求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． （1）证明：C BD FP AE CVD平面V AD ⊥平面ABCD AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面V ADAB ⊂平面ABCDAD ＝平面V AD∩平面ABCD（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ． ∵△V AD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝23AD ．∵AB ⊥平面V AD ，∴AB ⊥AE ． 又由三垂线定理知BE ⊥VD ． 于是tan ∠AEB ＝AEAB ＝332,即得所求二面角的大小为arc tan 332例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离． 证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形， 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． （2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ， ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ． ∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角， 在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形．∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23∴ tan ∠A 1CD ＝133921=CDD A ．（3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ． ∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ， ∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离． ∵B 1O ＝23∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．BCAA 1B 1C 1变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ． ⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．(2) 略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．●闯关训练 夯实基础1.P 为△ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是A.PA =PB =PCB.PA ⊥BC ，PB ⊥ACC.点P 到△ABC 三边所在直线距离相等D.平面P AB 、平面PBC 、平面PAC 与△ABC 所在的平面所成的角相等解析：条件A 为外心的充分必要条件，条件C 、D 为内心或旁心的必要条件（当射影在△ABC 的形内时为内心，在形外时为旁心）.答案：B2.m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 ①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④ 答案：C 3.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.解析：本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α. 答案：a ⊥b4.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP 的长为__________.解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使OP 为长方体的对角线.故OP =222543++=52.答案：52ACBPG D5.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C . 证明：如下图，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，A A1∴EF ∥AC . ∵AB 1=CB 1， O 为AC 的中点， ∴B 1O ⊥AC . 故B 1O ⊥EF .在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=3，BO =1，∴∠BB 1O =30°.从而∠OB 1D 1=60°，又B 1D 1=2，B 1O 1=21OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点）.∴△D 1B 1O 1是直角三角形，即B 1O ⊥D 1O 1. ∴B 1O ⊥平面D 1EF .又B 1O 平面ACB 1， ∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C.6.（文）如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .A A1（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ； （2）求点D 1到平面B 1EF的距离d ；（3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V . （1）证法一：如下图，连结AC .A A1∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC .∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥BD . 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H . ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1， 且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H . ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =11GB B B =22144+=174，∴d =D 1H =4·174=171716.（3）解：V =V 11EFD B-=V EFB D11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316.评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.（理）如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a .求：A C 1（1）AB 与B 1C 所成的角； （2）AB 与B 1C 间的距离； （3）AB 与B 1D 间的距离. 解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B 1CD 是AB 与B 1C 所成角. ∵DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴DC ⊥B 1C .于是∠DCB 1=90°. ∴AB 与B 1C 所成角为90°.（2）连结BC 1交B 1C 于O ，则BO ⊥B 1C . 又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BO . ∴BO 是异面直线AB 和B 1C 的公垂线段， 易得BO =22 a ，即AB 与B 1C 间的距离为22a .（3）∵AB ∥DC ，AB ⊄平面B 1DC ，DC ⊂平面B 1DC ，∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与平面B 1DC 间的距离即为AB 与B 1D 间的距离.∵BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ，B 1C ∩DC =C ，∴BO ⊥平面DB 1C .∴BO 的长为B 到平面B 1DC 间的距离.∵BO =22a ，∴AB 与B 1D 间的距离为22a .培养能力7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA =AB .（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （2）求点D 到平面PCE 的距离.（1）证明：取PD 的中点F ，则AF ⊥PD . ∵CD ⊥平面PAD ，∴AF ⊥CD .∴AF ⊥平面PCD .取PC 的中点G ，连结EG 、FG ，可证AFGE 为平行四边形. ∴AF ∥EG .∴EG ⊥平面PCD . ∵EG 在平面PCE 内， ∴平面PCE ⊥平面PCD .（2）解：在平面PCD 内，过点D 作DH ⊥PC 于点H .∵平面PCE ⊥平面PCD ，∴DH ⊥平面PCE ，即DH 为点D 到平面PCE 的距离. 在Rt △PAD 中，PA =AD =a ，PD =2a .在Rt △PCD 中，PD=2a ，CD =a ，PC =3a ， ∴DH =PCDC PD ⋅=36a .8.（2003年杭州高考质量检测题）如下图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =AA 1，E 是棱BB 1的中点.A 11（1）求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ；（2）若我们把平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；（3）设AB =a ，求体积V EC A A 1-.（1）证明：连结A 1C 与AC 1交于点F ，连结EF ，则由条件可得EC =EA 1，则EF ⊥A 1C .同理EC 1=EA ，则EF ⊥AC 1，∴EF ⊥面AA 1C 1C .AA1而EF ⊂面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C .〔也可通过如下（2）的辅助线先证明EF ∥A 1H ，而A 1H ⊥面AA 1C 1C 得到〕（2）解：延长CE 交C 1B 1的延长线于点H ，则有C 1B 1=B 1H =A 1B 1，则∠HA 1C 1=90°，且∠CA 1H =90°，所以∠CA 1C 1为平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA 1C 1=60°，应有CC 1=3A 1C 1，与条件AB =AA 1矛盾.所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”. （也可利用公式cos θ=ABCC B A S S ∆∆111得到二面角的平面角来解决）（3）解：V EC A A 1-=V C AA E 1-=31·EF ·21AA 1·AC =61×23a ×a ×a =123 a 3.（或通过V EC A A 1-=V AE A C 1-来计算）探究创新9.如下图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD .（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）求二面角A —BC —P 的大小；（4）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，G 为AD 边的中点，∴BG ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴BG ⊥平面PAD .（2）证明：连结PG ，则PG ⊥AD ，由（1）得BG ⊥AD ，又PG ∩BG =G ，BG ⊂平面PBG ，PG ⊂平面PBG ，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG .∴AD ⊥PB .（3）解：由（2）AD ⊥平面PBG ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PBG .而PB ⊂平面PBG ，BG ⊂平面PBG ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BG .∴∠PBG 就是二面角A —BC —P 的平面角.在△PAD 中，PG =23a ，∴在△PGB 中，∠PBG =45°，即二面角A —BC —P 为45°.（4）解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：取PC的中点F，连结DE、EF、DF，则由平面几何知识，在△PBC中，EF∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，ED⊂平面DEF，EF∩DE=E，∴平面DEF ∥平面PGB.又PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF ⊥平面ABCD.评述：本题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问通过线线垂直与线面垂直的转化得以证明，第（3）问是通过寻找与二面角的棱垂直的平面，进而得出二面角的平面角，再归结为论证与计算，第（4）问是探索性问题，这里通过直觉捕捉结果，再进行逻辑论证.●思悟小结在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.●教师下载中心教学点睛1.结合图形向学生讲明两个平面垂直的判定定理及性质定理.2.在作二面角的平面角时，往往利用两个平面垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.拓展题例【例1】已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若mα，lβ且l⊥m，则α⊥β；④若lβ且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，lβ且α∥β，则l∥m.其中正确命题的序号是_____________.答案：①④【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.APD（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面P AC.∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD .【例3】 如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P —CD —B 为45°.（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ；（3）设AD =2，CD =22，求点A 到平面PEC 的距离.分析：对问题（1），关键是证明AF 与平面PEC 内的一条直线平行，为此可取PC 的中点G ，论证AF ∥EG ；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F 到平面PEC 的距离，进而可以充分运用（2）的结论.（1）证明：取PC 的中点G ，连结EG 、FG .∵F 是PD 的中点，∴FG ∥CD 且FG =21CD .而AE ∥CD 且AE =21CD ，∴EA ∥GF 且EA =GF ，故四边形EGF A 是平行四边形，从而EG ∥AF .又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影.又CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∠PDA 就是二面角P —CD —B 的平面角.∴∠ADP =45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD .由（1），EG ∥AF ，∴EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD .（3）解：过F 作FH ⊥PC 交PC 于点H ，又平面PEC ⊥平面PCD ，则FH ⊥平面PEC ，∴FH 为点F 到平面PEC 的距离，而AF ∥平面PEC ，故FH 等于点A 到平面PEC 的距离.在△PFH 与△PCD 中，∵∠FHP =∠CDP =90°，∠FPC 为公共角，∴△PFH ∽△PCD ，CD FH=PC PF.∵AD =2，CD =22，PF =2，PC =22PD CD+=4，∴FH =42·22=1.∴点A 到平面PEC 的距离为1.。