-关于面面垂直性质定理

面面垂直的条件
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相
垂直。

定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直
性质定理：
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个
平面内
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直
如何证明面面垂直
面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。

即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。

分别算出两个平面的法向量，n1,n2.找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。

两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

面面垂直判定定理的证明一、引言面面垂直判定定理是平面几何中的一个重要定理，它用于判断两个面是否垂直。

本文将对面面垂直判定定理进行证明，并详细探讨其原理和应用。

二、面面垂直判定定理的定义面面垂直判定定理是指：如果两个平面相交于一条直线，且这两个平面与另一平面的两个相交线都是垂直的，那么这两个平面是垂直的。

三、证明过程为了证明面面垂直判定定理，我们需要先证明两个命题：1. 命题一：两个平面与同一平面的两个相交线垂直假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。

首先，我们可以得出m和l在P平面上的一个交点A，以及n和l在Q平面上的一个交点B。

由于m都与P平面垂直，那么P平面上的任意一条直线都与m垂直。

同理，n与Q平面垂直，那么Q平面上的任意一条直线都与n垂直。

考虑平面R上的一条直线s，它与m交于点C，与n交于点D。

由于m与l垂直，所以线段AC与线段AD是两条垂直直线上的线段，即AC和AD垂直。

又因为n与l垂直，所以线段AD与线段BD也是两条垂直直线上的线段，即AD和BD垂直。

由于AC和AD垂直，且AD和BD垂直，根据垂直的传递性，可以得出AC和BD垂直。

综上所述，我们可以得到结论：平面P上的任意一条直线与平面Q上的任意一条直线都垂直。

即命题一得证。

2. 命题二：两个平面与同一平面的两个相交线垂直，那么这两个平面是垂直的假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。

为了证明P和Q是垂直的，我们假设有一条直线s在平面P上，且与平面Q相交于点E。

要证明P和Q是垂直的，我们需要证明s与l垂直。

通过平面P上s与l的交点F，我们可以找到平面R上与F相交的一条直线g。

由命题一可知，直线g与平面Q的两个相交线都是与l垂直的，即g与平面Q垂直。

考虑平面Q上的一条直线h，它与g交于点I。

由于g与平面Q垂直，所以平面R上与I相交的一条直线j也与g垂直。

假设j与平面Q相交于点K，我们可以发现线段FK和线段IK是相互垂直的。

面面垂直的判定定理公式定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a⊂α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵b⊂β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β扩展资料：性质定理：定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α求证：OP⊥β。

证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β∴OP⊥β定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。

求证：AB⊂α证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。

（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）当A在α和β的交线外时，则B是垂足∵AB⊥β于B∴B∈β设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α连接AC∵AC⊂α∴AC⊥BC但AB⊥β，BC⊂β∴AB⊥BC即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。

当A在α和β的交线上时，A是垂足。

设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾∴假设不成立，AB⊂α定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。

面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。

当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。

本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。

一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。

二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。

设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。

也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。

3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。

设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。

4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。

5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。

设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。

6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。

由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。

总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。

本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。

对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。

面面垂直判定定理公式
面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，它是在平面几何中对于垂直关系的判定定理。

所谓面面垂直，就是指两个平面互相垂直，也可以说是两个面所成的角度为90度。

那么，面面垂直判定定理的公式是怎么样的呢？
在空间直角坐标系中，设有两个平面P1和P2，它们的方程分别为：
P1：Ax+By+Cz+D1=0
P2：Ax+By+Cz+D2=0
那么，P1和P2互相垂直的充分必要条件是A、B、C满足：
A1A2+B1B2+C1C2=0
其中，A1、A2分别是P1和P2的法向量在x轴上的分量，B1、B2分别是P1和P2的法向量在y轴上的分量，C1、C2分别是P1和P2的法向量在z轴上的分量。

以上就是面面垂直判定定理的公式，但只有知道公式是不够的，我们还需要了解如何应用这个定理来解决实际问题。

首先，我们可以通过观察两个平面的方程是否满足公式中的条件来判断它们是否垂直。

如果满足条件，那么两个平面就互相垂直。

其次，我们可以应用面面垂直判定定理来解决一些比较常见的几何问题，例如：求空间中一条直线与一个平面的垂线、求平行于某个面的平面、求两个平面的夹角等。

综上所述，面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，掌握它可以帮助我们解决很多几何问题。

因此，我们在学习数学时要认真理解这个定理的公式，并且多做一些练习题来加深对它的理解。

同时，我们还需要关注一些具体的应用场景，这样才能在实际问题中使用它更加得心应手。

面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理是解决几何问题中常用的数学原理之一。

在平面几何中，垂直是一个十分常见且重要的概念。

只有两条线段、
两条直线或者一条线段和一条直线互相垂直，才能称为“垂直”。

垂直的判定方法有很多种，其中比较常见的一个方法是通过面面垂
直的性质定理来判定。

根据该定理，如果两条直线相交，且其中一对
相邻的内角为直角，则这两条直线是垂直的。

这就是说，当两条直线
形成直角时，这两条直线就是垂直的。

除了直角之外，还有其他情况下可以判定两条直线是否垂直。

例如，如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线是互相垂直的。

这是垂直性质的一个重要推论，也是判定两条直线是否垂直的有效方法之一。

在解决几何问题时，我们经常需要判断两条直线或者线段是否垂直。

因此，掌握面面垂直的判定和性质定理是非常重要的。

通过熟练掌握
和应用这一原理，我们可以更加准确地解决几何问题，提高解题效率。

总之，面面垂直的判定和性质定理是解决几何问题中必不可少的数
学原理之一。

掌握这一原理，可以帮助我们更好地理解和解决与垂直
相关的几何问题，提高数学学习的效率和水平。

希望同学们在学习中
认真掌握这一原理，更加深入地理解几何学的知识，为提高数学成绩
打下坚实的基础。