【北师大版】数学八年级下册课件：第1章《角平分线》(2)ppt课件

O
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
DA PC
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的理由有三个，必须写
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE
完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，
八年级下册数学（北师版）
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
情景导入
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中
点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建
一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到
两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在
什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不
A P
B
C
D
两边距离相等的点在这个角的平分线上).
A
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 E
F
角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . B
D
C

例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
结论：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等.
O
A D
C
CB E
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.

C
过内心作三角形三边的垂线段都相等.
探究新知
拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的
角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？
A
A
A
B
C
B
C
B
C
猜想：三角形三个角的平分线相交于一点, 并且这一点到三条边的距离相等
怎么证明 结论呢？
探究新知
已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂 足分别是 D，E，F. 求证：∠ A 的平分线经过点 P，
∵
∠C=
90
°
，∴
∠B=
1 2
×90 °=45 ° .
∴ ∠BDE = 90 °- 45 °= 45 ° .
∴ BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = 2DE2 = 4 2 cm（勾股定理）. ∴ AC = BC = CD + BD =（4 + 4 2 ）cm.
探究新知
例：如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的 角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （2）求证：AB=AC+CD. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵ BE = DE = CD， ∴ AB = AE + BE = AC + CD.
直角和钝角的三 条角平分线也具 有同样的性质
探究新知
归纳总结
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
A
M D NP F

.
A C
M P
O
B D
∴OP平分∠. AOB.
知识点2. 角平分线的判定
归纳总结：
角平分线的判定： 定理 在一个角的内部，到角两边距离相 等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
如图，∵PC⊥. OA，PD⊥OB， PC=PD， ∴OM平分∠AOB.
这个定理也常 常作为判定角 平分线的定理.
A C
M P
完成练习册基础知识部分 作业，巩固角平分线的性 质和判定定理
完成练习册提高部分作 业，提高解题技巧
下节课的预习内容与要求
预习内容：三角形三个内角平分线的性质. 预习要求：会证明三角形三个内角平分线的性质
预习方法：阅读教材，完成课后习题，查阅相关资料
预习时间：下节课前完成预习，并做好笔记
我们曾经用折纸的方法探究了角平分线的性质，知道 角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明这个 结论吗？
反过来：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角
平分线上吗？
A
E
D
C
B F
知识点1.角平分线的性质
已知：如图，OM平. 分∠AOB，P是射 线OM上任意一点，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D.
.
求证：PC=PD.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质Байду номын сангаас
证. 明：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠P. CO=∠PDO=90°， ∵OM平分∠. AOB， ∴∠A. OP=∠BOP， 又∵PO. =PO，
.
.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质
归纳总结：
角平分线的性质： 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.

解：把公路和铁路看作两条直线， 画出它们所成角的平分线，在角的 平分线上从顶点截出表示实际长 400 m的线段，即可确定学校的位 置，如图1-4-23，图中的点P即为 所求． 表示实际长400 m的线段为 40 000÷12 500=3.2（cm）．
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-4-22，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.作 ∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图 痕迹，不要求写作法）.
=28x，
∴28x=84.
解得x=3. 故PD的长为3.
连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3.
1
1
1
∴S△ABC= 2 AB·OE+ 2 AC·OF+ 2 BC·OD
பைடு நூலகம்
=
12（AB+AC+BC）·3=
63 2
.
课堂讲练
模拟演练
3.如图1-4-26所示，在△ABC中，若点O是∠ABC,∠ACB的角
平分线的交点，且∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠OAB的
2
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°- ∠1 ABC- ∠1BAC
=90°+ 1 ∠ACB. 2
2
∵FO⊥OC2，∴∠FOC=90°.
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF= ∴∠BFO=90°+ 1∠ACB.
∠A12 CB，
2
∴∠AOB=∠BFO.
课后作业
8. 如图1-4-35，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7， BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E,F,D，求PD的长.