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平行四边形复习一对一讲义.docx

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~八年级下册章末复习 --- 平行四边形一、学习目标二、学习重难点三、本章知识结构图 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明 .重点： 性质与判定的运用； 难点： 证明过程的书写。

1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、、。

2．梯形（是否）特殊平行四边形，（是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括梯形和梯形。

4 、 本 章 学 过 的 四 边 形 中 ， 属 于 轴 对 称 图 形 的 有； 属 于 中 心 对 称 图 形 的有。

四、复习过程（一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1. 平行四边形的性质 ：AD（ 1）从边看：对边 ，对边 ； O（ 2）从角看：对角，邻角；（ 3）从对角线看：对角线互相 ； BC（ 4）从对称性看：平行四边形是 图形。

2、平行四边形的判定：（ 1）判定 1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（定义）（ 2）判定 2：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（ 3）判定 3：一组对边 且的四边形是平行四边形。

（ 4）判定 4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。

（ 5）判定 5：对角线互相 的四边形是平行四边形。

【 基础练习 】1. 已知 □ABCD 中，∠ B =70°，则∠ A =____，∠ C =____，∠ D =____．2. 已知 O 是 ABCD 的对角线的交点，AC=38 mm ， BD=24 mm, AD =14 mm ，那么△ BOC 的周长等于 ____.3. 如图 1，中，对角线 和 交于点 ，若 =8， =6，则边 AB 长的取值范围是（）.ABCD AC BDOACBDA.1 ＜ AB ＜7B.2 ＜AB ＜ 14C.6 ＜ AB ＜ 8D.3 ＜ AB ＜ 44. 不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（）A.AB=CD,AD=BCB.ABCDC.AB=CD,AD ∥ BCD.AB ∥ CD,AD ∥ BC5.在 ABCD 中， AE ⊥ BC 于 E ， AF ⊥ CD 于 F ， AE=4 ， AF=6 ，ABCD 的周长为 40，则ABCD 的面积是（ ）ADA 、 36B 、 48C 、 40D 、24【典型例题】BF例 1、若平行四边形E CABCD 的周长是 20cm,△ AOD 的周长比△ ABO 的周长大 6cm.求 AB,AD 的长 .AD~例 2、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边 AB 于 F ，∠ ADC 的平分线DG 交边 AB 于G。

（1）求证： AF=GB ；（ 2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由．【课堂练习】：1、如图，在△ABC中， AB=AC，点 D在 BC上， DE∥ AC， DF∥ AB，(1) 求证： FD=FC (2)若AC=6cm，试求四边形AEDF的周长。

2、已知： E、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AE=CF ，（ 1）试判断 BE、CF 的关系；（2）若 E、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 延长线上的两点，上述结论还成立吗？说明理由A DEFAE DB CBC F3、如图，四边形 ABCD为平行四边形， M,N 分别从 D 到从 B 到 C 运动，速度相同， E,F 分别从 A 到 B，从 C到 D运动，速度相同，它们之间用绳子连紧。

（ 1）没有出发时，这两条绳子有何关系？（ 2）若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论吗？为什么？A MDEFBN C（二）知识要点2：特殊平行四边形的性质与判定1．矩形：（ 1）性质：具有平行四边形的所有性质。

另外具有：四个角都是，对角线互相平分而且，也是图形。

（ 2）判定：从角出发：有个角是直角的平行四边形或有个角是直角的四边形。

从对角线出发：对角线的平行四边形或对角线且互相的四边形。

2．菱形：（ 1）性质：具有平行四边形的所有性质。

另外具有：~从边出发：一组边相等的平行四边形或有条边相等的四边形。

从对角线出发：对角线互相的平行四边形或对角线互相且的四边形。

3．正方形：（1）性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质（2）判定方法步骤：证明证明矩形证明A D四边形平行四边形正方形菱形OC【基础练习】B1、如图，矩形 ABCD的对角线 AC、 BD 交于点 O，∠ AOD=120 ，AC=12cm ，则 AB 的长 ____2、菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm，它的面积是 _____.3、若菱形的周长为16 cm ，一个内角为 60°，则菱形的面积为 ______cm2。

4、两直角边分别为12和 16 的直角三角形 ,斜边上的中线的长是。

5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．A. 两组对边分别相等B.两条对角线互相平分且相等C. 两条对角线相等且互相垂直D.两条对角线互相垂直平分6、在四边形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，增加一个条件可以判定四边形是矩形；增加一个条件可以判定四边形是菱形。

7、四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O，能判定它是正方形的是（） .A.AO＝ OC，OB＝ ODB.AO＝ BO＝ CO＝ DO，AC⊥BDC.AO＝ OC，OB＝ OD，AC⊥BDD.AO ＝ OC＝ OB＝ OD8、如图， E 是正方形 ABCD内一点，如果△ ABE 为等边三角形，则∠DCE=°.DAEB C 【典型例题】例 3：如图， BD ，BE 分别是∠ ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线， AE ⊥ BE ，AD ⊥ BD ， E， D 为垂足．求证：四边形 AEBD 是矩形．AE DP CB例4：正方形 ABCD 中，点 E、F 为对角线 BD 上两点， DE=BF 。

试解答：（ 1）四边形 AECF 是什么四边形？为什么？（ 2）若 EF=4cm ， DE=BF=2cm ，求四边形AECF 的周长。

D CEFA B~~~例 5：如图， 点 E 、F 在正方形 ABCD 的边 BC 、CD 上， BE=CF. AE 与 BF 相等吗？为什么？AE 与 BF 是否垂直？说明你的理由。

【课堂练习 】1、如图，矩形 ABCD 中( AD ＞ 2) ，以 BE 为折痕将△ ABE 向上翻折， 点 A 正好落在 DC 的 A ′点，若 AE =2，∠ABE =30°，则 BC =_________.2. 如图 2，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ ABC=45°，则点 D?的坐标为 ____．A DE1题图 2 题图F3、如右上图，正方形 ABCD 中，∠ DAF .25 ， AF 交对角线 BD 于点 E ，那么∠ BEC 等于4. 在△ ABC 中，AD ⊥ BC 于 D ，E 、F 分别是 AB 、AC 的中点， 连结 DE 、DF ，当△ ABC 满足条件 _________时，四边形 AEDF是菱形 ( 填写一个你认为恰当的条件即可).BC5、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD 、 BC 分别交于点 E 、 F ，试说明四边形 AFCE 是菱形 .AEDOBF C6、如图， 分别以△ ABC 的边 AB ，AC 为一边向外画正方形 AEDB 和正方形 ACFG ，连接 CE ，BG. 试判断 CE 、BG的关系 .EGDAFBC练习题：1. 平行四边形ABCD的周长 32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为（）A.6<AC<10B.6<AC<16C.10<AC<16D.4<AC<162. 如图，将一块边长为12 的正方形纸片ABCD的顶点 A 折叠至 DC边上的点E，使 DE=5，这痕为 PQ，则 PQ的长为（）A.12B.13C.14D.153.在 ABC中 D、K 分别是 AB、AC的中点，延长 DE到 F，使 EF=DE，若 AB=10，BC=8，则四边形 BCFD是四边形，其周长等于4.如图，在平行四边形°ABCD的周长ABCD中， AM⊥ BC于 M， AN⊥CD于 N，∠ MAN=45，且 AM+AN=20，则平行四边形是5. 如图先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点 A 与坐标系的原点重合，边AB、 AD分别落在 x 轴、 y 轴上（如图①所示）， ?再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若 AB=4， BC=3，则图①中点B 的坐标为 _________，点 C 的坐标为 ________; 图②中，点 B 的坐标为 _________，点 C的坐标为 ________．6.如图，四边形 ABCD是矩形，△ EAD是等腰直角三角形，△ EBC是等边三角形 . 已知 AE=DE=2，求 AB的长 .7.如图， ABCD是矩形，把矩形沿直线 AC折叠，点 B 落在 E 处，连接 DE,从 E 作 EH⊥ AC交 AC于 H.（1）判断四边形 ACED是什么图形，并加以证明；（ 2）若 AB=8， AD=6，求 DE的长；（3）四边形 ACED中，比较 AE＋ EC与 AC＋ EH的大小并说明理由。

8. 如图 , 在 Rt △ ABC中 , ∠ C=90° ,D 、E分别是边AC、AB 的中点 , 过点 B 作 BF⊥ DE,交线段 DE的延长线于为点F, 过点C作 CG⊥ AB，交 BF于点 G，AC=2BC.求证：（ 1）四边形BCDF是正方形；（ 2） AB=2CG．9.已知 : 如图 , 矩形 ABCD,P为矩形外一点，PA PC . 求证： PB PD .10.已知：如图， E、F 为△ ABC的边 AB、 BC的中点，在 AC 上取 G、 H 两点，使 AG=GH=HC，连结 EG、FH，并延长交于 D 点。

求证：四边形 ABCD是平行四边形。

11. 如图正方形ABCD中， E 为 AD边上的中点，过A 作 AF⊥ BE，交 CD边于 F， M是 AD边上一点，且有BM=DM＋ CD．⑴求证：点 F 是 CD边的中点；⑵求证：∠ MBC＝2∠ ABE．12. 如图， M为正方形ABCD内一点， MA=2， MB=4，∠ AMB=135°，计算MC的长。

13. 如图，已知：正方形ABCD， BE∥ AC，且 AE=AC交 BC于 F, 求证 CF=CE.~14. 已知：如图，在△ABC中,AB=AC，延长 AB到 D，使 BD=AB， CE是 AB边上的中线。

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平行四边形总复习讲义

平行四边形总复习讲义

平行四边形【知识梳理】平行四边形是由三角形绕其一边的中点旋转180°而成的中心对称图形。

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD。

如图：（2）平行四边形的性质：（证明）①平行四边形的对边；②平行四边形的对边；③平行四边形的对角；④平行四边形的对角题型一、填空题：【例题精讲】1、如图1，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于.2、如图2，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB=，AD=．3、如图3，平行四边形ABCD的周长是36，且AB：BC=5：4，对角线AC、BD相交于点O，且BD⊥AD，则BD=，AC=．4、已知平行四边形的面积为4，O为两条对角线的交点，那么△AOB的面积为.5、在平面直角坐标系内，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D坐标为.6、如图6，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为．7、如图7，平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠BNE=.8、如图8，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=.9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．【课堂练习】1、如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）A．S□ABCD=4S△AOB B． AC=BDC．AC⊥BD D．?ABCD是轴对称图形2、如图2，在□ABCD 中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB=5，AD=4，OF=1.8，那么四边形BCFE的周长为 ( )A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.63、如图3，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE AB于E，PF AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值为 ( )A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5题型二：解答题【知识梳理】平行四边形判定（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

八年级数学《平行四边形》章节复习讲义.docx

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知识点一：平行四边形1.平行四边形与特殊的平•行四边形的关系: 用集合表示为：3.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半平行四边形典型例题【例1】（2020秋•灌云县期中）如图，在四边形如％中，ZABC= ZA£>C=9Q° , M、0分别是"、刃的中点，试说明:(1)(2) MNLBD.【例2】（8分）（2019春•镇江期中）如图，点。

是△如C内一点,连接依OC,线段如、OB、OC、血'的中点分别为〃、E、F、G.（1）判断四边形妙。

的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，做 =2, ZOBC若"OCB互余,求线段及?的长.【例3】（8分）（2020秋•青岛期中）已知：在△4?。

中，CB=CA,点D、E分别是0、如'的中点，连接费并延长交外角伽的平分线GV与点F.（1）求证：AD=CF\（2）连接。

2, AF,当△/庞满足什么条件时，四边形成为正方形？请证明你的结论.变式训练1.（8分）（2020春•武汉期中）如图，在菱形4?%中，AB=6, ZDAB=60°，点E是』〃边的中点，点M 是』3边上一动点（不与点/重合），延长％交射线⑦于点川连接姒，AN.（1）求证：四边形4切V是平行四边形；（2）填空：①当欲的值为时，四边形/姒V是矩形；②当此的值为时，四边形仙如是菱形.2.（10分）（2020春•江阴市期中）如图，在长方形曲，中，AB=4an, BE=5an,点，是也边上的一点，AE,座分别长am、bcm,满足（a-3）2+12a+Z? - 91 =0.动点夕从3点出发，以2c冰s的速度沿BT—D运动，最终到达点D.设运动时间为ts.(1)a= 3 cm, b~— 3 cm\(2):为何值时，/把四边形庞班'的周长平分？(3)另有一点0从点万出发，按照E-AC的路径运动，且速度为lc0/s,若R 0两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.求匕为何值时，△胪。

龙文一对一四边形综合复习讲义

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四边形综合知识点：一、平行四边形1、平行四边形（1）平行四边形定义：（2）平行四边形的性质：①②③④对称性（3）平行四边形的判定：①②③④2、菱形（1）菱形定义：（2）菱形的性质：①②③④对称性菱形的面积=（3）菱形的判定：①②③3、矩形（1）矩形定义：（2）矩形的性质：①②③④对称性（3）矩形的判定：①②③4、正方形（1）正方形定义：（2）正方形的性质：①②③④对称性（3）正方形的判定：①②③④二、梯形梯形的分类：（1）等腰梯形定义：（2）等腰梯形性质：①②③④对称性（3）等腰梯形的判定：①GF EDC BAH GF ED C B A② ③ 例题解析：例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。

其中正确的是（ ） （A ）①②.（B ）①②③.（C ）②③④ （D ）①②③④。

例2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3、如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定．．是．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2满．足．怎样的条件？例4、如图所示, ABCD 中,AE,AF 是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE 交AF 于G. (1)求 ABCD 的面积;(2)求△ECD 的面积;(3)求证:△AEG 为等边三角形.例5、矩形ABCD 中，AB =2，AD =3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明； （2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：点B 平分线段AF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．例6、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式例7、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ． (1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，求证：OF=12BE ．A B C P D E例8、如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

证明 平行四边形复习讲义

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北师大版数学九年级上第三章、证明（三）-平行四边形、梯形复习讲义一、要点概况1、平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。

平行四边形是 对称图形，其对称中心是 。

2、平行四边形的特征（性质定理及推论） （1）性质1：平行四边形的对边平行且相等。

（2）性质2：平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）性质3：平行四边形的对角线互相平分。

（4）推论1：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

（5）推论2：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积。

（6）推论3： 夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的识别（判定定理及推论）（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形。

5、等腰梯形的性质定理：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等； （2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等． 6、等腰梯形的判定定理：（1）在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形。

（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（3）两条腰相等的梯形是等腰梯形．6、等腰梯形的推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

7、梯形的中位线：（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b ）÷2 S=L×h8、梯形常见辅助线的作法：作法图形延长两腰，转化为三角形ABCD E平移一腰，转化为三角形、平行四边形ABCD E作高，转化为两直角三角形和一矩形(ABCD E F平移一对角线，转化为三角形、平行四边形ABCDE倍长中线，构造全等三角形1ABCD EF倍长中线，构造全等三角形2梯形内平移两腰,转化为两个平行四边形和一三角形作中位线（两腰的中点的连线）二、典例精讲及变式训练（一）平行四边形中命题的判断例1：下列说法中，错误的是（ ）A 、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B 、 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C 、 四个角都相等的四边形是矩形D 、邻边相等的矩形是正方形变式训练1：如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ②④D.③④ ABCDE M N O（二）平行四边形性质的运用与考查例2：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是。