椭圆练习题1

1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 32．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．203．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则该椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 4．若椭圆x 29＋y 24＋k＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或215．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．46．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 216＝1C.x 236＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝1 7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.238．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－3 C.5－2 D.6－ 39．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.1310．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 311．已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22)12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 13．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________．14．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．16． 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．17．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________． 18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D 解∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝432．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D 解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则该椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 答案 D 解析 ∵2a ＝12，c a ＝13，∴a ＝6，c ＝2，b 2＝32.∴椭圆的方程为x 236＋y 232＝1. 4．若椭圆x 29＋y 24＋k＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21答案 C 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k.由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5.由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.5．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4答案 A 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m ，b ＝1.∴1m ＝2，∴m ＝14. 6．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 216＝1C.x 236＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝1 答案 B 解析 设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F(－25，0)，得c ＝2 5.由|OP|＝|OF|＝|OF 1|，知PF 1⊥PF.在Rt △PFF 1中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23答案 B 解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m.∵e 2＝c 2a 2＝2－m 2＝14.∴m ＝32.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－3 C.5－2 D.6－ 3答案 D 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝ca ＝6－39．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.13答案 C 解析 由题意知，直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为(－c ，－22c)，(c ，22c)，代入椭圆得c 2a 2＋c 22b 2＝1，两边同乘2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2.因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，所以c 2a 2＝2或12.又因为0<e<1，所以e ＝c a ＝22，故应选C.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 3答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2ab ＝4，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.周长为4a ＝8.11．已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22)答案 C 解析 由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c ，由|OA|>b ，即c>b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e<1.故选C.12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.13．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________．答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a)＝22，解得a ＝8.14．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．答案 43解析 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A(x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 02＋2y 02＝3x 02，解得x 02＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 02＝43.15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案 33 解析 方法一：∵|F 1F 2|＝2c ，MF 1⊥x 轴，∴|MF 1|＝233c ，|MF 2|＝433 c. ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝23c.∴e ＝2c 2a ＝33.方法二：由F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝b 2a ，∵|F 1F 2||MF 1|＝3，∴2cb 2a ＝ 3.∵b 2＝a 2－c 2，∴2ac a 2－c 2＝3，即2e 1－e2＝ 3.解得e ＝－3(舍)，e ＝33.16． 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________． 答案 43解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.17．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 [13，1)解析 设P(x ，y)，则|PF 2|＝a －ex ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则|PF 2|＝|F 1F 2|，∴a －ex ＝2c ，∴x ＝a －2c e ＝a （a －2c ）c .∵－a ≤x ≤a ，∴a （a －2c ）c ≤a ，∴c a ≥13，∴13≤e<1.故椭圆C 的离心率的取值范围是[13，1)．18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c. 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.2020届高三数学精准培优专练十七：椭圆（一）2019届高三数学精准培优专练十七：椭圆（一） (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.答案 (1)12 (2)a ＝7，b ＝27解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac. 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a ＝4，即b 2＝4a.① 由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|.设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.。

椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。

椭圆一题二十问设经过点)0,1(F 直线l 与椭圆1222=+y x 交于B A 、两点，（1）是否存在直线l ，使点F 恰好为AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程。

（2）是否存在直线l ，使324=AB ？若存在，求出直线l 的方程。

（3）求三角形AOB ∆的面积AOB S ∆的最大值（4）求OB OA ⋅的取值范围（5）求直线l ，使以AB 为直径的圆经过原点O（6）设左焦点为1F ，若以AB 为直径的圆恰好过点1F ，求直线AB 的方程 （7）若OB OA OM +=,是否存在直线l 使点M 恰好落在该椭圆上 （8）求以OB OA 、为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 的轨迹方程 （9）求三角形AOB 重心的轨迹方程 （10）若FB AF 2=,求直线l 的方程。

（改编：若FB AF 2=,求直线l 的方程。

）（11）设)31,0(C ，当BC AC =时，求直线l 的方程。

（12）当直线l 的斜率为1时，以AB 的一边作正三角形ABD ,求顶点D 的坐标。

（13）若点P 在直线2=x 上的一点，是否存在直线l ，使得PAB ∆为正三角形？若存在,求直线l 的方程。

（14）若点P 在直线2=x 上的一点，是否存在直线l ，使得PB AP ⊥成立？ 若存在,求直线l 的方程。

（15）设B '与B 关于x 轴对称，求证：B A '过定点。

（16）若过椭圆中心O 的弦MN 与AB 平行，求证：AB MN 2为定值 （17）若AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围． （18）若椭圆上点)3132(，P ，过点)0,3(G 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． 证明:PN PM k k +为定值． (19)已知点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线21A A ，为椭圆的左右顶点， S A S A 21,与直线3:-=x l 分别交于M,N 两点,求线段MN 长度的最小值； (20)若324=AB 时，在椭圆C 上的T 满足：TAB ∆的面积为32, 确定点T 个数。

定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2 F 1
M
图 形
F 1
o
F2 x
o
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2 x 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 2 焦点在y轴的椭圆 y 项分母较大.
小菜一碟
练习1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？
x2 y2 (1) 1 16 16
迹为（ B ）
A. 椭圆 C. 直线 F1F2 B. 线段F1F2 D. 不存在
已知椭圆有这样的光 学性质：从椭圆的一 个焦点出发的光线， 经椭圆反射后，反射 光线经过椭圆的另一 个焦点。
小结：求椭圆标准方程
1.待定系数法
焦点在x轴上 焦点在y轴上
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且CF1=2,则CF2=___. 8
2 2 变式： 若椭圆的方程为 16x 9 y 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、若动点P到两定点 F ( － 4,0) ， 1
F2 (4,0)的距离之和为8，则动点P的轨
2 2
y2
x2
1
16
12