勾股数的探索

探究：关于勾股定理的证明的那点事在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。

数学公式中常写作a2+b2=c2勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。

据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。

我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。

”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。

例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

勾股数组的通式：a=m^2-n^2b=2mnc=m^2+n^2(m>n,m,n为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。

勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。

勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。

探究勾股定理蕴含的秘密勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。

然而，除了其实用性以外，这个定理蕴含了一些深层的秘密。

本文将探究勾股定理所蕴含的三个秘密，以期更深入地了解这一经典定理。

一、几何之美：勾股定理的视觉享受通过勾股定理，我们可以推导出各种美妙的几何关系和性质。

首先，让我们先来感受一下勾股定理的几何之美。

1. 直角三角形的推演勾股定理表达了直角三角形中三条边之间的关系。

假设三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。

则根据勾股定理，有：c^2 = a^2 + b^2直角三角形的几何之美在于它的斜边恰好可以表达为两个直角边的平方和的开平方。

这种简洁而优美的表达方式让人赞叹几何学的奇妙。

2. 勾股数的兴趣勾股定理不仅仅局限于直角三角形，还与整数集合之间的关系产生了有趣的联系。

我们将满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。

例如，3、4、5就是最小的一组勾股数。

通过勾股定理，我们可以得到无穷多组勾股数。

例如，5、12、13也是一组勾股数。

这种数学的奇迹使得勾股定理蕴含了数学中的宝藏，供我们去探索。

二、数学之美：勾股定理的数学奥秘勾股定理所蕴含的秘密不仅仅是几何学上的，还深藏于数学的奥秘之中。

在这一部分，我们将进一步探究勾股定理的数学之美。

1. 勾股定理的代数证明勾股定理可以通过代数方法进行证明。

例如，我们可以利用平方差公式，将直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方进行对比，从而证明勾股定理的成立。

这种代数证明方法揭示了勾股定理背后的数学结构和规律，让我们以另一种方式欣赏到数学之美。

2. 勾股定理的数论特性勾股定理还涉及到数论领域的研究。

例如，根据勾股定理，我们可以得知一个奇数的平方必定是奇数，偶数的平方必定是偶数。

这个特性在数论中具有重要影响。

勾股定理的数论特性表明了数学中隐藏的神秘性，引发了人们对数学规律和性质的好奇。

三、哲学之美：勾股定理的深层意义最后，勾股定理所蕴藏的秘密也折射出了哲学上的深层意义。

勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。

如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。

下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。

对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。

关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。

《周札》卷十《地官。

大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。

而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。

”两者何其相似。

曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。

至今河南登封县还有周代观景台遗址。

《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。

《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。

光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。

夫子之道，皆能知之。

”可见陈子也是精通天文历算的学者。

顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。

其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

教学内容探寻“勾股数”教学目标知识与能力1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数过程与方法2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律情感与态度3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣教学重点勾股数的特征教学难点利用勾股数特征构造勾股数教具学具多媒体课件白板教学过程教师活动学生活动设计意图一、数学史，引入新课一、勾股定理史中国古代勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫勾，长者叫股）平方的和．”约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股定理，不少人把该定理称之为商高定理．国外在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。

阅读PPT，感受勾股定理。

生活中蕴藏着很多有趣的知识，从中外数学史引入，鼓励学生善于观察，激发探索学习的乐趣。

二、数学活动探索1.活动引入满足关系的3个正整数，问题：1.勾股数有多少？2.请尽可能多地写出来。

3.勾股数有规律吗？齐答勾股数概念学生随机作答，并展出，问题3进行探索。

回顾勾股数概念三个问题，逐层递进，引出本节课的研究内容勾股数特征。

二. 师生互动探索研究2.活动1设是一组勾股数将学生所写的勾股数随机选取，放在屏幕上。

为了便于研究勾股数，相同整数倍的勾股数，研究时只选择最小的那一组，下面来选取合适的勾股数。

提问：请观察勾股数组，有何发现？活动2设是一组勾股数，填表表1表2规律一表1，a为奇数，正整数b,c之间的关系：b=c-1a,b,c之间的关系：a2＝b＋c规律二学生组内分析，提出探索方法。

数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案一、教材分析本教案根据苏科版八年级数学上册的教学内容编写而成，教学内容顺序为：数列基本概念 -> 数列的通项公式 -> 数列求和 -> 勾股数。

其中，勾股数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中的经典问题之一。

勾股数是指一个直角三角形的两条直角边的长度都是整数，斜边的长度也是整数。

例如，3、4、5就是一组勾股数，因为32+42=52。

二、教学目标1.了解数列基本概念。

2.掌握数列的通项公式和求和公式。

3.了解勾股数的概念和特点。

4.能够寻找勾股数并进行验证。

5.通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法。

三、教学内容和方法1. 数列基本概念学生通过对数列的定义和数列的表示方法的学习，掌握数列的基本概念。

通过课堂上的讨论，帮助学生理解数列的概念。

方法：课堂讨论。

2. 数列的通项公式和求和公式学生通过重点讲解数列的通项公式和求和公式的推导和运用，深入理解数列的数字规律及其推导方法。

方法：通过讲解和分组实践。

3. 勾股数的探索学生在学习勾股数前，先探究一下最小的勾股数构成的三角形是什么样子的，以此引导学生理解勾股数的基本概念。

方法：小组讨论，展示自己构造的勾股数三角形并进行验证。

4. 勾股数的性质学生通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法，并能发现勾股数之间的一些关系。

方法：教师提出问题，学生通过小组合作解决，然后在课堂上进行讨论。

四、教学流程1. 数列基本概念•通过例题引出数列的概念。

•介绍等差数列、等比数列等常见数列。

•提出数列的表示方式。

2. 数列的通项公式和求和公式•以等差数列为例，引出通项公式、求和公式的定义和公式表达。

•通过推导过程介绍通项公式、求和公式的使用方法。

•分组实践中让学生自己尝试推导一些简单的数列通项公式和求和公式。

3. 勾股数的探索•提出勾股数的概念，并引出最小的勾股数。

•学生通过小组讨论，构造出最小勾股数组成的三角形。

勾股定理-探索勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．补充：平方数例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．例2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个举一反三：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算 3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是c b a ,,，若3=a ，4=b ，则 2c =要点二、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等注：勾股数的任意正数倍仍然满足勾股定理例1: 在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________要点三、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．例1、阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．要点四、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边例1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．例2．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8D．10举一反三：1．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=8，BC=5，DB=3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．2.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长2.与勾股定理有关的面积计算例1．我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方形，那么S1+S2=S3．如图，如果以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边向外作等边三角形呢？例2．求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．例3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．变式练习：1．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）2.如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．643.如图，带阴影的长方形面积是（）A．9cm2B．24cm2 C．45cm2 D．51cm24．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=100，S=64，则中间的正方形的面积S3为（）2A.36B.60C.24D.485.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S =8，S4=10，则S=（）3A.25B.31C.32D.403.勾股定理在实际生活中的应用．例1.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根1 2米处．大树在折断之前高多少？例2.台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？例3．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．举一反三：1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．2.如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m．求两竹竿顶端间的距离AD．3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断以前有多少米？。