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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.2．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.3．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2.二、教材衍化1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离答案：B2．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ． 答案：103．两圆x 2＋y 2－2y ＝0与x 2＋y 2－4＝0的位置关系是 ． 答案：内切一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√二、易错纠偏常见误区(1)忽视分两圆内切与外切两种情形； (2)忽视切线斜率k 不存在的情形．1．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则常数a ＝ ． 详细分析：两圆的圆心距d ＝（－4）2＋a 2，由两圆相切(外切或内切)，得（－4）2＋a 2＝5＋1或（－4）2＋a 2＝5－1，解得a ＝±25或a ＝0.答案：±25或02．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3，1)作圆C 的切线，则切线方程为 ． 详细分析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0直线与圆的位置关系(典例迁移)(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(一题多解)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是 ． (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．2法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，k2＋1直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2>1，解得k∈(－3，3)．k2＋1【答案】(1)B(2)k∈(－3，3)【迁移探究】(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1＝1，a2＋b2则直线与圆O相切．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．(2020·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定，与a ，b 取值有关详细分析：选 B.将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22.因为圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切．故选B.切线与圆的综合问题(多维探究)角度一 圆的切线问题(1)2020·宁夏银川一中一模)与3x ＋4y＝0垂直，且与圆(x －1)2＋y 2＝4相切的一条直线是( )A ．4x －3y ＝6B ．4x －3y ＝－6C ．4x ＋3y ＝6D ．4x ＋3y ＝－6(2)(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝ ，r ＝ ．(1)设与直线3x ＋4y ＝0垂直的直线方程为l ：4x －3y ＋m ＝0， 直线l与圆(x －1)2＋y 2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l 的距离为半径2，即|4＋m |5＝2，所以m ＝6或m ＝－14，所以4x －3y ＋6＝0，或4x －3y －14＝0，结合选项可知B 正确，故选B.(2)法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.【答案】 (1)B (2)－25圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意]求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．角度二圆的弦长问题(1)(一题多解)(2020·安徽合肥调研)已知直线l ：x ＋y －5＝0与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r ＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为( )A. 3 B ．1 C.12D ．33(1)法一：圆C 的圆心为(2，1)，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋1－5|12＋12＝2，又弦长为22，所以2r 2－d 2＝22，所以r ＝2，故选B.法二：联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，（x －2）2＋（y －1）2＝r 2，整理得2x 2－12x ＋20－r 2＝0，设直线与圆的两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝20－r 22，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×36－2（20－r 2）＝22，解得r ＝2.(2)圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2，圆心到直线l 1：y ＝3x 的距离d 1＝232＝3，所以l1被圆C所截得的弦长为24－3＝2.圆心到直线l2的距离d2＝|2k－1|k2＋1，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝24－d22，所以d2＝0.所以2k－1＝0，解得k＝12，故选C.【答案】(1)B(2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2；(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.1．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0详细分析：选A.设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，由直线与圆相切，得d ＝|c |5＝5，c ＝±5，所以所求方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2．(2020·河南驻马店质检)已知a ∈R 且为常数，圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0，过圆C 内一点(1，2)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．当∠ACB 最小时，直线l 的方程为2x －y ＝0，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5详细分析：选B.圆的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －a )2＝1＋a 2，圆心为C (－1，a )，当弦AB 最短时，∠ACB 最小，此时圆心C 与定点(1，2)的连线和直线2x －y ＝0垂直，所以a －2－1－1×2＝－1，解得a ＝3.3．(2020·陕西咸阳模拟)若点P (1，1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0中弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为 ，|AB |＝ ．详细分析：圆x 2＋y 2－6x ＝0的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.又因为点P (1，1)为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P 所在直线的斜率为1－01－3＝－12，故弦AB 所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d ＝5，圆的半径r＝3，则|AB|＝2r2－d2＝4.答案：2x－y－1＝0 4圆与圆的位置关系(师生共研)(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是() A．内切B．相交C．外切D．相离(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．(2)由(x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1)－(x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1)＝0得弦AB 所在直线方程为2x －y ＝0. 圆C 2的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝1. 圆心C 2到直线AB 的距离 d ＝|2×（－1）－（－1）|5＝15 .所以|AB |＝2r 22－d 2＝21－15＝455. 【答案】 (1)B (2)455(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为() A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定详细分析：选C.由圆心C1(m，－2)，r1＝3；圆心C2(－1，m)，r2＝2；则两圆心之间的距离为|C1C2|＝（m＋1）2＋（－2－m）2＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.2．(2020·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为，圆C被x轴截得的弦长为．详细分析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝08核心素养系列17 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20由已知，圆心为O (0，0)，半径为2.设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE ⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连接OM ，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，所以S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5，当且仅当d1＝d2时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为5.【答案】 A直线与圆综合问题的求法(1)圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.(2)圆与直线l相交的情形①圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．1．(2020·芜湖模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4详细分析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．2．P 在直线l ：x ＋y ＝2上，过P 作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则四边形OAPB 面积的最小值为 ．详细分析：连接OP ，OA ，OB ， 则S 四边形OAPB ＝|OA |·|P A |＝|OA |·|OP |2－|OA |2＝|OP |2－1.而|OP |的最小值为|OP |min ＝212＋12＝2，所以(S 四边形OAPB )min ＝1. 答案：1[基础题组练]1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切详细分析：选B.圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2，所以两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<d <r 1＋r 2，所以两圆相交．2．(2020·陕西榆林二校联考)圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y －3＝0所得弦长为2，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4详细分析：选D.由题知，圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－a ，所以圆心为(－2，1)，半径为5－a ，又圆心到直线的距离为|－2＋1－3|2＝22，所以2（5－a ）2－（22）2＝2，解得a ＝－4.3．(2020·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16详细分析：选B.直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by ＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.4．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}详细分析：选 C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．5．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个详细分析：选C.圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．26．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为．详细分析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2， 解得k ＝33.所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 答案：x －3y ＋2＝07．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝ ．详细分析：由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A (－4，－1)．所以|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.所以|AB |＝6.答案：68．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为 ．详细分析：因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 答案：45π 9．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)过切点A (4，－1)；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直．解：(1)因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.10．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2，化简， 得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C (1，－2)，半径|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x . 综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.[综合题组练]1．(2020·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8 详细分析：选B.连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55，所以在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，所以|AB |＝2|AC |＝4.2．(2020·江西南昌NCS 项目第一次模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：“|x |＋|y |2≤1”，q ：“x 2＋y 2≤r 2”，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，255 B ．(0，1]C.⎣⎡⎭⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)详细分析：选A.如图，“|x |＋|y |2≤1”表示的平面区域为平行四边形ABCD 及其内部，“x 2＋y 2≤r 2”表示圆及其内部，易知圆心O (0，0)到直线AD ：2x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2|22＋12＝255，由p 是q 的必要不充分条件，得0<r ≤255，故选A.3．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165. 4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解：(1)将圆C 的方程配方得(x －1)2＋(y －2)2＝2，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx (k ≠0)， 由直线与圆相切得|k －2|k 2＋1＝2，解得k ＝－2±6， 所以切线方程为y ＝(－2＋6)x 或y ＝(－2－6)x .当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得|1＋2－a |2＝2，解得a ＝1或a ＝5，所以切线方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －5＝0.综上，所求的切线方程为y ＝(－2＋6)x 或y ＝(－2－6)x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －5＝0.(2)由|PM |＝|PO |得(x 1－1)2＋(y 1－2)2－2＝x 21＋y 21，即2x 1＋4y 1－3＝0，即点P 在直线l ：2x ＋4y －3＝0上，所以|PM |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722＋422－2＝3510.。
