重点高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品)

.抛物线的简单几何性质【教学目标】1.记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；2.会简单应用抛物线的几何性质；3.强化数形结合的思想. 【重点难点】抛物线的几种不同状态下的标准方程的几何性质和应用. 【教学过程】 〔一〕复习：〔1〕抛物线的四种标准方程； 〔2〕基本量p 的几何意义. 〔二〕新课讲解：说明：〔1〕通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径.〔2〕抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线. 例1．抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程，并用描点法画出图形．解：∵抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，所以设它的标准方程为22(0)y px p =>．∵点M 在抛物线上，所以2(22p -=⋅，即2p =．∴所求方程是24y x =．〔图略〕例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分〔图〔1〕〕，光源位于抛物线的焦点处。

灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置．.图〔1〕 图〔2〕解：如图〔2〕，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点〔即抛物线的顶点〕与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是22(0)y px p =>． 由条件可知点(40,30)A ，代入方程，得454p =． ∴所求抛物线的标准方程是2452y x =，焦点坐标是45(,0)8． 例3．假设抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．解：设抛物线方程22y px =±或者22x py =±(0)p >，∵通径长27p =，∴所求抛物线方程27y x =±或者27x y =±．例4．点P 、Q 是抛物线22y mx =上两点，PQ 垂直于这条抛物线的对称轴，且||5OP =，O 为坐标原点，||6PQ =，求m 的值．解：由抛物线的对称性可知，点P 、Q 是抛物线上关于对称轴x 轴对称的两点．∵||6PQ =，∴可设点(,3)P x ，(,3)Q x -， 又∵||5OP =，∴2925x +=，于是得4x =±． ∴抛物线过点(4,3)±，代入22y mx =得：98m =±． 五．课堂小结：抛物线的几何性质.〔对称性、范围、顶点、离心率〕六．课后作业：书P123,1、2、4、5 题xyoAB抛物线的简单几何性质【教学目标】1.灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2.会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；3.会证明抛物线的简单几何性质。

高中数学抛物线课件高中数学抛物线课件教学目标1.抛物线的定义2.抛物线的四种标准方程形式及其对应焦点和准线教学重难点教学重点：1.抛物线的定义和焦点与准线2.抛物线的四种标准形式，以及p的意义。

教学难点：抛物线的四种图形，标准方程的推导及其焦点坐标和准线方程。

教学过程一、知识回顾：二次函数中抛物线的图象特征是什么?(平行于y轴，开口向上或者向下)如果抛物线不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了，今天我们来突破研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线。

二、课堂新授：(讲解抛物线的作图方法)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l ，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合。

结合表格完成下列例题：1. 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的`焦点坐标和准线方程。

2. 已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2),求它的标准方程。

解：1.∵抛物线的方程是 y2=6x,∴p=3∴焦点坐标是(，0)，准线方程是x=-2.∵焦点在y轴的负半轴上，且，∴p=4∴所求的抛物线标准方程是 x2=-8y。

三、随堂练习：1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：四、课堂小结：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定的p的一个条件就可以求出抛物线的标准方称。

当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就可以唯一的确定下来。

五、课后作业：P119 习题8.5 2、4。

抛物线的标准方程知识要点：1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

2. 标准方程①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。

②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。

（1）范围。

x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。

（2）对称性。

关于x轴对称。

（对称轴与准线垂直）（3）顶点。

对称轴与抛物线的交点。

（4）离心率。

同椭圆、双曲线离心率定义。

e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。

4. 几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。

（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2 （p>0）（3）焦半径公式：（4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1 截得的弦长为，求抛物线方程：例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围.(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是( )A.x=B.x=C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )A.0B.1C.2D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4B.8C.16D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是.7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是.8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，则y1y2=.三、解答题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是( )A.｜x 0-｜B.｜x 0+｜C.｜x 0-m ｜D.｜x 0+m ｜2.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点在 抛物线的准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.60°C.90°D. °1203.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线，交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) 两点，若x 1+x 2=6，则｜AB ｜等于( )A.4B.6C.8D.104.动点P 在曲线y=2x 2+1上移动，则点P 和定点A(0，-1)连线的中点 的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=4x 2C.y=6x 2D.y=8x5.F 是抛物线y 2=2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A(3，1)是定点， 则｜PF ｜+｜PA ｜的最小值是( )A.2B.C.3D.二、填空题6.若(4，m)是抛物线y 2=2px 上的一点，F 是抛物线的焦点，且｜PF ｜=5,则抛物线的方程是 .7.抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点F 的距离之和是5，则线段AB 的 中点M 的横坐标是.8.若抛物线y 2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则 m 的值是.三、解答题9.已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1、F 2，抛物线y 2=px(p ＞0)与椭圆在第 一象限的交点为Q ，若∠F 1QF 2=60°，(1)求△F 1QF 2的面积；(2)求此抛 物线的方程.10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.AAA级一、选择题1.抛物线y=2ax2 (a≠0)的焦点坐标是( )A.( ,0)B.(0, )C.(,0) D.(0, )2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为( )A.B.1C.2D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )A.(，)B.(1，1)C.(，)D. (2，4)4.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )A.1B.C.2D.25.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则｜PQ｜的最小值等于( )A. -1B.-1C.2D. (-2)二、填空题6.已知抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m= ,n= .7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离｜PF｜=；8.定点A(3，2)是抛物线y 2=2px(p ＞0)内部的一点，F 是抛物线的焦 点，点Q 在抛物线上移动，已知｜AQ ｜+｜QF ｜的最小值为4，则P= 三.、解答题9.设抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 交x 轴于点R ，过P 、Q 分别作x 轴的 垂线，垂足分别为M 、N ，求证：｜OR ｜是｜OM ｜和｜ON ｜的等比中项.10.设抛物线C：y2=2px(p＞0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴)，F 为焦点，且｜AF｜+｜BF｜=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6，0).(1)求抛物线C的方程；(2)求△AQB的面积最大值.。

案例(二)——精析精练 课堂 合作 探究重点难点突破知识点 抛物线的几何性质(1)范围:因为0>p ，将方程()022>=p px y 变为py x 22=，知0≥x ，由此可知，抛物线()022>=p px y 上的点在y 轴上或在y 轴的右侧(不可能在y 轴的左侧)，当x 增大时，y 也随之增大，开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。

(2)对称性将抛物线()022>=p px y 中的y 用—y 代替，方程不变，说明抛物线()022>=p px y 关于x 轴对称(结合图形也可看出)。

抛物线的对称轴也叫做拋物线的轴。

(3)顶点在方程()022>=p px y 中，令0=y ，得0=x ，(0，0)点是抛物线px y 2=与它的对称轴(即x 轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

由此可见，抛物线()022>=p px y 的顶点是坐标原点(0，0)。

(4)离心率和开口方向①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，仍用e 表示。

由抛物线的定义易知抛物线的离心率1=e 。

利用1=e 可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，将距离只用点的横坐标(或纵坐标)来表示，使问题得以简化。

②抛物线的开口方向:拋物线()022>=p px y 开口向右；()022>-=p px y 开口向左；()022>=p py x 开口向上；()022>-=p py x 开口向下。

③抛物线的开口大小：在抛物线()022>=p px y 中，对于同一个x 值，p 越大，y 也越大，也就是说抛物线的开口也越大。

④给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。

看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。

2.4.2 抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质.(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点)[基础·初探]教材整理1抛物线的几何性质阅读教材P68“思考”以下～“例3”以上部分内容，完成下列问题. 标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点⎝⎛⎭⎪⎫p2，0⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0⎝⎛⎭⎪⎫0，p2⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R________________ 对称轴________________ 顶点________离心率________判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2直线与抛物线的位置关系及判定方法阅读教材P71“例6”～P72“练习”以上部分内容，完成下列问题.位置关系公共点判定方法相交有两个或一个公共点k＝0或⎩⎨⎧k≠0Δ>0联立直线(斜率为k)与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ相切有且只有一个公共点Δ＝0相离无公共点Δ<01.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A.10B.8C.6D.4【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.【答案】 B2.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.【解析】F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.【答案】 2[小组合作型]抛物线几何性质的应用已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程.【精彩点拨】 由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A ，B 的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p 的值，进而写出标准方程.【自主解答】 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3， 即渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线准线方程为x ＝－p2， 于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2， 从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，可得p ＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y 2＝4x .抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离为p 2.[再练一题]1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长.【导学号：37792086】【解】如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2.又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0.∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＋x2＋2p≠0，故x1－x2＝0，即x1＝x2.由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称.∴AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan 30°＝33，而y21＝2px1，∴y1＝23p.故|AB|＝2y1＝43p，即正三角形的边长为43p.直线与抛物线的位置关系已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值. 【精彩点拨】 (1)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解.(2)根据(1)求出点A 、B 的坐标，设出点C 的坐标，由OC →＝OA →＋λOB →，可用λ表示点C 的坐标，最后根据点C 在抛物线上求出λ值.【自主解答】 (1)直线AB 的方程是y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，没有交点.(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.[再练一题]2.如图2-4-3所示，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .图2-4-3(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1). 因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.[探究共研型]抛物线的焦点弦及其它弦的问题探究1 (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，求|AB |.【提示】 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 探究2 解决焦点弦问题需注意什么？【提示】 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程.【导学号：37792087】【精彩点拨】 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解.【自主解答】 法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2). 又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0.法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标，由根与系数得y 1＋y 2＝8k . 又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k . (1)一般的弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点时，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)“中点弦”问题解题策略两法[再练一题]3.已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点. (1)若|AB |＝10，求实数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)，所以m ＝－8.1.顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于4的抛物线的标准方程是( )A.y 2＝±4xB.x 2＝±16yC.y 2＝±16xD.y 2＝±8x【解析】 依题意知抛物线的方程为y 2＝±2px (p ＞0)，又p 2＝4，∴p ＝8,2p ＝16，故方程为y 2＝±16x .【答案】 C2.若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18【解析】 线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.【答案】 A3.已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________.【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14，∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4， ∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158. 【答案】 1584.若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.【导学号：37792088】【解析】 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程得a ×1－0＋1＝0，∴a ＝－1.【答案】 －15.设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0. 由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24. ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b .∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.。

案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。

(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即 准线)；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1）。

(2)定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。

若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线。

(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

知识点二 抛物线的标准方程抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

如下图所示，分别建立直角坐标系，设出()0>=p p KF ，则抛物线的标准方程如下：（1） （2）（3） （4）（1）()022>=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，准线2:p x l -=； （2）()022>=p py x ，焦集点：⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p ，准线2:p y l -=； （3）()022>-=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，准线2:p x l =； （4）()022>-=p py x ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p ，准线2:p y l =。

相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直， 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。

它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =。

不同点：（1）图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±，左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ；（2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端 取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。