高考数学讲义抛物线之对称与比例问题

抛物线
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 7
3.抛物线的焦点弦
考点二 抛物线的几何性质
(1)焦点弦的概念 连接通过抛物线焦点的直线与抛物线的两交点的线段,称为抛物线的焦点 弦. (2)焦点弦长的求法 焦点弦长公式可通过运用两次焦半径公式得到.设过抛物线焦点F的直线 与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则 对于抛物线y2=2px(p>0),|AB|=x1+x2+p; 对于抛物线y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2);
抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所 所有理想化模型均忽略对所研究 问以题p的无值影永响远的大因于素0,是,当研抛究物问线题标的准方程中一次项的系数为负值时,不要 一模出种型现理还p<想有0方:的点法错电.误在荷.高、中理学想习气的体理、想弹 簧振子、点光源等.
继续学习
高考复习讲义
目 录 Contents
考情精解读
考点一 抛物线的定义和标准方程 考点二 抛物线的几何性质
高考复习讲义
考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
1.了解抛物线的实 际背景,了解抛物 线在刻画现实世界 和解决实际问题中 的作用.
抛物线
2.了解抛物线的定 义、几何图形、标 准方程,知道它的简 单几何性质.
的形式单独考查.本讲知识与平面向量、直线、圆、
了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和函解数决实等际综问合题考中查的的作用可.能性较大,应予以重视,此外,抛
x2=-2py(p>0)
命题趋势
在高中学习的理想模型还有:点电荷、理想气体、弹簧物振线子、与点导光数源几等何. 意义的综合考查也是命题的一个趋

抛物线对称问题的探究与解答引言：抛物线作为一种经典的曲线形状，具有许多独特的性质和特点。

其中一个引人注目的问题就是抛物线的对称性。

本文将探究抛物线对称的相关概念、公式推导以及实际应用，并尝试回答抛物线对称问题的范围。

一、抛物线的基本概念和性质1. 什么是抛物线？在几何学中，抛物线是一个平面曲线，其形状由一个动点到一个固定点和一个固定直线的距离比例确定。

抛物线由二次方程表示，通常形式为y=ax²+bx+c。

2. 抛物线的特点抛物线具有丰富的性质，如：顶点、焦点、准线、对称轴等。

二、抛物线的对称性1. 横轴对称性定义了一个抛物线的对称轴，也称为横轴，过抛物线的顶点并垂直于准线。

抛物线关于横轴对称，即在对称轴两侧的图形完全相同。

2. 纵轴对称性某些抛物线还表现出纵轴对称性，即围绕纵轴对称，对称轴为垂直于横轴过顶点的线。

三、抛物线的对称性证明1. 横轴对称性的证明以抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系。

利用二次方程的对称性质以及函数平移的知识，可以证明抛物线关于横轴对称。

2. 纵轴对称性的证明同样以抛物线的顶点为原点建立坐标系，利用奇偶函数的对称性质和函数平移的概念，可以证明抛物线关于纵轴对称。

四、抛物线对称问题的范围1. 抛物线对称轴的位置抛物线的对称轴是纵轴或横轴，具体取决于二次方程的系数，对称轴的位置可以通过系数的特性来判断。

2. 抛物线的顶点坐标顶点是抛物线上的一个特殊点，具有一定的几何意义。

顶点坐标的求解公式可以通过配方变形、导数等数学方法推导得出。

3. 抛物线的焦点和准线对于一些特殊的抛物线，还存在焦点和准线等概念。

焦点的位置可以通过一定的几何关系和推导得到，准线则是与焦点有关的一条直线。

五、抛物线对称性的实际应用1. 物理学中的抛物线抛物线的运动轨迹在物理学中具有广泛的应用，如自由落体、炮弹的弹道等。

了解抛物线对称性的概念，有助于解决实际问题和理解物理规律。

2. 工程学中的抛物线抛物线的形状特征在工程设计中也有重要的应用，如光学反射镜、设计拱桥的形状等。

抛物线的对称性萧县 纵强二次函数的图像是具有对称性的抛物线，合理的利用这一特征所带来的性质对于解决二次函数的这一类问题会取得很好的效果，在今年的中考中也常出现这类问题，为帮助同学们学好这部分内容，本文对这部分内容剖析如下。

二次函数()2(0)y a x h k a =-+≠的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x h =。

根据轴对称的性质，我们容易得出以下几个结论。

结论1：、对于抛物线上两个不同点A （x y 11，）、B （x y 22，） A 、B 两点是关于对称轴x h =对称点⇔纵坐标满足12y y =（纵坐标相等）A 、B 两点是关于对称轴x h =对称点⇔横坐标满足12x h x h -=-（对由以上两个结论知，已知一点的坐标A （1x ，m ）和对称轴直线x h =就可以确定A 点的对称点B 的坐标：由结论1对称点的纵坐标相等得：B 的纵坐标也是m 由结论2得：122x x h +=即B 的横坐标是212x h x =- 即：结论3：A （1x ，m ）是抛物线上的一点，则它关于对称轴直线x h =的对称点B 一定也在抛物线上，且B 点的坐标为（12,h x m -）一、利用对称性求抛物线的解析式例1. 二次函数的图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。

分析：由结论1可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。

再根据结论2，可知直线3112x -+==-是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。

解：设二次函数的解析式为y a x =++()132（顶点式）， 由图像经过B （1，1）所以1113122=++=-a a ()，。

从而可确定二次函数的解析式为y x =-++12132()。

二、利用对称性求函数值例2.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则该二次函数图像的对称轴为x=; x=2-对应的函数值y =；分析：如果用待定系数法会相当麻烦，观察表中的数据你会发现当1x =-和0x =时的函数值都是2-，因结论1得(1,2)--和(0,2)-对称，再由结论2得对称轴为x=10122-+=- 由对称轴为x=12=-利用对称性可确定2x =-的对称点的横坐标：由结论2变化得对称点的横坐标()21122212x h x ⎛⎫=-=⨯---= ⎪⎝⎭由结论1得1x =与2x =-的函数值相同所以2x =-的函数值y 也是0。

高考数学复习考点知识讲解与专题练习抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A.2B.3C.4D.8解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0， 所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D5.(2020·山东名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C. 答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案[－1，1]考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x(2)(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为()A.2B.3C.－ 2D.－ 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).＝2，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.(2)如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案(1)D(2)BD(3)y2＝4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.解析 (1)直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4，0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在直角三角形PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎨⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 答案 (1)A (2)2考点二 与抛物线有关的最值问题多维探究角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|PA |－|PF |的最小值为________，最大值为________.解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.答案(1)3(2)－2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案 5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1 D.2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 答案 D规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案 2规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】(一题多解)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.解析 法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到 A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1，0).根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案 (1)A (2)17－1考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l 的方程为：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0).∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2).∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5 D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ， 设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163D.203[一般解法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 CA 级 基础巩固一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B3.(2020·烟台调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x解析 因为AB ⊥x 轴，且AB 过焦点F ，所以线段AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D. 答案 D4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B.2 C.115 D.3解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝ －2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.(2020·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|的值为________. 解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案 38.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，由于p >0，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .答案 x 2＝16y 三、解答题9.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.10.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值. 解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.B 级 能力提升11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A.1∶2B.1∶3C.1∶ 2D.1∶ 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过点F 和点M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1）得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A.答案 A12.(2020·长沙调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.解析 由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案 7414.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.C 级 创新猜想15.(多选题)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )A.若AB 的斜率为1，则|AB |＝8B.|AB |min ＝4C.若AB 的斜率为1，则x M ＝2D.x A ·x B ＝－4解析 由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确；对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；对于C ，当AB 的斜率为1时，因为y ′＝x 2，则x M 2＝1，∴x M ＝2，则C 正确；设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则D 正确；答案 ABCD16.(多填题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6. 答案 y 2＝8x 6。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理 1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|F A|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(×) 教材改编题1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为() A ．y ＝－18B ．y ＝－14 C ．y ＝－12D ．y ＝－1 答案A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于() A ．9B ．8C ．7D ．6 答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得， |PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________． 答案y 2＝±42x解析由已知可知双曲线的焦点为 (－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2， 所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点1定义及应用例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于() A ．2B ．3C ．6D ．9 答案C解析设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.(2)已知A (3,2)，点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|P A |＋|PF |取得最小值，则点P 的坐标为() A ．(0,0) B ．(2,2) C ．(1，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案B解析如图所示，设点P 到准线的距离为d ， 准线方程为x ＝－12， 所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ≥|AB | ＝3＋12＝72，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，|P A |＋|PF |取得最小值， 此时点P 的坐标为(2,2)．思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为() A ．x ＝－4B ．x ＝－3 C ．x ＝－2D ．x ＝－1 答案A解析直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4,0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4,0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos60°＝12|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A．3B.32C．5D.52答案B解析由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF |＋|NF |＝|MM ′|＋|NN ′|， 所以线段MN 的中点到准线的距离为12(|MF |＋|NF |)＝52，所以线段MN 的中点到y 轴的距离为52－1＝32.2．(2022·济南模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．若直线AB 的斜率为33，点A 的纵坐标为32，则p 的值为() A.14B.12C ．1D ．2 答案C解析由题意得，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点在y 轴上， 准线方程为y ＝－p2， 设A (x A ，y A )， 则|AF |＝y A ＋p 2＝32＋p2， 设直线AB 的倾斜角为α， 则tan α＝33，因为α∈[0，π)，所以α＝π6， 所以|AF |＝y A －p 2sin α＝32－p2sin α＝3－p2sin α＝3－p 2×12＝3－p ， 所以3－p ＝32＋p2，解得p ＝1.思维升华 求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线() A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 答案B解析连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线，垂足为B ，直线AF 交准线l 于点C ，若Rt △ABC 的“勾”|AB |＝3，“股”|CB |＝33，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x 答案B解析如图，|AB |＝3，|BC |＝33， 则|AC |＝32＋(33)2＝6，设直线l 与x 轴交于点H ，由|AB |＝|AF |＝3，|AC |＝6，可知点F 为AC 的中点， 所以|FH |＝12|AB |＝32， 又|FH |＝p ，所以p ＝32， 所以抛物线的方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p 等于()A ．1B ．2C ．22D ．4 答案B解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．(2)已知弦AB 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列说法中错误的是()A ．当AB 与x 轴垂直时，|AB |最小 B.1|AF |＋1|BF |＝2pC ．以弦AB 为直径的圆与直线x ＝－p2相离 D ．y 1y 2＝－p 2 答案C解析当AB 与x 轴垂直时，AB 为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即|AB |最小，A 正确； 设AB 方程为x ＝ty ＋p 2， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋p2，y 2＝2px ，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，D 正确；∴x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22p＝4p 2t 2＋2p 22p＝2pt 2＋p ，x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2pt 2＋2p p 2＋p 2t 2＝2p (t 2＋1)p 2(t 2＋1)＝2p，B 正确； ∵AB 的中点到x ＝－p 2的距离为12(x 1＋x 2＋p )＝12|AB |，∴以AB 为直径的圆与准线x ＝－p 2相切，C 错误．教师备选1．抛物线y 2＝2px (p >0)准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点N (4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 答案C解析设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，则点A (－x 1，－y 1)，可得－x 1＝－p 2，则x 1＝p 2，设直线MB 的方程为x ＝my ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，y 2＝2px ，可得y 2－2mpy －8p ＝0， 所以y 1y 2＝－8p ，由题意可知，OB →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p 2＋y 1y 2 ＝64p 24p 2－8p ＝16－8p ＝0，解得p ＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1射入，经过r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论错误的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案A解析设抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1，且l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＝43x －13.由⎩⎨⎧ y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，－14，故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；直线AO ：y ＝x ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＝－14，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－14，故y C ＝y 2， 所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确．思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______________．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝______，1|AF |＋1|BF |＝________.答案21解析由p 2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与y 2＝4x联立解得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF ||BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1. 综上，1|AF |＋1|BF |＝1.题型三 直线与抛物线例4已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1. 故|AB |＝4133.教师备选如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)由(1)得直线AP 的斜率为k ，x ＝k ＋12，则直线BQ 的斜率为－1k (k ≠0)，设直线AP 的方程为kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.当k ＝0时，|P A |＝1，|PQ |＝1，|P A |·|PQ |＝1，所以|P A |·|PQ |的最大值为2716. 思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练3设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，当MA ⊥OA 时，|MF |＝2.(1)求p 的值；(2)若AM →·AN→＝0，求直线l 的方程． 解(1)当MA ⊥OA 时，此时点M 的纵坐标为2，其横坐标x M ＝2p .因为|MF |＝2，根据抛物线的定义，得|MF |＝2p ＋p 2＝2，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点F 的坐标为(1,0)．设直线l ：x ＝ky ＋1，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，化简可得y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.根据题意AM →＝(x 1，y 1－2)，AN →＝(x 2，y 2－2)，且AM →·AN →＝0，所以x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.将x 1x 2＝y 21y 2216＝1，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入化简可得4－2×4k －4＋1＝0，解得k ＝18，所以直线l 的方程为x ＝18y ＋1，即8x －y －8＝0.课时精练1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是()A ．2B ．1C.12D.14答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x 2＝12y 得p ＝14.2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案B解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝x1＋x22＝62＝3.3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|等于()A．2B．3C.2D. 3答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝ 2.4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A．26mB．46mC．42mD．12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝26，x2＝－26，所以此时水面宽度d＝2x1＝4 6.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论不正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案B解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线方程为y 2＝8x ，故B 错误；焦点F (2,0)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2， ∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2x －4，可得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．已知A ，B 为抛物线x 2＝2py (p >0)上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则|CD |的最大值为()A ．2B.2C.22D.12答案A解析根据题意，2π＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22， ∴|AB |＝2 2.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过点A 作AQ ⊥l 于Q ，过点B 作BP ⊥l 于P ，如图，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，∴在四边形ABPQ 中，2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，由勾股定理得，8＝a 2＋b 2，∵|CD |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4＝8＋2ab 4 ＝2＋ab 2≤2＋a 2＋b 24＝4，∴|CD |≤2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．7．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案54 5解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|MF |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案163解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. ∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1.又F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)， MB →＝(x 2＋2，y 2－1)． ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB→＝0， ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M (舍去)，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，过点P (3,0)的直线l 交抛物线E 于A ，B ，且OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)．(1)求抛物线E 的方程；(2)求△AOB 面积的最小值．解(1)设直线l 为x ＝ty ＋3，代入E ：y 2＝2px 整理得y 2－2pty －6p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－6p ，所以x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝(－6p )24p 2＝9，由OA →·OB→＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，得9－6p ＝－3，所以p ＝2，所以所求抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－12，|AB |＝1＋t 2(4t )2＋48 ＝41＋t 2t 2＋3，点O 到直线l 的距离为d ＝31＋t 2，则S △AOB ＝12|AB |·d＝12×31＋t 2×41＋t 2t 2＋3 ＝6t 2＋3≥63，当t ＝0时，等号成立，故当t ＝0时，△AOB 面积有最小值6 3.11．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析由题意可知，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 又F 为△ABC 的重心，故x A ＋x B ＋x C 3＝12， 即x A ＋x B ＋x C ＝32.又由抛物线的定义可知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋x B ＋x C ＋32＝32＋32＝3. 12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为3m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以7m 为半径的圆上，则管柱OA 的高度为()A.53mB.74mC.94mD.73m答案B解析以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，记BM ⊥OC 且垂足为M ，A 在y 轴上的投影为D ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知|AD |＝3，|BM |＝4，|OC |＝7，所以|MC |＝|OC |－|AD |＝7－3＝4，所以C (4，－4)，代入抛物线方程可知16＝8p ，所以p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝－4y ，又因为x A ＝－3，所以y A ＝y D ＝－94，所以|BD |＝94，所以|OA |＝|DM |＝|BM |－|BD |＝4－94＝74，所以OA 的高度为74m.13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，则下列结论不正确的是()A ．点P 到抛物线焦点的距离为54B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 两点，则直线MN 的斜率为12答案D解析因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，所以p ＝12，所以抛物线方程为y 2＝x ，焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.对于A ，|PF |＝1＋14＝54，A 正确；对于B ，k PF ＝43，所以l PF ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， 与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0，所以y 1＋y 2＝34，y 1y 2＝－14，所以S △OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×14×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝532，B 正确； 对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，Δ＝1－4k (1－k )＝0，即4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝12，所以切线方程为x －2y ＋1＝0，C 正确；对于D ，依题意斜率存在，设l PM ：y －1＝k ′(x －1)，与y 2＝x 联立得k ′y 2－y ＋1－k ′＝0，所以y M ＋1＝1k ′， 即y M ＝1k ′－1，则x M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12， 所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12，1k ′－1， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12，－1k ′－1， 所以k MN ＝1k ′－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12 ＝2k ′－4k ′＝－12，D 错误． 14．已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________．答案74解析由题意得M (2,0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN → 得(x －2，y ＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.15．已知抛物线C ：y 2＝4x ，其准线与x 轴交于点M ，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 21＋1k 22的最小值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析由题意，可得焦点坐标F (1,0)，准线方程为x ＝－1，可得M (－1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4，因为1k 1＝x 1＋1y 1＝my 1＋1＋1y 1＝m ＋2y 1， 1k 2＝x 2＋1y 2＝my 2＋1＋1y 2＝m ＋2y 2，所以1k 21＋1k 22＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋2y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2y 22 ＝2m 2＋4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22 ＝2m 2＋4m ·y 1＋y 2y 1·y 2＋4·(y 1＋y 2)2－2y 1·y 2y 21·y 22 ＝2m 2＋4m ·4m －4＋4·16m 2＋816＝2m 2＋2， 所以当且仅当m ＝0时，1k 21＋1k 22取得最小值为2. 16．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第68讲 抛物线考向预测核心素养抛物线的方程、几何性质及抛物线的综合问题是高考热点，综合问题难度较大.直观想象、数学抽象、数学运算一、知识梳理 1．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0，0)离心率e ＝1常用结论1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4.(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)．通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长：2p.(3)焦半径：|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，1|AF|＋1|BF|＝2p.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P133练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．答案：(3，±6)2．(人A选择性必修第一册P136练习T4改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：设点A的横坐标是x1，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1.因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．() (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．() (3)若一抛物线过点P (－4，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．() (4)抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 二、易错纠偏1．(多选)(忽视焦点的位置致误)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－92xB.y 2＝92xC ．x 2＝43yD.x 2＝－43y解析：选AC.设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 2．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．解析：把抛物线方程y ＝ax 2化为标准形式得x 2＝1a y ，所以－14a ＝2，解得a ＝－18.答案：－183．(忽视方程多解致误)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________．解析：设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.答案：2考点一 抛物线的定义和标准方程(自主练透)复习指导：1.了解抛物线的定义、标准方程、掌握各种形式下抛物线的图形． 2．理解参数p 的几何意义．1．(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝() A ．1 B.2 C.2 2D.4解析：选B.抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B.2．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x3．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2，1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：线段OA 的垂直平分线方程是y ＝－2x ＋52，且交x 轴于点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，该点为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，故该抛物线的准线方程为x ＝－54.答案：x ＝－54抛物线的定义及标准方程应用关键点(1)由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质(多维探究)复习指导：理解应用抛物线的简单几何性质． 角度1 焦半径和焦点弦(1)(2022·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且||＋||＋||＝10，则x 1＋x 2＝()A ．6 B.5 C.4D.3(2)(链接常用结论1(2))设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为()A.334B.938C.6332D.94【解析】 (1)根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.(2)由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2－212x＋916＝0，故x A＋x B＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝x A＋x B＋p＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为d＝|－3|42＋（－43）2＝38，因此S△OAB＝12|AB|·d＝94.【答案】(1)A(2)D角度2 与抛物线有关的最值设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】 41．若本例条件不变，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为焦点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案：22．若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部，F(1，0)．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝（3－1）2＋（4－0）2＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.抛物线的性质及应用要点(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．|跟踪训练|1．已知点Q(22，0)及抛物线y＝x24上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是()A．2 B.3 C.4 D.2 2 解析：选A.因为抛物线的方程为x 2＝4y ， 所以焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1， 所以抛物线上的动点P (x ，y )到准线的距离为y －(－1)＝y ＋1，由抛物线的定义可得|PF |＝y ＋1，又因为Q (22，0)，所以y ＋|PQ |＝y ＋1＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝（22－0）2＋（0－1）2－1＝3－1＝2， 当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号．2．(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，因为点A 在抛物线y 2＝3x 上，所以14a 2＝3×32a ，所以a ＝6 3.答案：6 3考点三 直线与抛物线(综合研析)复习指导：了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．(2021·高考全国卷乙)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足＝9，求直线OQ 斜率的最大值． 【解】 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p ，故p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，＝(1－x 2，－y 2)， 因为＝9，所以⎩⎨⎧x 2－x 1＝9（1－x 2），y 2－y 1＝－9y 2，可得⎩⎨⎧x 1＝10x 2－9，y 1＝10y 2，又点P 在抛物线C 上，所以y 21＝4x 1，即(10y 2)2＝4(10x 2－9)，化简得y 22＝25x 2－925，则点Q 的轨迹方程为y 2＝25x －925.设直线OQ 的方程为y ＝kx ，易知当直线OQ 与曲线y 2＝25x －925相切时，斜率可以取最大，联立y ＝kx 与y 2＝25x －925并化简，得k 2x 2－25x ＋925＝0，令Δ＝(－25)2－4k 2·925＝0，解得k ＝±13，所以直线OQ 斜率的最大值为13.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．|跟踪训练|1．直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1 B.0C.1D.2解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝12x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.2．(多选)(2022·广东省广雅中学月考)已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有() A．△PMF周长的最小值为2 5B．若＝λ，则||PQ最小值为4C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π4解析：选BD.因为F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，|MF|＝（2－1）2＋（2－0）2＝5，准线l：x＝－1，对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥|MN|＝2＋1＝3，所以△PMF周长的最小值为3＋5，故A不正确；对于B ，若＝λ，则弦PQ 过F ，过P 作l 的垂线，垂足为P ′，过Q 作l 的垂线，垂足为Q ′，设PQ 的中点为G ，过G 作GG ′⊥l ，垂足为G ′，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝|PP ′|＋|QQ ′|＝2|GG ′|≥2×2＝4，即||PQ 最小值为4，故B 正确；对于C ，若直线PQ 过点F ，设直线PQ ：x ＝my ＋1， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝4y 1·4y 2＝16－4＝－4，故C 不正确；对于D ，因为OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为12，因为△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆的半径为1＋12＝32，所以该圆面积为π(32)2＝94π，故D 正确．3．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：不妨设点A 在第一象限．由题意得图，其中AB 垂直于抛物线的准线l .则|FC |＝3p ，所以|AF|＝|AB|＝|CF| 2＝32p，则A(p，2p)．易证△EFC∽△EAB，所以|EF||EA|＝|CF||AB|＝|CF||AF|＝2，所以|EA||AF|＝13，所以S△ACE＝13S△AFC＝13×12×3p×2p＝22p2＝32，所以p＝ 6.答案： 6[A 基础达标]1．(2022·荆州市检测)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A．圆 B.椭圆C.直线D.抛物线解析：选D.如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．2．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为()A．2 B.3C. 3D. 2解析：选B.因为抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3．(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝()A ．5 B.6 C.8D.10解析：选C.抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线l 与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2 B.4 C.6 D.8解析：选B.如图，不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p，由题意知|OA |＝|OD |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.5．(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1，0)D.(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得·＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.6．已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________．解析：因为半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， 所以圆心到准线的距离等于3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x7．(2021·新高考卷Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．解析：通解(解直角三角形法)：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32. 光速解(应用射影定理法)：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32. 答案：x ＝－328．(2022·山东模拟)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1|AF |＋1|BF |＝________．解析：由题意知p2＝1，从而p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .当直线AB 的斜率不存在时，将x ＝1代入抛物线方程， 解得|AF |＝|BF |＝2，从而1|AF |＋1|BF |＝1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，从而1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1.答案：219．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x . 10.如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[B 综合应用]11．(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是()A.72B.3C.52D.2解析：选C.如图，抛物线的准线方程为x ＝－12，过点Q 作QQ ′垂直准线于点Q ′，|MQ |－|QF |＝|MQ |－|QQ ′|，显然当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|MQ |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52.12．(多选)(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线的准线上，线段PF 与抛物线交于点M ，则下列判断正确的是()A ．△OMF 不可能是等边三角形B ．△OMF 可能是等腰直角三角形 C.|PF ||PM |＝1＋2|PF |D.|PF ||MF |－|PF |＝1 解析：选AC.若△OMF 是等边三角形，则边长为1，且点M 的横坐标为12，纵坐标为±2，此时|OM |＝14＋2＝32≠1，所以△OMF 不可能是等边三角形，故A 正确；若△OMF 是等腰直角三角形，则只可能是∠OMF ＝90°，|OM |＝|FM |＝32，所以|OM |2＋|FM |2≠|OF |2，故B 不正确；过点M 作准线的垂线交准线于点N ，则|MF |＝|MN |，|PF ||PM |＝|PM |＋|MF ||PM |＝1＋|MF ||PM |＝1＋|MN ||PM |＝1＋2|PF |，故C 正确，D 不正确． 13．(多选)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直于l 且交l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则()A ．∠FQP ＝60° B.|QM |＝1 C ．|FP |＝4 D.|FR |＝2解析：选ACD.如图，连接FQ ，FM ，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥FQ ，又PQ ∥x 轴，∠NRF ＝60°，所以∠FQP ＝60°，由抛物线的定义知，|PQ |＝|PF |，所以△FQP 为等边三角形，则FM ⊥PQ ，|QM |＝2，等边三角形FQP 的边长为4，|FP |＝|PQ |＝4，|FN |＝12|PF |＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR |＝2.故选ACD.14．(2022·江苏省如皋市高三调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，以AF 为直径的圆过点()0，2，则直线AB 的斜率为________．解析：由抛物线C ：y 2＝4x 可得焦点为F ()1，0，设A ()x 1，y 1， 由抛物线的定义可得||AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1，AF 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12，y 12， 所以AF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122， 因为以AF 为直径的圆过点()0，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫0－x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122，可得y 1＝4，所以x 1＝4， 所以点A ()4，4，所以直线AB 的斜率为4－04－1＝43.答案：43[C 素养提升]15．(2022·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．解析：由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由＝λ＋μ得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74. 答案：7416．(2021·高考全国卷甲)抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ .已知点M (2，0)，且⊙M 与l 相切．(1)求C ，⊙M 的方程；(2)设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．解：(1)由题意，直线x ＝1与C 交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，设C 的焦点为F ，P 在第一象限，则根据抛物线的对称性，∠POF ＝∠QOF ＝45°， 所以P (1，1)，Q (1，－1)．设C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则1＝2p ，p ＝12，所以C 的方程为y 2＝x .由题意，圆心M (2，0)到l 的距离即⊙M 的半径，且距离为1，所以⊙M 的方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，当A 1，A 2，A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切，此时直线A 2A 3与⊙M 相切．当x 1≠x 2≠x 3时，直线A 1A 2：x －(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＝0， 则|2＋y 1y 2|（y 1＋y 2）2＋1＝1，即(y 21－1)y 22＋2y 1y 2＋3－y 21＝0， 同理可得(y 21－1)y 23＋2y 1y 3＋3－y 21＝0，所以y 2，y 3是方程(y 21－1)y 2＋2y 1y ＋3－y 21＝0的两个根，则y 2＋y 3＝－2y 1y 21－1，y 2y 3＝3－y 21y 21－1.直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，设M到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝（2＋y2y3）2＝＝1，1＋（y2＋y3）2即d＝1，所以直线A2A3与⊙M相切．综上可得，直线A2A3与⊙M相切．21 / 21。

讨论抛物线的对称性抛物线是一个经典的二次曲线，其对称性在数学中有着重要的地位。

本文将深入探讨抛物线的对称性特征，包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。

一、顶点对称抛物线的顶点是其最高点（对于开口向上的抛物线）或最低点（对于开口向下的抛物线），而这个顶点是整个曲线的对称中心。

具体来说，如果抛物线的顶点坐标为（h，k），则曲线上任意一点P（x，y）关于顶点（h，k）对称的另一点为P'（x'，y'）。

满足以下关系：x' = 2h - xy' = 2k - y这就意味着通过顶点将抛物线分成两个对称的部分。

二、焦点对称抛物线还有一个重要的对称性特征是焦点对称。

焦点是指确定抛物线形状的关键点，我们用字母F来表示。

对于开口向上的抛物线，焦点位于顶点的下方，对于开口向下的抛物线，焦点位于顶点的上方。

焦点对称指的是曲线上任意一点P到焦点F的距离与点P'到焦点F的距离相等，即PF = PF'根据抛物线的性质可知，焦点到定点的距离等于焦半径，即 PF =PD（D为抛物线的顶点到直线y=k的距离）。

三、轴对称抛物线还具有轴对称的性质，其中轴称为对称轴。

对称轴是垂直于焦半径、通过顶点的一条直线。

具体来说，如果抛物线开口向上，对称轴是水平线 y = k；如果抛物线开口向下，对称轴是水平线 x = h。

轴对称指的是关于对称轴对抛物线进行镜像对称，即曲线上任意一点P关于对称轴的镜像点P'，满足以下关系：P'（x，y）= P（x'，y'），其中 x = 2h - x'，y = y'经过以上对抛物线的对称性特征的讨论，我们可以看出抛物线的特殊形状与其对称性密不可分。

这些对称性特征可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并在解决实际问题时提供重要的数学工具。

总结：抛物线的对称性主要包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。

顶点对称以抛物线的顶点为中心，将曲线分为两个对称部分；焦点对称表明曲线上任意一点到焦点的距离相等；而轴对称以对称轴为中心，实现曲线的镜像对称。

第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.一、知识回忆 课前热身知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式练习1．(1)假设点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，那么点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，那么AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．假设线段F A 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，那么抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324变式练习2．直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，那么焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.例3过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，假设OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.变式练习3．直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，假设|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由k >0，所以k ＝223.三、归纳总结 方法在握归纳4个结论——直线与抛物线相交的四个结论抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，假设是标准方程，那么要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不说明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的表达．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、拓展延伸 能力升华例1(2021·陕西高考)下列图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，那么抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6变式练习 1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如下图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．五、课后作业 稳固提高一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( ) A.52B.32C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a2，那么12－a 2＝1，解得a ＝－32.2．抛物线y 2＝4x ，假设过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，那么△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.那么26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4. 解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2021·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，那么(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，那么y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2021·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，假设△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，那么抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________． 解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2021·厦门模拟)动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2021·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．假设|AF |＝3，那么|BF |＝________.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．那么直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，那么N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.11．假设椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)假设过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.那么椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，那么可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，那么Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上。

它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e ）不同，当e ＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数p 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：标准方程y px p 220=>() y px p 220=->() x py p 220=>() x py p 220=->()图形xy l PO Fx y lPOFy x F O P lyx FO P l范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对称轴 x 轴y 轴顶点坐标 原点O （0，0）焦点坐标 ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率 e=1焦半径02p PF x =+02p PF x =-+02p PF y =+02p PF y =-+其中()00,P x y 为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线()220y px p =≠上的点的坐标可设为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线y px p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线交于()()1122,A x y B x y 、，，直线OA 与OB 的斜率分别为12k k 、，直线l 的倾斜角为α，则有212y y p =-，2124p x x =，124k k =-，1cos pOA α=-，1cos p OB α=+，22sin pAB α=，12AB x x p =++。

高考数学复习 抛物线的方程与性质 编稿：张希勇 责编：李霞【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。

要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。

8
MA MF 的最小值为
．
7．过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点，若 AB 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于（ ）
A． 7 4
B． 9 4
C． 4
D．2
8．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则 1 1
【证明】如图，设抛物线的准线为 l ，过 A 、B 两点分别作 AC 、BD 垂直于 l ，垂足分别为 C 、D ．取 线段 AB 中点 M ，作 MH 垂直 l 于 H ．
由抛物线的定义有： AC AF ， BD BF ，所以 AB AC BD ．
∵ ABDC 是直角梯形， MH 1 AC BD 1 AB
以开口向右的抛物线为例，设抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F，准线为 l ，点 M x0, y0 为抛物线
C 上的动点．则有:
焦半径 MF
x0
p 2
；过焦点的弦
AB
长为
AB
xA xB p ．
（二）抛物线定义的应用
与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点 的距离与点到直线的距离的转化：
（2）如图，设 AFK ．
∵
AF
AA1
AK
p
AF
sin
p
，∴
AF
p 1 sin
，
又
BF
BB1
p
BF
sin
，∴
BF
p 1 sin
，
∴ 1 1 1 sin 1 sin 2 （定值）．
AF BF
p
pp
【变式训练】求证：以抛物线 y2 2 px p 0 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．

继续学习
高考复习讲义
考点全通关 6
抛物线 考点二 抛物线的几何性质
2.抛物线的焦半径
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 7
抛物线 考点二 抛物线的几何性质
3.抛物线的焦点弦Fra bibliotek(1)焦点弦的概念
连接通过抛物线焦点的直线与抛物线的两交点的线段,称为抛物线的焦点 弦. (2)焦点弦长的求法
焦点弦长公式可通过运用两次焦半径公式得到.设过抛物线焦点F的直线
对于抛物线x2=-2py(p>0),|AB|=p-(y1+y2).
(3)通径的概念 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径,抛物线的通径长为2p.
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 9
抛物线
通关秘籍
2.速率是瞬时速度的大小,但平均速率不是平均速度 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 均速度的大小没有对应关系.
与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则 对于抛物线y2=2px(p>0),|AB|=x1+x2+p; 对于抛物线y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2);
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 8
抛物线 考点二 抛物线的几何性质
3.抛物线的焦点弦
对于抛物线x2=2py(p>0),|AB|=p+(y1+y2);
命题规律
2.主要以选择题或填空题的形式命题,很少以解答题 的形式单独考查.本讲知识与平面向量、直线、圆、 函数等综合考查的可能性较大,应予以重视,此外,抛
命题趋势
物线与导数几何意义的综合考查也是命题的一个趋
势.

p =( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
答案 B
解析
将 即
x2√=
2 p
·代−入2√抛p物=线−1y，2解=得2 pxp，=可1得，y
=
±2√ p，由
OD⊥OE ，可得
kOD
·
kOE
=
−1，
22
()
所以抛物线的方程为 y2 = 2x，则其焦点坐标为 1 2 （2020 全国 Ⅲ 理 5）
已知 A、B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y2 = 2px (p > 0) 上，若
−→ AF +
−B→F
= 4，线段 AB 的中点到直
线 x = p 的距离为 1，则 p 的值为 ( )
2
A. 1
B. 1 或 3
C. 2
D. 2 或 6
达标检测 2 ★★★ 正确率：82%
设抛物线 C : y2 = 2px (p > 0) 的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF| = 5，若以 MF 为直径的圆过点 (0, 2)，
第8讲
抛物线基本量 与几何性质
学习目标
1．掌握抛物线的定义、标准方程及几何性质，能够求解基本量问题． 2．掌握抛物线焦半径、焦点弦公式的两种形式，并能选择合适的形式处理求值问题． 3．综合使用三类圆锥曲线的基本量与性质，处理圆锥曲线综合问题．
第 8 讲 抛物线基本量与几何性质
模1 块 1 方程与基本量
√
3
已知离心率为 e 的双曲线和离心率为
∠F1PF2 √
=
π 3
，则
e
等于
( ) √
2 2
的椭圆有相同的焦点
F1，F2，P

数学知识点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）知识点总结高考数学知识点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆．(2)对于抛物线y2=2p_(p>0)，我们有P(_0，y0)在抛物线内部P(_0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2p_上的点P（_1，y1）的切线方程是抛物线y2=2p_(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=k_+(4)抛物线y2=2p_外一点P(_0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2p_上两点的两条切线交于点M(_0，y0)，则(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。

利用焦点弦求值：利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。

抛物线中的几何证明方法：利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。

抛物线对称规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊抛物线对称规律，这可有意思啦！你看那抛物线，多像我们生活中的起起落落呀。

它有着一种独特的对称之美，就好像是生活中的平衡。

想象一下，抛物线就像是一个会跳舞的精灵，左边跳一下，右边也得跳一下，而且跳得还那么对称，那么有规律。

它的对称轴就像是这个精灵的中轴线，一切都围绕着它来展开。

咱平时不是经常看到一些对称的东西吗，比如蝴蝶的翅膀，那多漂亮啊！抛物线的对称也是这样的美。

它的两边就像是一对双胞胎，长得一模一样，你这边高一点，那边也高一样的高度。

在实际生活中，这种对称规律也到处都是呢！比如说，你去扔个球，那球飞出去的轨迹不就是一条抛物线嘛，它两边就是对称的呀。

还有啊，我们玩跷跷板的时候，一上一下，不也有着类似抛物线的感觉嘛，只不过它更简单直观一些。

很多人可能会觉得，哎呀，这抛物线对称规律有啥用呀？这用处可大了去啦！在数学里，我们可以通过它来解决好多问题呢。

比如说计算一些物体的运动轨迹呀，或者设计一些漂亮的图形呀。

你想想，如果没有这种对称规律，那世界得变得多么混乱呀！就像走路没有了平衡，东倒西歪的。

抛物线的对称规律给我们的世界带来了秩序，带来了一种稳定的美感。

而且，我们还可以从抛物线对称规律中学到一些道理呢。

它告诉我们，生活中很多事情都是有平衡的，有得就有失，有起就有落。

不要因为一时的顺利就得意忘形，也不要因为一时的挫折就灰心丧气。

就像那抛物线，不管它怎么起伏，最终还是会回到对称的状态。

我们也要学会在生活的起起落落中保持平衡，保持乐观的心态。

总之，抛物线对称规律可不是什么枯燥的数学概念，它是生活中的一道美丽风景，是我们可以从中汲取智慧和力量的源泉。

让我们一起好好欣赏它，利用它，让我们的生活变得更加美好，更加有意义吧！怎么样，现在是不是对抛物线对称规律有了更深的认识和感受啦？原创不易，请尊重原创，谢谢!。

专题26：抛物线的对称性问题一、单选题1．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 等于()A．32B．2C．52D．32．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A．B．C．D．3．已知正ABC 的顶点A ，B 在抛物线24y x =上，另一个顶点()4,0C ，则这样的正三角形有个？A．1B．2C．3D．44．已知抛物线2y x =上有一定点()1,1A -和两动点P Q 、，当PA PQ ⊥时，点Q 的横坐标取值范围是A．(],3-∞-B．[)1,+∞C．[]3,1-D．(][),31,-∞-+∞5．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（）A．()2,+∞B．()1,+∞C．[)2,+∞D．[)1,+∞6．长度为4的线段AB 的两个端点在抛物线2y x =上移动，试求线段AB 的中点M 到x 轴距离的最小值为（）A．3B．72C．154D．747．已知曲线C 的抛物线22y x =及抛物线22y x =-组成，()1,2A ，()1,2B -，,M N 是曲线C 上关于y 轴对称的两点（,,,A B M N 四点不共线，且点M 在第一象限），则四边形ABNM 周长的最小值为（）A．217+B．117+C．3D．48．已知抛物线()220y px p =>与圆225x y +=交于A ，B 两点，且4AB =，则p =（）2B．1C．2D．49．抛物线2:4E x y =与圆22:(1)16M x y +-=交于A 、B 两点，圆心(0,1)M ，点P 为劣弧AB 上不同于A 、B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线于点N ，则PMN ∆的周长的取值范围是A．(6,12)B．(8,10)C．(6,10)D．(8,12)二、多选题10．已知O 为坐标原点，过点(,1)P a -作两条直线分别与抛物线C ：24x y =相切于点A 、B ，AB 的中点为M ，则下列结论正确的是（）A．直线AB 过定点(0,2)；B．PM 的斜率不存在；C．y 轴上存在一点N ，使得直线NA 与直线NB 关于y 轴对称；D．A 、B 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.三、解答题11．如图，已知抛物线1C ：2y x =与圆2C ：()()22210x y r r -+=>有四个不同的公共点A ，B ，C ，D .（Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）求四边形ABCD 面积的最大值.12．已知直线:220l x y -+=与抛物线()2:20C y px p =>有一个公共点.（1）求抛物线方程；（2）斜率不为0的直线l '经过抛物线C 的焦点F ，交抛物线于两点A ，B .抛物线C 上是否存在两点D ，E 关于直线l '对称？若存在，求出l '的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.四、填空题13．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于 A B ，两点，','A B 分别为 A B ，在l 上的射影，M 为''A B 的中点，给出下列命题：①''A F B F ⊥；②AM BM ⊥；③'A F //BM ；④'A F 与AM 的交点在y 轴上；⑤'AB 与'A B 交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）14．曲线C 是平面内到定点3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭和定直线l ：32x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足||4y ≤；③若点(,)P x y 在曲线C 上，则1||5PF ≤≤.其中，正确结论的序号是________.15．以抛物线C ：22(0)y px p =>的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点.已知||AB =||DE =，则p 等于__________．16．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，O 为坐标原点，A ，B为抛物线上的点，若OAB 为等边三角形，且面积为p 的值为__________．参考答案1．A【分析】由题意设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立消元后得到关于x 的二次方程，然后结合根与系数的关系求出线段AB 的中点坐标，代入对称轴方程y ＝x ＋m 后可得m 的值．【解析】∵A,B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，∴可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ，由22y x b y x ⎧⎨⎩＝－＋＝消去y 整理得2x 2＋x －b ＝0，∵直线AB 与抛物线交于两点，∴Δ＝1＋8b ＞0，解得18b >-．又由题意得12121,22b x x x x +=-=-，∵1212x x =-，∴b ＝1，满足题意．设A ，B 的中点为P (x 0，y 0)，则120124x x x +==-，∴00151144y x =-+=+=，又点15(,44-在直线y ＝x ＋m 上，∴5144m =-+，解得32m =．故选A．【点评】解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面：（1）根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率，进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解；（2）根据平分得到两对称点的中点坐标，然后根据此中点在对称轴上可得所求．2．B【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形和抛物线的对称性，可得到对称两个顶点的坐标，将坐标代入抛物线方程可求得边长.【解析】设等边三角形的边长为a ，根据等边三角形和抛物线的对称性，可得等边三角形一个顶点的坐标为3,22a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得2222a p a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得a =.【点评】本小题主要考查等边三角形和抛物线图像的对称性，考查利用抛物线上点的坐标求参数等知识，属于基础题.3．D【解析】由题意得，当等边三角形关于x 轴对称时，两个边的斜率0tan 303k =±=±，其方程为(4)3y x =±-，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，如图所示（黑色两个），两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个，如图中绿色部分，故选D.4．D【解析】设抛物线2y x =上两动点的坐标分别为()()22,,,P a a Q x x ，()21,1,AP a a =+-()21,1QP x x =+-，PA PQ ⊥，•0AP QP =，即()()()()222110a x a a x a +-+--=，整理可得：()()()()1110a x a a x a ⎡⎤+-+-+=⎣⎦,而P 、Q 和A 三点不重合即1,x x a ≠-≠，所以式子可化成()()110a x a +-+=，整理可得()2110a x a x +-+-=，根据题意可知，关于a 的方程有实数解，即判别式()()21410x x =---≥，得3x ≤-或1≥x ，点Q 的横坐标取值范围是][(),31,-∞-⋃+∞，故选D .5．A【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【解析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为4412r a a =-=-．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A．【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．6．D【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，点M 到x 轴距离为122x x +，利用抛物线的定义可求121144AF BF y y +=+++，利用4AF BF AB +≥=即可求解.【解析】由题意可得10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为14y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为M 是AB 的中点，所以1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭由抛物线的定义可得1114AF AA y ==+，1214BF BB y ==+，所以12121114442AF BF y y y y AB +=+++=++≥=，所以1272y y +≥，当且仅当,,A B F 三点共线时等号成立，所以线段AB 的中点M 到x 轴距离的最小值为12724y y +=，故选：D【点评】本题解题的关键点是利用抛物线的定义求出AF BF +，结合4AF BF AB +≥=可求.7．B【分析】根据()1,2A ，()1,2B -，,M N 是曲线C 上关于y 轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形ABNM 周长模型22=++M l AB AM x ，再由抛物线的定义得到221=-M x MF ，然后由直线段最短求解.【解析】设抛物线22y x =的焦点为F ，则四边形ABNM 的周长:222221121M l AB AM x AM MF AF =++=++-≥+=+，当,,A M F 共线时取等号，故选：B.【点评】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.8．C【分析】两个曲线都关于x 轴对称，可知A ，B 两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可设出两点坐标，分别代入抛物线和圆的方程，从而可求出答案.【解析】由题意，抛物线与圆交于A ，B 两点，且4AB =，因为两个曲线都关于x 轴对称，所以A ，B 两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，故可设()(),20A m m >，(),2B m -，代入圆的方程得2225m +=，解得1m =，故()1,2A ，()1,2B -，代入抛物线方程可得42p =，即2p =.故选：C.【点评】本题考查抛物线和圆的方程的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9．B【分析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MN NH =，故PMN ∆的周长为4PH +，联立圆与抛物线可得B 点坐标，可得PH 的取值范围，可得答案.【解析】如图，可得圆心(0,1)M 也是抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MN NH =故PMN ∆的周长4l NH NP MP PH =++=+，由2224(1)16x y x y ⎧=⎨+-=⎩可得B ，3).PH 的取值范围为(4,6)PMN ∴∆的周长4PH +的取值范围为(8,10)故选：B .【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题.10．BCD【分析】利用导数的几何意义得到直线AB 的方程，从而得到定点坐标，得A 错误；将直线AB 的方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系得到M 点横坐标，从而得到PM x ⊥轴，得B 正确；设(0)N b ，，直线NA 、NB 的斜率分别为1k 、2k ，并利用斜率公式及根与系数的关系得到当1b =-时，120k k +=，得C 正确；根据抛物线的几何性质得到,A B 两点到准线的距离的倒数之和，并借助根与系数的关系化简，得D 正确.【解析】设11()A x y ，、22()B x y ，，∵214y x =，∴12y x '=，∴过点A 的切线方程为1111()2y y x x x -=-，即22111111422y x x x x -=-，∴2111124y x x x =-，同理过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，将(1)a -，分别代入上式，得1112a x y -=-，2212ax y -=-，∴直线AB 的方程为102ax y -+=，∴直线AB 过定点(0)1，，A 选项错误，联立方程24102x y a x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得：2240x ax --=，24160a ∆=+>，则122x x a +=，124x x ⋅=-，∴点M 的横坐标为122x x a +=，∴PM x ⊥轴，B 选项正确，设(0)N b ，，由题意得10x ≠、20x ≠，设直线NA 、NB 的斜率分别为1k 、2k ，则1212121212121()()2(1)44x x b x x y b y b a b k k x x x x ⋅-+----+=+==⋅-，当1b =-时，120k k +=，即直线NA 与直线NB 关于y 轴对称，C 选项正确，∵点A 到准线的距离为11y +，点B 到准线的距离为21y +，∴1212122121212121212222111()11(1)(1)1116y y y y y y x x y y y y y y y y y y +++++++====⋅++++⋅++++++，D 选项正确，故选：BCD.【点评】本题考查导数的几何意义、抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，以直线与抛物线相切为出发点，利用根与系数的关系考查定值问题.11．（Ⅰ）,12r ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；.【分析】（Ⅰ）联立抛物线与圆的方程，由题意可得2210x x r -+-=在()0,∞+上有两个不同的解，即()22141010r r ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩，解不等式组可得答案.（Ⅱ）用半径r 表示出四边形ABCD 的面积为ABCD S =t=ABCD S =，构造函数()2()(12)14f t t t =+-，求导判单调性，由单调性即可得到最值.【解析】（Ⅰ）联立2222(1)y x x y r⎧=⎨-+=⎩得2210x x r -+-=.由题可知，2210x x r -+-=在()0,∞+上有两个不同的解，所以()22141010r r ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩，得2314r <<，所以,12r ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设(1,A x ，(1D x ，(2,B x ，(2C x ，由韦达定理可知，121x x =+，21212x x r AD BC ⋅=-⋅+=.又()2121x x =+++.21x x -==所以()2112ABCD S AD BC x x =+⋅-=.令t =10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时ABCD S =记()232()(12)148421f t t t t t t =+-=--++，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.2'()24822(21)(61)f t t t t t =--+=-+-.当()'0f t >时，10,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()'0f t <时，11,62t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以()y f t =在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.所以max 132()627f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得四边形ABCD .【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.12．（1）216y x =（2）抛物线C 上不存在两点D ，E 关于过焦点的直线l '对称；详见解析【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消去x 得220y py p -+=，因为直线l 与抛物C 相切，所以0∆=即可求出参数p 的值.（2）设直线l '的方程为()()40y k x k =-≠.假设抛物线C 上存在两点D ，E 关于直线l '对称，可设直线DE 的方程为1y x m k=-+，联立直线与抛物线方程，消元，设()11,D x y ，()22,E x y ，DE 中点为()00,G x y .列出韦达定理表示出G 点坐标，其代入方程()4y k x =-，即可判断.【解析】（1）由题联立方程组22220y pxx y ⎧=⎨-+=⎩消去x 得220y py p -+=因为直线l 与抛物C 相切，所以280p p ∆=-=解得8p =或0（舍）所以抛物线C 的方程为216y x =.（2）由（1）可知()4,0F ，所以可设直线l '的方程为()()40y k x k =-≠.假设抛物线C 上存在两点D ，E 关于直线l '对称，可设直线DE 的方程为1y x m k=-+，联立方程组2161y x y x mk ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y 得()22222160x mk k x m k -++=由()222221640mk k m k ∆=+->，得240k mk +>，设()11,D x y ，()22,E x y ，DE 中点为()00,G x y .则2120802x x x km k +==+>，0018y x m k k=-+=-，因为()00,G x y 在直线上l '，所以将其代入方程()4y k x =-，得2840k km ++=，即48m k k=--，代入240k mk +>，得21k <-，所以k 无解，故不存在.即抛物线C 上不存在两点D ，E 关于过焦点的直线l '对称.【点评】本题考查直线与抛物线相切求抛物线的方程，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.13．①②③④⑤【分析】根据题意，结合抛物线定义和性质，即可对选项进行逐一分析判断.【解析】根据题意，作图如下：因为A B ，在抛物线22y px =上，由抛物线的定义，得,AA AF BB BF ''==，又''A B ，分别为A B ，在l 上的射影，所以''A F B F ⊥，即①正确；取AB 的中点N ，则11()22MN AF BF AB =+=，所以AM BM ⊥，即②正确；由②得AM 平分A AF ∠'，所以A F AM '⊥，又因为BM AM ⊥，所以'A F //BM ，即③正确；取AB x ⊥轴，则四边形AFMA '为矩形，则'A F 与AM 的交点在y 轴上，且'AB 与'A B 交于原点，即④⑤正确；故答案为：①②③④⑤.【点评】要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取AB x ⊥轴）.14．②③【分析】先求出曲线C 的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.【解析】设动点(),M x y 是曲线C 上任意一点，则352MF x ++=，即352x +=，当32x ≥-352x =--，整理得21542x y =-+，当32x <-352x =++，整理得215162x y =-，作出曲线C 的图形，如下图，显然①不正确，曲线C 不关于y 轴对称；当32x =-时，可得4y =±，所以当点(,)P x y 在曲线C 上时，y 满足||4y ≤成立，即②正确；令0y =，可得52x =±，所以当点(,)P x y 在曲线C 上时，x 满足5||2x ≤，且3042x ≤+≤，又352PF x ++=，所以352PF x =-+，1||5PF ≤≤，即③正确.故答案为：②③.【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题..【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p 的值.【解析】如图：||AB =，||AM =||DE =，||DN ，||2pON =，2(6)32A x p p∴==，||||OD OA =，∴=∴2291064p p+=+，解得：p =，．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．16．2【解析】设11(,)B x y ，22(,)A x y ，∵||||OA OB =，∴22221122x y x y +=+．又2112y px =，2222y px =，∴2221212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．又1x 、2x 与p 同号，∴1220x x p +=≠．∴210x x -=，即12x x =．根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称，由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB 的方程为33y x =，由232y x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得(6,)B p ，∴OB =．∵OAB的面积为，∴23)4=，解得24p =，∴2p =．答案：2【点评】本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B 关于x 轴对称，然后在此基础上得到直线直线OB （或OA ）的方程，通过解方程组得到点B （或A）的坐标，求得等边三角形OAB 的边长后，根据面积可得。

2014年二轮复习抛物线之对称与比例问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455抛物线之对称与比例高考大纲自检自查必考点抛物线22y px =与直线y kx m =+联立 22y kx my px =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x ，得22y y k m p =⋅+ 202k y y m p-+= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 1212210(*)22km p p y y k pm y y k ⎧=->⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩V 推出22221212222()22(2)pm y y m k x x p p p k=⋅==题型一：对称问题圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两个点求参数取值范围的问题，充分运用“垂直平分”这两个特征：（1）连线段的中点在对称轴上；（2）两点的斜率与对称轴的斜率互为负倒数；有以下四种解法：1.判别式法设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，又设PQ 的方程为：1'y x m k=-+，代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，其中,P Q 点的坐标即为方程的根，利用韦达定理和PQ 方程求得PQ 中点M 的坐标，由M 在l 上，得到一个关系式代回曲线方程，0>V 可求得参数的取值范围。

2.点差法设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，00(,)M x y 是PQ 的中点，用“点差法”（或弦中点斜率公式）并结合M 在l 上，求出PQ 中点坐标（含所求参数），再利用点斜式写出PQ 的方程，代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，由0>V可求得参数的取值范围。