在扌比注屮理解透(单纯诅记无瘪也深刻理解提能力)1. 异面直线所成角设异面直线a , b 所成的角为0,则cos 0=曹岂？,其中a , b 分别是直线a , b 的方向 一™™ l a Ub| 向量.2.直线与平面所成角如图所示，设I 为平面a 的斜线，I Q a= A , a 为I 的方向向量，n 为平面a 的法向量,l a • I ?Sin"=」cos …a ,n …L=|a ||n | .“两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为 (0, n)所以公式中要加绝对值.啬直线与平面所成角的范围为 0, n I,而向量之间的夹角的范围为 ［0, n ］所以公式中要加绝对值.和利用公式与二面角的平面角时，要注意〈 n 1, n 2>与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断.［熟记常用结论］解空间角最值问题时往往会用到最小角定理利用空间向量求空间角0为I 与a 所成的角，则3. 二面角(1)若AB , CD 分别是二面角 a -l- 3的两个平面内与棱 I 垂直的异面直线，则二面角其补角)的大小就是向量^AB 与的夹角，如图(1).(2)平面a 与3相交于直线I ，平面a 的法向量为n i ,平面3的法向量为n 2, < n 1, n ?〉=0,则二面角a -I - 3为0或n — 0.设二面角大小为沁1切=|cos 0=躺，如图(2)(3).图⑴ 图⑵图⑶■> -- > --- > cos BM , ANBM ・—> —> |BM ||AN |3 =V 30,6X 5102.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱 )ABC-A 1B 1C 1的底面边长为 2,侧棱长为2 2，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为 ______________--- > ----- > ------------------- >解析：以A 为坐标原点，以 A B , AE (AE 丄AB), AA 1所在直线分别 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设D 为A B 的COS 0= COS 01COS 02.如图，若OA 为平面a 的一条斜线，0为斜足，0B 为0A 在平面a 内的射影，0C 为 平面a 内的一条直线，其中0为0A 与0C 所成的角，01为0A 与0B 所成的角，即线面角，02为0B 与0C 所成的角，那么 cos 0= COS 01COS 02.［小题查验基础］一、判断题(对的打，错的打“X” )(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.( )(2) 已知 a = (— 2,— 3,1), b = (2,0,4), c = (- 4,— 6,2)，则 a // c , a 丄 b .()1(3) 已知向量 m n 分别是直线l 的方向向量和平面 a 的法向量，若cos 〈m, n 〉=— 2， 则直线I 与平面a 所成的角为120 °.()(4)已知两平面的法向量分别为 m= (0,1,0), n = (0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.()答案：(1)X (2)V (3) X (4) X 二、选填题1.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，/ BCA = 90° M , N 分别是 A 1B 1, A 1C 1的中点，BC=CA = CC 1,贝U BM 与AN 所成角的余弦值为()B.5C. 3010D.解析：选C 以点C 为坐标原点，CA , CB , CC 1所在直线分别为 x 轴, y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系•设直三棱柱的棱长为2，则可得 A(2,0,0), B(0,2,0) , M(1,1,2), N(1,0,2), /• EB M = (1, — 1,2), A N =(— 1,0,2).3.过正方形 ABCD 的顶点A 作线段 PA 丄平面 ABCD ，若 AB = PA , 则平面PAB 与平面PCD 所成的角为 解析：如图，以A 为坐标原点，AB ,轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设D(0,1,0), P(0,0,1), 由题意，知 AD 丄平面 PAB ,设E 为AE 丄 PD ,又CD 丄平面PAD ,••• CD 丄AE ，从而AE 丄平面PCD.,2, *分别是平面 PAB ,平面PCD 的法向量，且N D , ^AE故平面PAB 与平面PCD 所成的角为45° 答案：45°/ 考点 ------- 在细解中明规律｛题目千变总有根，梳干理枝究算衆)考点一异面直［典例精中占I 八\、，则 A(0,0,0), C 1(1，丽,2迄)，D(1,0,2V2),.・.A C >1 = (1，迟,2尹)，A D = (1,0,2尹).•••/ SAD 为AC i 与平面 ABBA 所成的角，cos/ SAD•••/ SAD = 6.答案：n-- > -- > AC 1 ・AD —> —> |AC 1||AD|AD , AP 所AB = PA = 1,贝U A(0,0,0), PD 的中点，连接 AE ,贝UJ A B , I AC , I AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A(0, 0,0), B(2, 0,0), C(0,4,0), P(0, 0,4), D(0,0,2), E(0,2,2), M(0, 0,1), N(1,2,0).(1)证明："DE = (0,2,0), 15B = (2,0，- 2).设n = (x, y, z)为平面BDE的法向量，不妨取z = 1,可得n = (1,0,1). 又 M N =(1,2,-1)，可得 M N n = 0.因为 MN ?平面BDE ，所以 MN //平面 BDE . (2)依题意，设 AH = h(0w h w 4)，则 H(0,0, h), -- > -------------------- >进而可得 NH = (— 1,- 2, h), BE = (— 2,2,2). -- > - >由已知，得 |cos 〈N t, 1B E > |= |NH ・BE||—H ||BE| _ |2h — 2| _^7 _ h 2 + 5X 2 3 _ 21 ,8 1整理得 10h 2- 21h + 8= 0，解得 h = 8或 h =-.5 2 所以线段AH 的长为三或5 2 ［解题技法］用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1) 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2) 确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3) 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4) 两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值. ［提醒］注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时， 其补角才是异面直线所成的角.［过关训练］1.如图所示，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，AA 1丄底面 ABC , AA 1,Z ABC = 90°点E , F 分别是棱 AB , BB 1的中点，则直线 所成的角是()n 矗=0, 则丫 一n —B = 0,2y = 0, 即*2x - 2z = 0.A . 30B . 45设PB 与AC 所成角为0, 则cos e==6=说芮II -S | 2任x朋4［典例精析］C . 60°D . 90° 解析：选C 以B 为坐标原点，以 BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB j 为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.设AB = BC = AA = 2,则 -- > ----------------- > C 1(2,0,2), E(0,1,0) , F (0,0,1) , A EF = (0, — 1, 1), BC 1 = (2,0,2) , A— ------- ------------------------ --------- 2 1 EF B C 1 = 2」cos 〈 EF , BC 1 >^2^^= 1 则 EF 和 BC 1所成 的角是60°故选C. 2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱 形，AB = 2，/ BAD = 60° ⑴求证：BD 丄平面PAC ; （2）若PA = AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形, 所以AC 丄BD. 因为PA 丄平面 ABCD , BD ?平面 ABCD , 所以PA 丄BD. 又因为AC A PA = A ,所以BD 丄平面 PAC.(2)设 AC A BD = O. 因为/ BAD = 60° PA = AB = 2, 所以 BO = 1, AO = CO = 3. 如图，以O 为坐标原点，射线 OB , 建立空间直角坐标系 O-xyz , OC 分别为x 轴，y 轴的正半轴则 P(0,— 3, 2), A(0，— 3, 0), B(1,0,0), C(0,3, 0),所以能=(1,3, — 2),瓦C = (0, 2 3, 0).（20佃 合肥一检）如图，在多面体 四边形 ABCD 是正方形，BF 丄平面 ABCD ,ABCDEF 中, 即PB 与AC 所成角的余弦值为 _64 . 考点二 直线与平面所成的角［师生共研过关］BF = DE , M 为棱AE 的中点.⑴求证：平面BDM //平面EFC ;(2)若DE = 2AB ,求直线 AE 与平面BDM 所成角的正弦值. ［解］(1)证明：连接 AC 交BD 于点N ，连接MN , 则N 为AC 的中点，又M 为AE 的中点，••• MN // EC. •/ MN ?平面 EFC , EC ?平面 EFC , • MN //平面 EFC.•/ BF , DE 都与平面 ABCD 垂直，• BF // DE. •/ BF = DE ,•四边形BDEF 为平行四边形，• BD // EF. •/ BD ?平面 EFC , EF ?平面 EFC , • BD //平面 EFC.又 MN A BD = N ，•平面 BDM //平面 EFC. (2) •/ DE 丄平面ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，• DA , DC , DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz.设 AB = 2,则 DE = 4,从而 D(0,0,0), B(2,2,0), M (1,0,2), A(2,0,0), 设平面BDM 的法向量为 n = (x , y , z), n —B = 0, 2x + 2y = 0, 则s得*—B 0 x + 2z = 0.、n DM = 0,令 x = 2,则 y =— 2, z =- 1, 从而n = (2,— 2, — 1)为平面BDM 的一个法向量. AE = ( — 2,0,4)，设直线 AE 与平面BDM 所成的角为 0, 则 sin 0= |cos n , AIE |= |n 'AE, =|n| |^A E |1•直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为 警.15［解题技法］利用向量求线面角的 2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹E(0,0,4),•"D B = (2,2,0), D M = (1,0,2),角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角.［过关训练］1 在长方体 ABCD-A i B i C i D i 中，AB = 2, BC = AA 1= 1 则 D i C i 与平面 A i BC i 所成角的正弦值为 _________解析：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,由于AB = 2, BC =-- > AA i = i ，所以 A i (i,0,i), B(i,2,0), C i (0,2,i), D i (O,O,i)，所以 A i C i =(- -- > ------------- >i,2,0), BC i = (-i,0,i), D i C i = (0,2,0) •设平面 A i BC i 的法向量为 n = (x ,—x + 2y = 0,即弋令 x = 2,得 y = i , z = 2,贝U n =(2,i,2).设—x + z = 0,—>D i C i 与平面 A i BC i 所成角为 0,贝V sin B=|cos 〈—^, n > |=|DiCi n |= ；7岂=£，即 D i C i2 X 33|D i C i ||n|与平面A i BC i 所成角的正弦值为3.答案：i2.如图，在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中，BA = BC = 5, AC = 8, D 为线 段AC 的中点.(1) 求证：BD 丄 A i D ;(2) 若直线A i D 与平面BC i D 所成角的正弦值为5，求AA i 的长. 解：⑴证明：•••三棱柱 ABC-A i B i C i 是直三棱柱, ••• AA i ±平面 ABC , 又 BD?平面 ABC , • BD 丄AA i , •/ BA = BC , D 为 AC 的中点，• BD 丄AC ,又 AC n AA £ = A , AC ?平面 ACC J A J , AA £?平面 ACC J A H , • BD 丄平面 ACC i A i ,又 A i D ?平面 ACC i A i ,： BD 丄 A i D. (2)由(i)知BD 丄AC , AA i 丄平面ABC ,以D 为坐标原点，DB , DC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过点D 且平 行于AA i的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.A i C i n = 0,y , z),则有—BC i n = 0,^1Ai iz设AA i=XD 0),则A i(0, —4,片，B(3,0,0), C i(0,4,片，D(0,0,0),• DA^ = (0, —4,入,DC^= (0,4, ?), = (3,0,0),设平面BC i D 的法向量为n = (x , y , z),则x = 0,令z = 4,可得y =—入故n = (0,—入4)为平面BC 1D 的一个法向量. 设直线A i D 与平面BC i D 所成角为0, -- >贝U sin 0= |cos n , DA ； | = 1 n DA|n | 甌|44,解得*= 2或*= 8, 5即 AA 1= 2 或 AA 1= 8. 考点三二面角［师生共研过关］［典例精析］如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点 O , AB = 5, AC = 6, 5点E , F 分别在 AD , CD 上，AE = CF = 5 , EF 交BD 于点H-将厶DEF4 沿 EF 折到△ D ' EF 位置，OD '=〔10.(1)证明：D ' H 丄平面 ABCD ; ⑵求二面角 B-D ' A-C 的余弦值.［解］(1)证明：由四边形 ABCD 为菱形，得 AC 丄BD. 由 AE = CF = 5，得 ADE = CCD ，所以 EF // AC. 因此EF 丄DH ，从而 EF 丄D ' H.由 AB = 5, AC = 6，得 DO = BO = AB 2 — AO 2 = 4.所以 OH = 1, D ' H = DH = 3,则 OD ' 2= OH 2+ D ' H 2,所以 D ' H 丄 OH. 又OH A EF = H ，所以D ' H 丄平面 ABCD.如图所示.则 B(5,0,0), C(1,3,0), D ' (0,0,3), A(1, — 3,0), (由口诀“起点同”，我们先求出起点相同的 3个向量.)所以-? = (4,3,0),AD ； = (— 1,3,3), —； = (0,6,0).n DC i 则n •DB =0,=0,4y +入尸0, 即3x = 0,由EF // AC 得 OH = AE = 1DO = AD = 4’ ⑵以H 为坐标原点，HB , HF , HD ' 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系H-xyz,(由口诀“棱排前”，我们用行列式求出两个平面的法向量. 由［八—1,3,34,可得平面 ABD '的法向量n i = (-3,4,— 5),AD ' = -1, 3, 3 ,由＜ _、 1/AC = 0, 6, 0 ,可得平面 AD ' C 的法向量n 2= (- 3,0,- 1).所以二面角B-D ' A-C 的余弦值为7f.［解题技法］(1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面 角的大小可能相等，也可能互补•所以，两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可 能存在正负号的差异.(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们 给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀“起 点同，棱排前”，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等.［口诀记忆］ 二面角，求余弦; 起点同，棱排前.［过关训练］如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD , △ DAB ◎△ DCB , E 为线段 BD 上的一点，且 EB = ED = EC = BC ,连接 CE 并延 长交AD 于F.(1) 若G 为PD 的中点，求证：平面 PAD 丄平面CGF ; (2) 若BC = 2, PA = 3，求二面角 B-CP-D 的余弦值. 解：(1)证明：在厶 BCD 中，EB = ED = EC = BC , 故/ BCD = 90 ° / CBE = / BEC = 60 °•/△ DAB ◎△ DCB ,•••/ BAD = Z BCD = 90° / ABE = Z CBE = 60° ••丄 FED =Z于是cos 〈门门2〉= n i n 2 =座 |n i | |n 2| 25123 .二 3 2 4BEC = Z ABE = 60 ° ••• EF 丄 AD , AF = FD. 又PA 丄平面 ABCD ,• GF 丄平面 ABCD , •/ AD ?平面 ABCD ,• GF 丄 AD. 又 GF n EF = F ,••• AD 丄平面 CGF. 又AD ?平面PAD ，•平面 PAD 丄平面 CGF.(2)以A 为坐标原点，射线 AB , AD , AP 分别为x 轴，y 轴，z 貳 C(3, 3, 0), D(0,2 3, 0), P(0,0,3), - > _ --------------------> _ ------------------- > 故 CB = (-1, — 3, 0), CP = (— 3, — 3, 3), CD = (-3, 3, 0) • 设平面BCP 的一个法向量为 n i = (1, y i , z i ), 设平面DCP 的一个法向量为 n 2= (1, y 2 , z 2), 即 n 2= (1, 3 , 2).由图知二面角 B-CP-D 为钝角,所以二面角B-CP-D 的余弦值为—七4 •课时跟踪检测、题点全面练• AB // EF , •••/ EFD =/ BAD = 90° , 又 PG = GD , • GF // PA. 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0) , B(2,0,0), 则 n 1-CB = 0,n 1 B= 0,即' f 亚 —1—血=0, , y1=—3 ,厂解得/i — 3—寸 3y 1 + 3z 1= 0, = 2L z1=3即n 1 =n 2 CD = 0, 则 一n 2 — = 0,所以 cos 〈 n 1, n 1 n 2n 2〉=|n 1||n2| 1釘》即』—3+ 0,i — 3— ^3y ?+ 3z 2= 0,解得1.如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知M , N 分别是BD 和AD 的中点，贝V B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为()y 2= V 3, z= 2,取-丄」li3.在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中，AA i = 2，二面角B-AA i -C i 的大小为60°点B 到平面 ACC i A i 的距离为.3,点C 到平面ABB i A i 的距离为2.3,则直线BC i 与直线AB i 所成角的 正切值为（ ）A. 7B. 6B.30 75 C. 30 To" D. 15 75 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系•设正方体的棱长 为 2,贝V B i (2,2,2), M(i,i,0) , D i (0, 0,2), N(i,0,0), • E3i M = (— i , —> —i ,— 2), D i N = (i,0,— 2),•- B i M 与D i N 所成角的余弦值为—M —^1|B i M| |D i N|Ci|— [+ 4| =^30 i + i + 4x i + 4 i0. 2.如图，已知长方体 ABCD-A i B i C i D i 中，AD = AA i = 1, AB = 3, iE 为线段AB 上一点，且AE = §AB ,则DC i 与平面D i EC 所成角的正 弦值为（ ） 3/35A.35B V解析：选A 如图，以D 为坐标原点, 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, E(i,i,0), C(0,3,0), —> —> ••• DC i = (0,3,i), D i E = (i,i ,— i), -- > D i C = (0,3,— i). DA , DC , DD i 所在直线 C\则 C i (0,3,i), D i (0,0,i), B设平面D i EC 的法向量为n = （x , y , z ）, -- > n D i E = 0, 则s-- >[n D i C = 0,x + y — z = 0, 即 f 取 y = i ,得 n = (2,i,3).3y — z = 0, …cosnDC i n 3,35 |-荷 35• DC i 与平面D i EC 所成的角的正弦值为3 35 35 .C. 5D . 2解析：选A 由题意可知，/ BAC = 60°点B 到平面ACC I A I 的距离为 护，点C 到平 面 ABB 1A 1 的距离为 2 3,所以在三角形 ABC 中，AB = 2, AC = 4, BC = 2 3, / ABC = 90°-- > -- > ---- > --- > --- > --- > 则 AB i BC i = (BB i - BA) (BB i + BC) = 4,|A E J 1|= 2迄，|BC 1|= 4,—FAB 1 •BC 2cos AB 1, BC 1= 1=F F 4 |AB 1| |BC|-- > -- > L故 tan AB 1, BC 1 = 7.4.如图，正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等， E , F , G 分别为AB , AA 1, A 1C 1的中点，贝V B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为B.|C •讦 10解析：选A 设正三棱柱的棱长为 2,取AC 的中点D ，连接DG , DB ，分别以DA , DB , DG 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系，如图所示，则 B 1(0, ,3, 2), F(1,0,1), $ 于,0 , G(0,O,2),B11F = (1，-V 3-1),£，-爭，1， "F = (1,0,— 1).设平面GEF 的法向量n = (x , y , z),取 x = 1,则 z = 1, y = 3,故n = (1, 3, 1)为平面GEF 的一个法向量, 所以 cos 〈n ,即 > =1 — 3— 1= —3 寸5“ 5D •語 10则,"G IF n = 0,即 1x-吕+z =，5'所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为3 5.5.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E 为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()--A1D = (0,1，一 1),设平面A 1ED 的一个法向量为 m = (1, y , z),y — z = 0, i 1J —2z = 0y= 2,• n 1 = (1,2,2).z = 2,又平面ABCD 的一个法向量为 n 2= (0,0,1), ••• cos 〈n 1, n 2〉=f = 3.2 3X 132即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为亍 6.如图，菱形 ABCD 中，/ ABC = 60° AC 与BD 相交于点 丄平面 ABCD , CF // AE , AB = 2, CF = 3.若直线 OF 与平面 BED 角为45°则AE =解析：如图，以O 为坐标原点，以 OA , OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，以过点0且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.设 AE = a ,则 B(0,3, 0), D(0，— 3, 0), F( — 1,0,3), E(1,0,a),^-F = (— 1,0,3),萌=(0,2 3, 0), —T = (— 1, 3,— a).设平面BED 的法向量为n = (x , y , z),则 y = 0,令 z = 1,得 x = — a ,1 A — A.2 2 B・2解析：选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设棱长为1, 则 A 1(0,0,1), E 1, 0, 2 , D(0,1,0),冲;[L\Jt 1Af\jfr—> A i E =1， 0,-2 ，- --- >n 1 A 1D = 0,n •DE = 0,则一即n 击=0, j2>/3y = 0, —x + 雨 y — az = 0,所成的O , AE--n= (—a,0,1),— n ・0F a+ 3 cos〈 n, OF〉= =——2.|n| |0?| 『+ 仃8 * 10•••直线OF与平面BED所成角的大小为45°._|a+ 3|_ = _J …a2+ 1X 10 2，1 解得 a =2 或a= —2(舍去)，••• AE = 2.答案：2 7.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD轴, 解析：以O为坐标原点，OB, OC, OP所在直线分别为x轴，y z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题知，OA= OB = 2,则A(0, —2,0), B(2,0,0), P(0,0,2), E(1, —1,0), F(0,=(1, —1,0) , OF = (0 , —1,1),设平面OEF的法向量为m= (x , y , z),m-OE = 0 ,则一m-OF = 0,x—y= 0 —y+ z= 0.令x = 1,可得m= (1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n = (0,0,1),n> mn =込冋冋3由图知二面角F -OE -A为锐角，所以二面角F-OE-A 的余弦值为二3.(2)当三棱锥M-ABC 体积最大时，求平面 MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值. 解：⑴证明：由题设知，平面 CMD 丄平面 ABCD ，交线为CD.因为BC 丄CD , BC ?平面 ABCD ,所以BC 丄平面CMD ,又DM ?平面 CMD ，所以BC 丄DM.因为M 为CD 上异于C , D 的点，且DC 为直径, 所以DM 丄CM. 又 BC n CM = C , 所以DM 丄平面BMC. 因为DM ?平面AMD , 所以平面AMD 丄平面BMC. (2)以D 为坐标原点，t —A C 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.当三棱锥M-ABC 的体积最大时，M 为"CD 的 中点.由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M(0,1,1), A M =(—2, 1,1), = (0,2,0), —= (2,0,0).设n = (x , y , z)是平面 MAB 的法向量,—2x + y + z = 0,即彳可取n = (1,0,2),2y = 0.又^^X 是平面 MCD 的一个法向量,丄岂-55, sin 〈n , D>=午5.|n | |DA|答案:3n AM = 0, 则S 一n -A B = 0,所以 cos9. (2018全国卷H )如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB = BC = 2 2, PA = PB = PC = AC = 4, O 为 AC 的中点.(1) 证明：PO 丄平面ABC ;(2) 若点M 在棱BC 上,且二面角 M -PA-C 为30°求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.解：(1)证明：因为 PA = PC = AC = 4, O 为AC 的中点， 所以 PO 丄AC ,且 PO = 2 3.连接 OB ,因为 AB = BC^-^AC ,所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是2*55 .4 .1所以△ ABC 为等腰直角三角形，且 0B 丄AC , 0B = -AC = 2. 所以 P02+ 0B 1 2= PB 2，所以 PO 丄 OB. 又因为OB Q AC = O , 所以PO 丄平面 ABC.(2)以O 为坐标原点，OE3的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系 O-xyz 由已知得 O(O,O,O)，B(2,0,0)，A(0，— 2,0), C(0,2,0), P(0,0,2 3),—A P = (0,2,2 3).取平面PAC 的一个法向量 —OB = (2,0,0). 设 M(a,2 — a,0)(0 v a < 2),则 AM = (a,4— a,0). 设平面PAM 的法向量为n = (x , y , z),AP n = 0, 由$ —A ivt n = 0,令y=. 3a ，得z = — a , x = 3(a — 4)，所以平面 PAM 的一个法向量为 n = ( 3(a — 4), 』3a ,—a),亦(a- 4)2 ,3 a —4 2+ 3a 2+ a 2得：2y +2辰=0,、ax + (4 — a y = 0,4 .所以cos 〈 OB , n 〉厶/3|a — 4|2 .3 a —4 2+ 3a 2 + a 24解得a = 4或a =— 4(舍去). 所以n =—又氏=(0,2,— 2 3),8、3十8、3 3 3 V34+ 12「所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为、专项培优练由已知可得|cos 〈 OB ,|= cos 30=于,素养专练 学会更学通所以 所以 cos 〈 PC? , n >%Ai尸E *⑵若/ BAD = 60°求二面角 B-OB i -C 的余弦值. 解：(1)证明：T A i O 丄平面ABCD , BD ?平面ABCD , 二 A i O 丄 BD.•••四边形 ABCD 是菱形，••• CO 丄BD.■/ BD ?平面 BB 1D 1D , •/ AB = 2, AA i = 3,Z BAD = 60° • - OB = OD = 1, OA = OC = \-'3, • "O B = (1,0,0), B —?| = AA 1= (0, V 3, ^6),O E?|= OB + E —E L |= (1，羽,V 6).设平面OBB 1的法向量为n = (x , y , z),即x = 0,x + . 3y + 6z = 0.[OB •= 0,则—>OB 1 n = 0,2.［直观想象、数学运算］如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，/ ADC =90° AB // CD , AB = 2CD.1.［直观想象、数学运算］如图，四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1的底 =3.(1)证明：平面 A 1CO 丄平面 BB 1D 1D ;••• A1on CO = O , •• BD 丄平面A 1CO.OA 1 = AA ：— OA 2= 6. 则 O(0,0,0), B(1,0,0), C(0,3, 0), A(0, — 3, 0), A 1(0,0,6),令y =. 2,得z =— 1,「. n = (0, ■. 2, — 1)是平面 OBB1的一个法向量. 同理可求得平面 OCB 1的一个法向量 m = ( 6, 0,— 1), n m 1 21cos n , m == ---------- =|n ||m V 3 x V 7 21由图可知二面角 B-OB 1-C 是锐二面角, x/21•二面角B-OB 1-C 的余弦值为右.平面PAD 丄平面 ABCD , PA = PD ，点E 在PC 上, DE 丄平面 PAC.面ABCD 是菱形, AC n BD = O , A 1O 丄底面 ABCD , AB = 2, AA 1•平面A 1CO 丄平面BB 1D 1D.(2) •/ A 1O 丄平面 ABCD , CO 丄 BD , • OB , OC , OA 1 两两 垂直，以O 为坐标原点，6B , oc , O X 的方向分别为x 轴, y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.⑴求证：PA 丄平面PCD ;(2)设AD = 2，若平面PBC 与平面PAD 所成的二面角为 45°求DE 的长. 解：⑴证明：由DE 丄平面PAC , 得 DE 丄PA ,又平面 PAD 丄平面 ABCD ，平面 PAD A 平面 ABCD = AD , CD 丄AD , 所以CD 丄平面PAD ,所以CD 丄PA , 又CD A DE = D ，所以PA 丄平面 PCD. ⑵取AD 的中点O ,连接PO , 因为PA = PD ,所以PO 丄AD ,又平面 PAD 丄平面 ABCD ，平面 PAD A 平面所以PO 丄平面 ABCD ,得 PA = PD = 2, PO = 1,设 CD = a ,则 P(0,0,1), D(0,1,0), C(a,1,0), B(2a ,— 1,0), 则亦=(-a,2,0), "P C = (a,1,— 1).设m = (x , y , z)为平面PBC 的法向量,PBC 的一个法向量,由⑴知n = DC = (a,0,0)为平面 PAD 的一个法向量. 由|cos m n | =址也== 2,解得 a =#°,即 CD = -^°,所以在 Rt △ PCD i m i n | ^10a 2+ 4 2 5 5中，PC =警，53.［直观想象，数学运算］如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面PAB 丄平面 ABC , AB = 6,BC = 2 3, AC = 2 6, D , E 分别为线段 AB , BC 上的点，且 AD = 2DB , CE = 2EB , PD 丄 AC.(1) 求证：PD 丄平面ABC ;(2) 若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大 小.ABCD = 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,由(1)得 PA 丄 PD ，由 AD = 2m l 3C = 0,由s-- C—ax + 2y = 0, 得ax + y — z = 0,令 x = 2，贝U y = a , z = 3a ，故 mi = (2, a,3a)为平面 由等面积法可得 DECD PD PCAD ,解：(1)证明：T AC= 2 6, BC= 2 3, AB = 6,2 ,••• AC 2 + BC 2= AB 2,：/ ACB = 90° ••• cos/ABC =铲=于. 又易知BD = 2,• CD 2 = 22 + (2 3)2 - 2 X 2 X 2 3cosZ ABC = 8, • CD = 2 2,又 AD = 4,• CD 2+ AD 2= AC 2,： CD 丄 AB.•••平面 PAB 丄平面 ABC ，平面 PAB A 平面 ABC = AB , CD ?平面 ABC , • CD 丄平面PAB ,又 PD ?平面 PAB ,： CD 丄 PD , •/ PD 丄 AC , AC A CD = C , • PD 丄平面ABC.(2)由(1)知PD , CD , AB 两两互相垂直，•可建立如图所示的空间 直角坐标系D-xyz,•••直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45°即/ PAD = 45° • PD = AD = 4,则 A(0, - 4,0) , C(2 2 , 0,0) , B(0,2,0), P(0,0,4),•"C B = (-2 2 , 2,0) , —A C = (2 2 , 4,0) , "PA = (0 , — 4, — 4).•/ AD = 2DB , CE = 2EB , • DE // AC , 由(1)知 AC 丄 BC , • DE 丄 BC ,又PD 丄平面 ABC , BC ?平面 ABC , • PD 丄BC , •/ PD A DE = D , • CB 丄平面 PDE , • "CE? = ( — 2 2 , 2,0)为平面 PDE 的一个法向量. 设平面PAC 的法向量为n = (x , y , z), n "A C C = 0 , 则 一 n "A = 0 ,令 z = 1,得 x = 2 , y =— 1 ,• n = ( 2 , — 1,1)为平面PAC 的一个法向量.• cos— 4 — 2y[3'.4X 122,即还+ 4y = 0 ,—4y — 4z = 0 ,•平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30°8. (2018全国卷川)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C D所在平面垂直，M是C D上异于C, D的点.(1)证明：平面AMD丄平面BMC ;2 ,。
