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2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高二上学期期中联考数学试题(解析版)

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2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为（ ） A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)9x y -++= C ．22(2)(1)3x y -+-= D ．22(2)(1)9x y -+-=【答案】B【解析】根据定义即可求解 【详解】圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为：22(2)(1)9x y -++= 故选： B 【点睛】本题考查圆的标准方程的写法，属于基础题2．如图O A B '''V 是水平放置的OAB V的直观图，则OAB V 的面积为（ ）A ．12B ．6C ．10D ．24【答案】B【解析】结合斜二测法的画法原理求出2''OA O A =，''OB O B =，再结合面积公式求解即可 【详解】由斜二测画法特点得2''4''3OA O A OB O B ⎧==⎪⎨==⎪⎩，OAB ∆为直角三角形，13462OAB S ∆=⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题考查由直观图求平面图的面积，属于基础题3．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A ．64 B ．16 C ．96 D ．无法确定 【答案】C【解析】试题分析：由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．3±B ．C ．2±D ．【答案】C【解析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0）， 1,2b =∴=±. 故选C 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5．若1l 、2l 为异面直线，直线31//l l ，则3l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交【答案】D【解析】解：因为12l l 、为异面直线，直线31//l l ，则3l 与2l 的位置关系是异面或相交，选D6．（2014秋•湖南期末）两圆x 2+y 2=9和x 2+y 2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 【答案】B【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R 和r ，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．7．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】试题分析：A中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：是两条相交直线，结论才成立，故A项错误；B中，因为，所以. 又，所以，故B项正确；C中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面外，结论才成立，故C项错误；D中，与还可以相交或异面，故D项错误，故选B.【考点】空间中直线与平面的平行与垂直关系.8．正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正切值是( )A．22B．23C.23D．63【答案】A【解析】解：BB1与平面ACD1所成角即∠DD1O（O为下底面的中心）．设正方体的棱长为1，在直角三角形DD1O中，DO=22，DD1=1∴tan∠DD1O=2 29．如图，一个晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，设1AA 与面ABCD 所成角为α， 二面角1D AD B --为β，1AC 的长度为a ，则（ ）A ．αβ>，且3a =B ．αβ>，且6a =C ．b a >，且3a =D ．b a >，且6a =【答案】D【解析】可判断1A 在底面的投影一定在AC 上，设1A O ⊥底面于点O ，则1A AO α=?，设AD 的中点为E ，连接11,,A E BE A B ，则1A EB β=∠，结合三角函数的性质即可比较,αβ大小，而a 可通过()2111AC AC AB BC CC ==++u u u u ru u u r u u u r u u u u r 进行求解【详解】由题可知，1A 在底面的投影一定在AC 上，设1A O ⊥底面于点O ，则1A AO α=?，设AD 的中点为E ，连接11,,A E BE A B ，可判断1A AD ∆为等边三角形，1A E AD ⊥，同理CE AD ⊥，则1A EB β=∠，因为,αβ都为锐角，111111sin ,sin ,sin sin AO AO AA A E AA A Eαβαβ==>∴<Q ，αβ∴<， ()2111a AC AC AB BC CC ===++u u u u ru u u r u u u r u u u u r()22211126AB BC CC AB BC BC CC CC AB =+++⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r【点睛】本题考查由线面角的定义、面面角的定义比较大小，向量法在立体几何中求长度的应用，属于中档题10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面ABCD 内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332-【答案】C【解析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解 【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ =1DN MQ ==，故552NM DN MQ =-=故答案选：C本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题二、填空题11．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 .【答案】32cm 【解析】略12．已知向量(1,5,5)a =-r ，(2,1,7)b =r ，则a b +=r r _______________，⋅=r ra b _____________.【答案】()3,4,12- 32【解析】结合空间向量的加法和数量积公式对应的坐标运算即可 【详解】(1,5,5)a =-r ，(2,1,7)b =r ，()3,4,12a b +=-rr ，()12515732a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=r r故答案为：()3,4,12-；32 【点睛】本题考查空间向量的加法和数量积对应的坐标公式，属于基础题13．已知相交两圆221:4C x y +=，圆222,(2)4C x y -+=，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________. 【答案】1x = 3【解析】直接由两圆方程作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得3y = 结合12l y y =-即可求解 【详解】联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得3y =±，1223l y y =-=故答案为：1x =；23 【点睛】本题考查两圆的相交弦、弦长的求法，考查了直观想象，数学运算的核心素养，属于基础题14．棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D - 中，则异面直线1AD 与11A C 所成角的大小为____________，此正方体外接球的表面积为_____________.【答案】60︒ 23a π【解析】连接AC ，1CD ，则1D AC ∠即为异面直线1AD 与11A C 所成角，再结合正方体的外接球半径公式即可求解对应表面积 【详解】如图，连接AC ，1CD ，11AC AC Q P ，∴异面直线1AD 与11A C 所成角即为1D AC ∠，又11AD AC DC ==Q ，160D AC ∴∠=︒；正方体外接球半径为：2r a =，则正方体外接球的表面积为： 22234434S r a a πππ==⨯=故答案为：60︒；23a π 【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，正方体的外接球表面积求解，考查了数形结合，直观想象，数学运算的核心素养15．已知圆22C 9x y +=：，过定点(2,2)P 的动直线l 与圆C 交于,M N 两点， 则PM PN ⋅=u u u u r u u u r______________.【答案】1-【解析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论，当直线斜率存在时，联立直线和圆，结合韦达定理即可求解 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：2x =，将2x =代入229x y +=得y =设点()(2,5,2,M N，则)()221PM PN ⋅=⨯=-u u u u r u u u r；当直线斜率存在时，设直线方程为：()22y k x =-+，()()1122,,,M x y N x y联立()()()()2222221444190 229k x k k x y k y x x k ⎧⎪⇒++-+--=⎨=+=-+⎪⎩ ()212221224414191k k x x k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⇒⎨--⎪⋅=⎪+⎩，则()()11222,2,2,2PM x y PM x y =--=--u u u u r u u u u r ， ()()()()()()()21212122222122PM PN x x y y k x x ⋅=--+--=+--u u u u r u u u r()()()()()2222212122224194411241241111k k k k k x x x x k k k k ⎡⎤---+=+-++=+-⋅+⋅=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦综上所述，1PM PN ⋅=-u u u u r u u u r故答案为：1-【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解向量数量积的定值问题，解题过程中易遗漏斜率不存在的情况，考查了数形结合思想，数学运算的核心素养，属于中档题 16．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______【答案】2S【解析】由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ，我们易确定圆锥的母线长l 与底面半径R 之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论． 【详解】如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为R若圆锥的侧面展开图为半圆 则2πR ＝πl ， 即l ＝2R ，又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ， 则圆锥的底面面积是2S． 故答案为2S ． 【点睛】本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．17．己知动点(,)P m n 在圆221O x y +=：上，则31n m --的取值范围是____________，若点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点(1,1)B ，则2||||PA PB +的最小值为____________. 【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10【解析】（1）令31nkm-=-，则所求问题转化为求圆上任意一点到()1,3的斜率范围，数形结合确定边界即可求解；（2）分析2||||PA PB+特点可知，两线段前的系数并不统一，如果要转化成最值问题，需将2PA转化，画出图像，结合相似三角形，可得2PA PQ=，点Q为()2,0-，则所求问题转化为求||||PQ PB+距离最值，当点P在BQ连线与圆的交点上时，有最小值【详解】（1）如图，令31nkm-=-，所求问题等价于求圆上动点与()1,3连线的斜率范围，当斜线斜率不存在时，相切于右边界，当直线斜率存在时，若相切于第二象限，设直线方程为()13y k x=-+，则2311kdk-==+，解得43k=，则31nm--的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）如图所示，当P在x轴上时，()()121,0,1,0P P-，21112||||212152P A PB+=⨯+=2232||||2142P A P B+=⨯+=；当P不在x轴上时，11,2PO OA==，作点Q为()2,0-，则有12OA OPOP OQ==，则OAP OPQ∆∆:，则有12APPQ=，即2PA PQ=，则2||||||||PA PB PQ PB+=+，当点P 在BQ =综上所述，2||||PA PB +故答案为：4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查由点与圆的位置关系求斜率范围，求动点到两定点间距离最值问题，分类讨论、数形结合思想，转化与化归思想，综合性强，属于难题三、解答题18．已知圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标为(2,1)-，且过点(0,3). （1）求D ，E ，F 的值；（2）判断直线20x y --=的位置关系.【答案】（1）4,2,3D D F ==-=-（2）相离【解析】（1）将一般式化成标准式，采用待定系数法即可求解；（2）由圆心到直线距离d 与r 的关系判断即可；【详解】（1）22222240224D E D E F x y Dx Ey F x y +-⎛⎫⎛⎫++++=⇒+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Q 圆心坐标为(2,1)-，∴4,2D E ==-，又Q 过点(0,3)，3F ∴=-（2）由（1）知，圆的标准方程为：()()22218x y ++-=，r =距离2d ==>，所以直线与圆相离 【点睛】本题考查圆的一般式到标准式的配方过程，判断直线与圆的位置关系，属于基础题 19．如图四棱锥P ABCD -， //AB CD ， AD DC ⊥，PD ⊥平面ABCD ，且1AB AD PD ===，2DC =.（1） 求证：//AB 平面PDC ；（2） 求PB 与平面PDC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）3 【解析】（1）由//AB CD ，CD ⊂平面PDC 易证；（2）设CD 中点为E ，连接BE ，PE ，则PB 与平面PDC 所成角为BPE ∠，通过几何关系即可求解；【详解】（1）//,AB CD AB ⊄Q 平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，AB ∴P 平面PDC ； （2）设CD 中点为E ，连接BE ，PE ，1,2,AB AD PD DC AD DC ===⊥=Q ，,,AB DE AB DE ∴=P BE CD ⊥，又Q PD ⊥平面ABCD ，PD BE ∴⊥，CD PD D =I ，BE ∴⊥平面PCD ，则PB 与平面PDC 所成角为BPE ∠， 2PE =，1BE =，2tan 22BE BPE PE ∠===，则3sin BPE ∠=【点睛】 本题考查线面平行的证明，求线面角问题，数形结合思想，考查了直观想象和数学计算的核心素养，属于中档题20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，120BCD ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，PC a =，E 为PA 的中点，O 为底面对角线的交点；（1）求证：AC ⊥平面EDB ；（2）求二面角P AB C --的正切值.【答案】（1）证明见详解（2）23 【解析】（1）连接EO ，通过求证,AC BD AC EO ⊥⊥即可求证；（2）设AB 中点为F ，连接,CF PF ，可证PFC ∠即为二面角P AB C --的平面角，再结合几何关系求解即可；【详解】（1）如图，连接EO ，Q E 为PA 的中点，O 为菱形对角线的交点，O ∴为AC 中点，EO PC ∴P ，又PC ⊥Q 平面ABCD ，,PC AC EO AC ∴⊥∴⊥，又Q 菱形的对角线互相垂直平分，AC BD ∴⊥，又EO BD O =I ，∴AC ⊥平面EDB ； （2）如图，设AB 中点为F ，由底面ABCD 为菱形可知，ABC V 为等边三角形，CF AB ∴⊥，又Q PC ⊥平面ABCD ，PC AB ∴⊥，AB ∴⊥平面PCF ，AB PF ∴⊥，PFC ∴∠为二面角P AB C --的平面角，3,2CF a PC a ==，故23tan PC PFC CF ∠== 【点睛】 本题考查线面垂直的证明，求二面角的正切值，属于中档题 21．已知直线60l x y +-=：，过直线上一点P 作圆224x y +=的切线，切点分别为A B ， ，求：（1）四边形PAOB 面积的最小值.（2）此时四边形PAOB 外接圆的方程·【答案】（1）214（2）22339222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）12222PAOB PAO S S OA AP OA AP r AP AP ∆==⨯⨯⨯=⨯=⨯=，要求四边形PAOB 面积的最小值即求AP 最小值，当OP l k k ⊥时取到，结合点到直线距离即可求解；（2）由（1）可得32OP =，故外接圆半径为12r OP =且在线段OP 中点，求出直线方程，即可确定圆心和半径，进而求解【详解】（1）12222PAOB PAO S S OA AP OA AP r AP AP ∆==⨯⨯⨯=⨯=⨯=， 2224AP OP OA OP =-=-Q ，要使AP 最小，即求OP 最小值，由圆心到直线距离公式可求min 322OP d ===，故2414AP OP =-=，[]min 214PAOB S ∴=（2）由（1）知，32OP =OP 中点，设为()',O a a ，则外接圆半径322R =，此时直线斜率1OP k =，直线OP 的方程为：y x =， 则22323'222OO a a a a =+==⇒=， 故圆心为33',22O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，外接圆方程为：22339222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解切线最值问题，四边形外接圆标准方程的求法，数形结合思想，属于中档题22．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，PAD △是等边三角形，M N ，分别为BC ，PD 的中点．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）若二面角P AD C --的大小为 3π，求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）由//AB CD ，AB Ì平面PAB 易证；（2）作AD 的中点O ，连接,MO OP ，PM ，再作PO 中点Q ，连接QN ，可证明二面角P AD C --的平面角为POM ∠，直线MN 与平面PAD 所成角为MNQ ∠，通过几何关系可进一步求解；【详解】（1）//AB CD Q ，AB Ì平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，∴//CD 平面PAB ； （2）如图，作AD 的中点O ，连接,MO OP ，PM ，再作PO 中点Q ，连接QN ， PAD QV 是等边三角形，PO AD ∴⊥，又//AB CD ，AB AD ⊥，,O M 分别为,AD BC 中点，OM AB ∴P ，OM AD ∴⊥，二面角P AD C --的平面角为POM ∠， 又22BC CD AB ===，设CD 中点为F ，则1CF =，3BF AD ==故33322PO=⨯=，又()1322MO AB CD=+=，3POMπ∠=，故POM∆为等边三角形，33332QM=⨯=，134QN AD==，故MQ PO⊥，由面面垂直的性质可知，MQ⊥平面PAD，故直线MN与平面PAD所成角为MNQ∠，334tan33MQNMQQN∠===【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的正切值的求解，考查了直观想象，数学计算，逻辑推理的核心素养，属于中档题。

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浙江省嘉兴市高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版

浙江省嘉兴市高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版

考生须知：全卷分试卷和答卷两部分。

试卷共4页，有三大题，24小题，满分100分，考试时间120分钟。

参考公式：侧面积：S 体积：V圆柱：2S rl π= 柱体：V sh =圆锥： S rl π= 锥体：13V sh =圆台： )S r R l π=+（ 圆台：1()3V S S S S h =++上上下下 球： 24S R π= 球：343V R π=一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（1）若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ▲ ）A. 3-B. 3C. 33-D. 33 （2）若a ,b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 和α的位置关系是（ ▲ ）A ．平行B ．相交C ．b 在α内D ．平行、相交或b 在α内 （3）下列命题正确的是（ ▲ ）Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 Ｄ．四边形确定一个平面 （4）点P 在直线x +y –4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值是( ▲ ) A ．2 B. 22 C. 6 D.10 （5）若某空间几何体的三视图如右图所示，则 该几何体的体积是（ ▲ ）A. 1B. 2C.13 D. 23（6）设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //（7）两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ▲ ）A ．4B ．21313 C ．71020 D ．51326（8）如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ． 异面 D ．相交成60°（9）长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）A ．50πB ．252πC ．200πD ．202π（10）直线xsinα+ycosα+1=0与直线xcosα－ysinα+2=0的位置关系是（ ▲ ） A 平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定（11）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ▲ ） A 、32 B 、54 C 、67D 、65（12）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：① ∆DBC 是等边三角形； ② AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是26. 其中正确命题的序号是（ ▲ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 812.直线x+y=5和圆O：x2+y2−4y=0的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心3.如图，正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，则直线DM与平面ABCD所成角的正切值为()A. √56B. √55C. √5D. √24.下列三视图表示的几何体是()A. 正六棱柱B. 正六棱锥C. 正六棱台D. 正六边形5.l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是()A. 如果l1//α，l2//α，则一定有l1//l2B. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1//αD. 如果l1⊥α，l2//α，则一定有l1⊥l26.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F，G分别是棱BC，BB1的中点，则AC与GF所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为()A. A1C和AB1，BC1都垂直B. A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C. A1C和AB1，BC1都不垂直D. A1C和AB1不垂直，和BC1垂直8.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在A、B两点恰好关于直线l:x−y−1=0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 1210.已知AB是平面α的斜线段，A为斜足，若AB与平面α成60°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交α于点P，则动点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.方程x2+y2+2ax−by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a=________，b=________，c=________．12.设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=35，△PF1F2的面积为6，则|PF2|=______．13.若过点M( 0，2 )作圆x2+y2−2x−1=0的切线，则切线长为______．14.已知球的直径为4，则该球的表面积为__________．15.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为______ ．16.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是_________．17.在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点(靠近C处)，F为线段EC上一动点(包括端点)，现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D−AF−B平面角余弦值的变化范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.已知△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)．(1)求△ABC外接圆C的方程．(2)过点P(−1,5)作圆C的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为√22，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF=1．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点D(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(M在D，N之间)，求S△ODMS△ODN(O为坐标原点)的取值范围．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，△PAB是等边三角形．(Ⅰ)证明：AB⊥PD；(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角A−PB−C的余弦值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−√22,√32)，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选C．2.答案：A解析：解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+(y−2)2=4，可得：圆心O(0,2)，半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d=√2=3√22>2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选A将圆O的方程化为标准方程，找出圆心O坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x+y=5的距离d，判断d与r的大小关系，即可得出直线与圆O的位置关系．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离(d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径)．3.答案：B解析：【分析】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题．过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，则∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，由此能求出直线与平面所成角的正切值．【解答】解：过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，∵正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，∴MN//CG，∵CG⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，设正方体ABCD−EFGH的棱长为a，则MN=12a，DN=√a2+(12a)2=√52a，∴tan∠MDN=MNDN =12a√52a=√55．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，属于基础题．由题目中的三视图中，正视图和侧视图为矩形，易得这是一个柱体，又由俯视图即可判断几何体的形状．【解答】解：∵正视图、侧视图是矩形，俯视图是正六边形，∴该几何体是六棱柱，故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1//α，l2//α，则有l1//l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1//α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2//α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2//a，∴l1⊥l2，故D正确．故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，则∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，由此解答即可．【解答】解：连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，所以FG//B1C，所以∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，在正方体中易证AC=B1C=AB1，所以△ACB1为等边三角形，所以∠B1CA=60°．故选C．7.答案：A解析：解：设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，∵△ABC 是正三角形，∴AD ⊥BC ，由正三棱柱的性质可知，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C =BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴B 1D 是AB 1在平面BB 1C 1C 上的射影， 同理，A 1E 是A 1C 在平面AA 1B 1B 上的射影， ∵AB 1⊥BC 1，由三垂线逆定理可知，B 1D ⊥BC 1，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1，∴A 1E ⊥AB 1，由三垂线定理可知，AB 1⊥A 1C ； 取AC 中点F ，连结BF 、C 1F ，∵△ABC 是等边三角形，∴BF ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，∴BF ⊥AA 1， ∵AA 1∩AC =A ，∴BF ⊥平面ACC 1A 1，∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BF ⊥A 1C ，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1≌长方形AA 1C 1C ，∴A 1C ⊥C 1F ，由三垂线定理可知，BC 1⊥A 1C . ∴A 1C 和AB 1，BC 1都垂直． 故选：A ．设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A 1C 和AB 1，BC 1都垂直．本题考查线线关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理的合理运用．8.答案：C解析： 【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A 错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B 错误； 由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的几何意义及直线与椭圆的位置关系，属于一般题． 利用直线AB 与椭圆交点的中点为(2,1)建立关系式，即可得解． 【解答】解：由题知AB 中点坐标为(2,1)，直线AB 斜率为−1， 则直线AB 方程为y −1=−(x −2)， 即y =−x +3，由{y =−x +3x 2a 2+y 2b 2=1消去y 得，(a 2+b 2)x 2−6a 2x +9a 2−a 2b 2=0，所以6a 2a 2+b 2=2×2，有a 2=2b 2，则a 2=2b 2=2(a 2−c 2)，所以e =c a=√12=√22， 故选C ．10.答案：D解析：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题AB 与平面α成60°角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60°角，且交α于点P ， 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ．用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．本题考查点的轨迹方程的判断，考查圆锥曲线的定义及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11.答案：−2；4；4解析： 【分析】本题考查圆的标准方程及一般方程，属于基础题．利用圆心与半径可写出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解． 【解答】解：由于圆心为C(2,2)，半径为2，故圆方程为：(x−2)2+(y−2)2=22，即x2+y2−4x−4y+4=0，故2a=−4，−b=−4，c=4，故a=−2，b=4，c=4，故答案为−2；4；4．12.答案：3解析：解：椭圆方程3x2+4y2=48可化为，x2 16+y212=1，∴a=4,b=2√3．∴c=2，∴|F1F2|=4，∵△PF1F2的面积为6，∴12|F1P|⋅|F1F2|⋅sin∠PF1F2=6，又∵sin∠PF1F2=35，∴|PF1|=5，根据椭圆定义易知，|PF2|=3．故答案为：3．将椭圆方程化为标准方程，易得a=4，b=2√3，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可．本题主要考查椭圆的定义三角形面积公式等基础知识，属于中档题．13.答案：√3解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=2，∴圆心A坐标(1,0)，半径|AN|=√2，又M(0,2)，∴|AM|=√(1−0)2+(0−2)2=√5，则切线长|MN|=√|AM|2−|AN|2=√3．故答案为：√3把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，根据题意画出相应的图形，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，切线的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即直线与圆只有一个交点，熟练掌握切线性质是解本题的关键．14.答案：16π解析：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：S=4πR2=16π．故答案为：16π．15.答案：24解析：解：∵F1，F2为椭圆x236+y216=1的两个焦点，∴由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=24，故答案为：24．△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．16.答案：√1010解析：【分析】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题．取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，根据FG ⊥平面BDD 1B 1，可知∠FB 1G 为B 1F 与平面BDD 1B 1所成角，在Rt △FB 1G 中求解即可，而AE//B 1F ，从而求出所求．【解答】解：取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，由正方体性质易知BB 1⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥FG ，又FG ⊥BD ，BD ∩BB 1=B ，BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1, ∴FG ⊥平面BDD 1B 1,∴∠FB 1G 为B 1F 与平面平面BDD 1B 1所成角，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，∴FG =√24，B 1F =√52， ∴sin∠FB 1G =√24√52=√1010， 而AE//B 1F ，所以直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为√1010． 故答案为√1010．17.答案：[19,14] 解析：解：如图，过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ， 则cosθ=OMOD ，设DF =x ，2≤x ≤3，由勾股定理，OD =√x 2+1，OF =√x 4x 2+1，OA =√1x 2+1，∴cosθ=OM OD =OAOF =1x 2在[2,3]上是减函数，∴19≤cosθ≤14．故答案为：[19,14].过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB 于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ，则cosθ=OM OD =OAOF =1x 2，从而求其取值范围． 本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解：(1)∵△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)，显然，故其外接圆圆圆心为斜边的中点即AB中点，其外接圆直径的长度为斜边的长度．∴△ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，∴△ABC外接圆C的方程为：(x−4)2+(y−3)2=25；(2)当直线l的斜率不存在时，x=−1，圆心(4,3)到直线x=−1的距离为4−(−1)=5，故直线x=−1为该圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设为k，则过点P(−1,5)的l的方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0，依题意，圆心(4,3)到直线l的距离d=2=2=5，解得：k=2120，∴l的方程为：21x−20y+121=0，综上所述，过点P(−1,5)作圆C的切线l的方程为：x=−1或21x−20y+121=0．解析：(1)依题意，易知ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，从而可得△ABC 外接圆C的方程．(2)分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在时，设为k两种情况讨论，分别利用圆心到直线的距离等于半径去解决问题即可．本题考查圆的一般方程与圆的切线方程的求法，利用圆心到直线的距离等于半径是求切线斜率(存在时)的关键，考查转化思想．20.答案：解：(Ⅰ)S△ABF=1，则bc=1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆C 的标准方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2，由{x =my +2x 22+y 2=1，得(2+m 2)y 2+4my +2=0， ∴△=16m 2−8(2+m 2)>0，解得m 2>2，∴y 1+y 2=−4m m 2+2，y 1y 2=2m 2+2，令， ∵|y 1|<|y 2|，∴0<t <1，则(y 1+y 2)2y 1y 2=t +1t +2=8m 2m 2+2=81+2m 2∈(4,8)，∴3−2√2<t <1，故为坐标原点)的取值范围为(3−2√2,1)．解析：(Ⅰ)由S △ABF =1，则bc =1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，解得即可求出椭圆的方程， (Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2.由此利用韦达定理得到为坐标原点)的取值范围(O 为坐标原点)．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的取值范围的求法，解题时要认真审题． 21.答案：(Ⅰ)证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，∵△PAB 是等边三角形，∴PO ⊥AB ，又∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DO ⊥AB ，∵PO ∩DO =O ，PO ，DO ⊂平面POD ，∴AB ⊥平面POD ，∵PD ⊂平面POD ，∴AB ⊥PD ．(Ⅱ)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面BCD =AB ，PO ⊥AB ，PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD∴PO ⊥DO ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，平面PAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， P(0,0,√3)，B(1,0，0)，C(2,√3,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−√3)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{x −√3z =02x +√3y −√3z =0, 令z =1，得x =√3，y =−1，∴n ⃗ =(√3,−1,1)，设二面角A −PB −C 的平面角为θ，θ为钝角，∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=−√55．解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，证明PO ⊥AB ，DO ⊥AB ，推出AB ⊥平面POD ，然后证明AB ⊥PD ．(Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，求出平面PAB 的一个法向量，平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −PB −C 的平面角的余弦函数值即可．22.答案：解：(1)由题意得：a =√2b,12a 2+34b 2=1⇒b =1,a =√2，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1;(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线P,Q 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 2+2y 2=2得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 令P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则有：x 1+x 2=−4km 1+2k ，x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由x 1x 2+y 1y 2=0，得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，∴(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0， ∴3m 2=2k 2+2，因为直线PQ 与圆相切，∴r 2=m 21+k 2=23，所以存在圆x 2+y 2=23， 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2+y 2=23，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=23满足题意．解析：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，推出a =√2b ，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a 、b ，即可得到椭圆C 方程；(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +b ，联立方程组，令P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合x 1x 2+y 1y 2=0，推出3m 2=2k 2+2，利用直线PQ 与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ 的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．。

2019-2020学年浙江省浙东北联盟(ZBD)高二(上)期中数学试卷试题及答案

2019-2020学年浙江省浙东北联盟(ZBD)高二(上)期中数学试卷试题及答案

2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆22143x y +=的焦点坐标为( )A ．(1,0)-，(1,0)B ．(C ．(0,1)-，(0,1)D ．(0,2．圆22:(1)1O x y -+=和直线:10l x y -+=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为( )A B C D 4．某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．6B ．4π+C ．22π+D ．2π+5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a α⊂，b α⊂B ．a α⊂，//b αC ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥6．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE 与11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E8．如图，60︒的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，斜率为1-的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形(OAMB O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为( )A B C D ．2310．斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成()ββα<角，交平面M于点B ，动点B 的轨迹图形为( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．圆224480x y x y +---=的圆心坐标为 ，半径为 ．12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，则椭圆的离心率为 ，过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则1||F A = ．13．已知圆22(2)5x y ++=外点(0,3)P ，过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长||PQ = ．14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．15．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长2BF 交椭圆于M 点，且△1F BM 是腰长为3的等腰三角形，则a = ．16．已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为 ，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为 ．17．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D AF B --的平面角余弦值的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E ，F 分别是棱BC ，1CC ，11B C 的中点．求证：（1）直线1//A F 平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面11BCC B ．19．已知关于x ，y 的方程22440x y x y m +-++=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围；（2）若4m =，过点(0,2)P 的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12，且点3(1,)2P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点(0,2)M -且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且(OAB O ∆为坐标原点）的面l 的方程．21．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是直角梯形，且//AD BC，AD CD⊥，60ABC∠=︒，22BC AD==，3PC=，PAB∆是正三角形．（1）求证：AB PC⊥；（2）求二面角P CD B--的平面角的正切值．22．已知椭圆222:1(1)xC y aa+=>．（1）若过点P的直线l与椭圆C恒有公共点，求实数a的取值范围；（2）若存在以点(0,2)B为圆心的圆与椭圆C有四个公共点，求实数a的取值范围．2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆22143x y +=的焦点坐标为( )A ．(1,0)-，(1,0)B ．(C ．(0,1)-，(0,1)D ．(0,【解答】解：椭圆22143x y +=，可得2a =，b =，所以1c =，椭圆的焦点坐标为：(1,0)-，(1,0)．故选：A ．2．圆22:(1)1O x y -+=和直线:10l x y -+=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解答】解：圆22:(1)1O x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1．∴圆心到直线10x y -+=1=>，∴直线与圆相离．故选：C ．3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为( )A B C D 【解答】解：连结1BC ， 11D C ⊥平面11BCC B ，11D BC ∴∠是直线1BD 与平面11BB C C 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为a ，则1BD =，1111cos BC D BC BD ∴∠===． 故直线1D B 与平面11BB C C故选：D ．4．某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．6B ．4π+C ．22π+D ．2π+【解答】解：根据三视图知，该几何体是左边为长方体，右边为半圆柱体的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积是211121222V V V ππ=+=⨯⨯+⋅⋅=+长方体半圆柱体．故选：D ．5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a α⊂，b α⊂B ．a α⊂，//b αC ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥【解答】解：两条不相交的空间直线a 和b ，有//a b 或a 与b 是异面直线， ∴一定存在平面α，使得：a α⊂，//b α．故选：B ．6．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【解答】解：取BD 中点O ，连结EO 、FO ， 设正四面体的棱长为a ，则//OF CD ，//OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结BG 、AG ， 则AG CD ⊥，BG CD ⊥， BGAG G =，CD ∴⊥平面ABG ，AB ⊂平面ABG ，CD AB ∴⊥， OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=．∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π．故选：B ．7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE 与11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【解答】解：A 不正确，因为1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面11ABB A ； C 正确，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为11A C 所在的平面与平面1ABE 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确； 故选：C ．8．如图，60︒的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB BD AB ==，,60AC BD <>=︒，∴,120CA BD <>=︒．CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++2226480268cos1200=++++⨯⨯⨯︒+ 68=．∴||217CD =．故选：A ．9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，斜率为1-的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形(OAMB O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为()ABCD ．23【解答】解：设AB l 方程y x m =-+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，由22221y x m x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：22222222()20a b x ma x a m a b +-+-=， 则2012222ma x x x a b =+=+，20222mb y a b =+， 得202013OMy b k x a ===，所以离心率c e a ===，故选：B ．10．斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成()ββα<角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆【解答】解：由题意，PA 看作定直线，PB 与PA 所成角是定值，看作PB 绕PA 旋转一周，得到圆锥型图形，因为PA 看作是定直线，则平面M 也是定平面，如图，动点B 的轨迹图形为椭圆． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．圆224480x y x y +---=的圆心坐标为 (2,2) ，半径为 ． 【解答】解：圆224480x y x y +---=，即22(2)(2)16x y -+-=，故它的圆心坐标为(2,2)4=， 故答案为：(2,2)；4．12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，则椭圆的离心率为 2 ，过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则1||F A = ．【解答】解：椭圆22143x y +=，可得2a =，b =，则1c =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==．过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以223||2b AF a ==， 由椭圆的定义可知：1235||2||422F A a AF =-=-=．故答案为：12；52．13．已知圆22(2)5x y ++=外点(0,3)P ，过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长||PQ =【解答】解：圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)C -，半径为r =； 且222||(20)(03)13PC =--+-=，所以切线长||PQ ===．故答案为：14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 2，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．【解答】解：由题意，圆柱底面半径r =球的半径R ， 圆柱的高2h R =，则 343V R π=球，22322V r h R R R πππ==⋅⋅=柱． ∴3323423V R V R ππ==柱球． 24S R π=球，222222226S r rh R R R R πππππ=+=+⋅=柱． ∴226342S R S R ππ==柱球． 故答案为：32；32．15．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长2BF 交椭圆于M 点，且△1F BM 是腰长为3的等腰三角形，则a = 2 ．【解答】解：根据椭圆的定义，△1F BM 的周长为4a ，所以466a a ==+，所以36a =，2a =，故答案为：2．16．已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为 ．【解答】解：连结BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ， 则ADO ∠是直线PE 与平面BCD 所成角，设三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，设棱长为2，则23DO BO BE ====AO ==，sin AO ADO AD ∴∠===∴直线PE 与平面BCD 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为AEO ∠，AE == ∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为：sin AO AEO AE ∠===．17．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D AF B --的平面角余弦值的取值范围是 1(,1)4．【解答】解：作DK AB ⊥，则DK ⊥平面ABCF ，作DO AF ⊥，则OK AF ⊥， 则DOK ∠为所求二面角的平面角，cos OKDOK OD∠=，设DF x =，AF =2AD AO AF =，则AO =OD =由平面图形ABCD 知，90DAF FAB ∠=︒-∠， 故1tan cot OK FAB DAF OA x∠==∠=， 所以1OK OA x=，所以21cos OK DOK OD x ∠==，(1,2)x ∈， 故1cos (4DOK ∠∈，1)．故答案为：1(4，1)．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E ，F 分别是棱BC ，1CC ，11B C 的中点．求证：（1）直线1//A F 平面ADE ；（2）平面ADE ⊥平面11BCC B ．【解答】证明：（1）连结DF ，D ，F 为中点，∴11////DF BB AA ，∴四边形1ADFA 为平行四边形，1//A F AD ∴，AD ⊂平面ADE ，1A F ⊂/平面ADE ，1//A F ∴平面ADE ．（2）1BB ⊥平面ABC ，1BB AD ∴⊥，BC AD ⊥（三线合一）， AD ∴⊥平面11BCC B ，AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B ．19．已知关于x ，y 的方程22440x y x y m +-++=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围；（2）若4m =，过点(0,2)P 的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）方程22440x y x y m +-++=可化为22(2)(2)8x y m -++=-， 令80m ->，解得8m <；所以方程表示圆时m 的取值范围是8m <．（2）4m =时，圆的方程为22(2)(2)4x y -++=， 则圆心为(2,2)C -，半径为2r =，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程为：2y kx =+， 化为20kx y -+=，则圆心C 到直线l的距离为2d ==，解得34k =-，所以直线l 的方程为324y x =-+；当直线l 的斜率k 不存在时，直线0x =也为圆C 的切线； 综上，直线l 的方程为324y x =-+和0x =．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12，且点3(1,)2P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点(0,2)M -且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且(OAB O ∆为坐标原点）的面l 的方程．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12，且点3(1,)2P 在椭圆上，可得2222219142121a b a c b a c a b c⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设直线:2l y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， 22(43)1640k x kx ∴+-+=，121222164,4343k x x x x k k +==++，12||x x -===121||||2OABS OM x x ∆=-==解得k =，直线l 的方程为2y =-． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，AD CD ⊥，60ABC ∠=︒，22BC AD ==，3PC =，PAB ∆是正三角形．（1）求证：AB PC ⊥；（2）求二面角P CD B --的平面角的正切值．【解答】（1）证明：取AB 中点E ，连结PE ，CE ， 易证ABC ∆为正三角形，E 为AB 中点，CE AB ∴⊥， ABP ∆为正三角形，E 为AB 中点，PE AB ∴⊥， AB ∴⊥平面PCE ， AB PC ∴⊥．（2）解：过P 点作PO CE ⊥，PH CD ⊥，连结OH ， AB ⊥平面PCE ，∴平面ABCD ⊥平面PCE ， PO CE ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ， PH CD ⊥，OH CD ∴⊥，PHO ∴∠为二面角P CD B --的平面角，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，AD CD ⊥， 60ABC ∠=︒，22BC AD ==，3PC =，PAB ∆是正三角形．2AB =，2PA PB ==，PE CE ==，30PCE ∠=︒，所以32PO =，OC =60ECD ∠=︒，94OH ==，三角形POH 是直角三角形，90POH ∠=︒， ∴2tan 3PO PHO OH ∠==． ∴二面角P CD B --的平面角的正切值：23．22．已知椭圆222:1(1)xC y a a+=>．（1）若过点P 的直线l 与椭圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围； （2）若存在以点(0,2)B 为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点，则点P 要在椭圆上或者椭圆内，∴22221a +…，∴a …． （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等， 设动点0(Q x ，0)y 在椭圆上，||BQ ===令222000()(1)44f y a y y a =--++，使得0()f y 在0(1,1)y ∈-上不单调， ∴22111a -<<-，∴a >法二：设圆222:(2)B x y r +-=，222222222222(2)(2)x y r a a y y r x a y a⎧+-=⇒-+-=⎨+=⎩， 整理得：2222(1)440a y y a r --++-=，所以存在r ，使得方程2222(1)440a y y a r --++-=在(1,1)-上有两解，令函数2222()(1)44f y a y y a r =--++-，对称轴221y a=-， 只需22111a -<<-即可，∴a >。

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。