浙江省2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含解析

浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试题一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.在空间直角坐标系中,点与点（）A. 有关平面对称B. 有关平面对称C. 有关平面对称D. 有关轴对称【结果】C【思路】【思路】利用“有关哪个对称,哪个坐标就相同”,得出正确选项.【详解】两个点和,两个坐标相同,坐标相反,故有关平面对称,故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系,考查理解和记忆能力,属于基础题.2.圆与圆地位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【结果】A【思路】【思路】计算两个圆地圆心距以及,比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆地圆心分别为,圆心距,两个圆半径均为,故,所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆地位置关系,考查圆地圆心和半径以及圆心距地计算,属于基础题.3.“”是“”地（）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B【思路】【思路】将两个款件相互推导,依据能否推导地情况选出正确选项.【详解】当“”时,如,,故不能推出“” .当“”时,必然有“”.故“”是“”地必要不充分款件.【点睛】本小题主要考查充分，必要款件地判断,考查含有绝对值地不等式,属于基础题.4.给定①②两个命题：①为“若,则”地逆否命题。

②为“若,则”地否命题,则以下判断正确地是（）A. ①为真命题,②为真命题B. ①为假命题,②为假命题C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题【结果】C【思路】【思路】判断①原命题地真假性,得出其逆否命题地真假性.写出②地否命题,并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若,则”,由于时,,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系,考查命题真假性地判断,属于基础题.5.设是两款异面直线,下面命题中正确地是（）A. 存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面B. 存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面C. 不存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面D. 不存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面【结果】A【思路】【思路】画出一个正方体,依据正方体地结构特征,结合线，面平行和垂直地定理,判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示,分别是地中点.由图可知,,平面,平面.由此判断A选项正确,本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线地位置关系,考查线面平行等知识,属于基础题.6.已知,则（）A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数地导数,然后令求出正确选项.【详解】依题意有,故,所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数地导数,考查复合函数地导数计算,考查函数除法地导数计算,属于中档题.7.如图,在空间四边形中,,,,,则异面直线与所成角地大小是（）A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】通过计算出地数量积,然后利用夹角公式计算出与所成角地余弦值,进而得出所成角地大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为,则,故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量地数量积,计算空间两款异面直线所成角地大小,考查化归与转化地数学思想方式,考查数形结合地数学思想方式,属于中档题.要求两款异面直线所成地角,可以通过向量地方式,通过向量地夹角公式先计算出夹角地余弦值,再由此得出所成角地大小.8.经过坐标原点地直线与曲线相切于点.若,则A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数在上地表达式,利用导数求得切线地斜率,写出切线方程,利用切线方程过原点求出切点地坐标满足地等式,由此得出正确选项.【详解】当时,故,.所以切点为,切线地斜率为,由点斜式得,将原点坐标代入得,即,故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点地曲线切线方程地求解方式,考查含有绝对值地函数地思路式,考查利用导数求曲线地切线方程,考查同角三角函数地基本关系式,属于中档题.本题地关键点有两个：一个是函数在上地表达式,另一个是设出切点,求出切线方程后,将原点坐标代入化简.9.已知椭圆地右焦点是,为坐标原点,若椭圆上存在一点,使是等腰直角三角形,则椭圆地离心率不可能为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】分别依据为直角时,椭圆地离心率,由此得出正确地选项.【详解】当时,代入椭圆方程并化简得,解得.当时,,,故.当时,,即,,,解得.综上所述,C选项不可能,故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形地性质,考查椭圆离心率地求解方式,属于中档题.10.在正方体中,分别为线段，上地动点,设直线与平面，平面所成角分别是,则（）A. B.C. D.【结果】B【思路】【思路】在图中分别作出直线与平面，平面所成地角,依据边长判断出,求出地表达式,并依据表达式求得地最小值,也即是地最大值.【详解】设正方体边长为.过作,而,故平面,故.同理过作,得到.由于,故,所以,即.而,当得到最小值时,得到最小值为,即得到最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成地角,考查三角函数最值地判断与求解,属于中档题.二，填空题（每题4分,满分20分,将结果填在答题纸上）11.已知直线：,若地倾斜角为,则实数_______。

2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线10x +=的倾斜角为A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A 【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由直线10x +=，则33y x =+，设直线的倾斜角为α，所以tan 3α=，所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（）A.1A B 和1ACB.1A B 和1C DC.1C D 和1B CD.1A B 和11B C 【答案】C 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积逐项判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D .对于A 选项，()10,1,1A B =- ，()11,1,1AC =- ，则11110A B AC ⋅=-=，故11A B AC ⊥；对于B 选项，()10,1,1DC =，11110A B DC ⋅=-= ，故11A B C D ⊥，B 对；对于C 选项，()11,0,1CB = ，111CB DC ⋅=，故1C D 和1B C 不垂直，C 错；对于D 选项，()111,0,0C B = ，1110A B C B ⋅=，故111A B B C ⊥，D 对,故选：C.3.如图三棱柱111ABC A B C -中，G 是棱1AA 的中点，若BA a = ，BC b =，1BA c = ，则CG =（）A.a b c-+- B.1122a b c -+ C.12a b c-++D.1122a b c-++ 【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出CG 关于a 、b 、c的关系式.【详解】由已知可得11AA BA BA c a =-=-，因为G 为棱1AA 的中点，则()111112222CG CA AG BA BC AA a b c a a b c =+=-+=-+-=-+.故选：B.4.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()()()1,2,0,0,1,2,1,0,2A B C ，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.2B.3C.5 D.22【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量求出平面ABC 的一个法向量，代入点到平面距离公式即可得出结果.【详解】依题意可得()()1,1,2,1,1,0AB BC =--=- ，()1,2,0OA =，设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，则20n AB x y z n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则可得1,1y z ==，即()1,1,1n = ，所以点O 到平面ABC 的距离是33OA n d n⋅==.故选：B5.已知直线l ：()321020kx k y k ++--=，则下列选项错误的是（）A.当直线l 与直线20x y ++=平行时，1k =B.当直线l 与直线20x y ++=垂直时，12k =-C.当实数k 变化时，直线l 恒过点()2,1D.原点到直线l 【答案】C 【解析】【分析】A 项：根据与直线20x y ++=平行可求出k 值，即可求解；B 项：根据与直线20x y ++=垂直可求出k 值，即可求解；C 项：将直线l 整理得：()310220x y k y +-+-=，从而求出定点，即可求解；D 项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解.【详解】对于A 项：当直线l 与直线20x y ++=平行，得斜率为：312kk -=-+，解得：1k =，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线20x y ++=垂直，得斜率：312k k -=+，解得：12k =-，故B 项正确；对于C 项：直线l 化简为：()310220x y k y +-+-=，由3100220x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点()3,1，故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：=D 项正确.故选：C.6.已知抛物线2:4C x y =，过点()2,0M -的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若5PF =，则QF =（）A.97B.119C.139D.52【答案】C 【解析】【分析】设点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，根据抛物线的定义即可根据5PF =求得14y =，求解直线方程，将直线l 方程与抛物线的方程联立，求出1x ，2x ，由抛物线的定义可求得||QF 的值．【详解】易知点(0,1)F ，设点1(P x ,1)y ，2(Q x ,2)y ，其中110,0,y x >>由于5PF =，所以11154PF y y =+=⇒=，将14y =代入2:4C x y =得211116,0,4x x x =>∴= ，故直线l 的斜率为4263PM k ==，故其方程为()223y x =+，联立()22234y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得238160x x --=，解得214,43x x =-=，所以22442339y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭由抛物线的定义可得21319QF y =+=．故选：C7.已知圆()22:32C x y -+=，对于直线():30l mx y m m -+=∈R 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB ∠=，则实数m 的取值范围是（）A.,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.,44∞∞⎛⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33,44⎛- ⎝⎭D.33,,44∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】作出图形，考虑PA 、PB 都与圆C 相切，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，分析可知，当PC l ⊥时，θ最大，此时，APB ∠最大，计算出圆心C 到直线l 的距离d ，分析可得2>d ，即可求得实数m 的取值范围.【详解】如下图所示：圆心为()3,0C ，半径为2r =C 到直线l 的距离为261m d m =+考虑PA 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，PA PB =，又因为CA CB =，PC PC =，则PAC PBC ≌，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，因为AC PA ⊥，则2sin AC PCdθ=≤，故当PC l ⊥时，θ最大，此时，APB ∠最大，因为对于直线():30l mx y m m -+=∈R 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB ∠=，则π22θ<，可得π4θ<，则2π2sin 42d <=，可得2621m d m =>+，解得24m <-或24m >.故选：B.8.已知12F F 分别是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点P Q ､，满足122F P F Q = ，且12π3F QF =∠，则该双曲线的离心率是（）A.73B.72C.53 D.73【答案】D 【解析】【分析】延长1PF 交交双曲线于M 点，连接212,,PF QF MF ，结合双曲线的定义与余弦定理可得,a c 关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】如图，延长1PF 交交双曲线于M 点，连接212,,PF QF MF 因为122F P F Q =，所以2//PM QF ，根据双曲线的对称性可得,M Q 关于原点对称所以12MF F Q =，则四边形12F MF Q 为平行四边形，所以212π3PMF F QF ∠=∠=设12MF F Q m ==，则12PF m =，由双曲线定义可得：21212,2PF PF a MF MF a -=-=，所以2222,2PF a m MF a m =+=+，在2PMF V 中，由余弦定理得222222π2cos3PF PM MF PM MF =+-⋅⋅，则()()()()222122322322a m m a m m a m +=++-⨯⨯+⨯，整理得103a m =所以121016,33a aMF MF ==，在12F MF △中，由余弦定理得222121212π2cos 3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，则()2221016101612233332a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22499c a =，所以73c a =则该双曲线的离心率是73c a =.故选：D .二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.9.已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.cos 3f παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图像关于直线π3x =对称C.将()2f x 图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D.若()3π5π,536f αα=<<，则4sin 10α=【答案】BCD 【解析】【分析】根据诱导公式可判断A ；根据正弦函数性质可判断B ；根据函数左右平移原则“左加右减”即可判断C ；根据两角差的正弦可判断D .【详解】因为ππππsin sin cos 3362f αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；函数()f x 的对称轴为πππ62x k +=+，Z k ∈，得ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()f x 的图像关于直线π3x =对称，故B 正确；由题意知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所将()2f x 图像上所有点向右平移π6个单位，得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；因为()π3sin 65f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且π5π36α<<，所以πππ26α<+<，所以π4cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为ππππππsin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得4sin 10α=，故D 正确.故选：BCD .10.已知三棱锥O ABC -，则下列选项正确的是（）A.若()()0,1,2,1,1,1OA OB == ，则OA 在OB 上的投影向量为OBB.若G 是三棱锥O ABC -的底面ABC 的重心，则()13OG OA OB OC=++C.若233555OG OA OB =-++，则,,,A B C G 四点共面D.设(),,,R,,0a OA b OB c a b λμλμλμ===+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底【答案】AB【解析】【分析】利用投影向量的定义根据空间向量数量积的坐标运算计算可得A 正确，画出几何体由空间向量加减运算法则可求得B 正确，显然233555OG OA OB =-++不满足共面定理，可知C 错误；不共面的非零空间向量才可以构成空间的一个基底，可知D 错误.【详解】对于A ，易知OA 在OB上的投影向量为OA OB OB OB OBOB⋅⋅==,所以可知A 正确；对于B ，取BC 的中点为E ，连接,OE AE ，如下图所示：由G 是三棱锥O ABC -的底面ABC 的重心可得2AG GE =，易知()()22113323OG OA AG OA AE OA AC AB OA AC AB +=+=+⨯+==++()()1211133333O O C OB OB OC OB O A C=++++=+++=++ 所以()13OG OA OB OC =++，即可知B 正确；对于C ，若233555OG OA OC =-++ ，显然233415555-++=≠，则,,,A B C G 四点不共面，所以C 错误；对于D ，由(),,,R,,0a OA b OB c a b λμλμλμ===+∈≠ 可知，,,a b c共面，所以{},,a b c不能构成空间的一个基底，即D 错误.故选：AB11.已知椭圆221:143x y C +=，点O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆1C 的左右焦点，则下列选项正确的是（）A.椭圆1C 上存在点P ，使得12π2F PF ∠=B.P 为椭圆1C 上一点，点()4,4M ，则1PM PF -的最小值为1C.直线()()():3cos 60R l x y θθθ⋅+⋅-=∈与椭圆1C 一定相切D.已知圆222:(1)1C x y -+=，点P N ､分别是椭圆1C ､圆2C 上的动点，则PO PN的最小值为3【答案】BC 【解析】【分析】易知圆221x y +=与椭圆221:143x y C +=无交点，可得A 错误，由椭圆定义将1PM PF -转化为()1222444PM PF PM PF PM PF MF =---≥=-+-，即可知B 正确，联立直线l 与椭圆方程可得223sin 0y y θθ-⋅+=，显然方程只有一解，即可知C 正确，由21PN PF ≤+以及距离公式，构造函数并利用单调性可求出PO PN的最小值为12，即D 错误.【详解】对于A ，若存在点P ，使得12π2F PF ∠=，则点P 在以12F F 为直径的圆221x y +=上，而点P 在椭圆上，易知椭圆221:143x y C +=与圆221x y +=无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得1224PF PF a +==，则可得124PF PF =-，所以()1222444PM PF PM PF PM PF MF =---≥=-+-，当且仅当2,,P M F 三点共线时满足题意，又()21,0F ，()4,4M 可得25MF =，即1241PM PF MF -≥=-，所以B 正确；对于C ，将22143x y +=变形可得2234120x y +-=，结合直线l 可得22222123609cos cos cos x y θθθ+-=，联立直线()():3cos 6l x y θθ⋅=-⋅消去x可得223sin 0y y θθ-⋅+=，显然该方程仅有一解y θ=，所以当R θ∈时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线()()():3cos 60R l x y θθθ⋅+⋅-=∈与椭圆1C 一定相切，即C 正确；对于D ，易知圆222:(1)1C x y -+=的圆心为()21,0F ，所以可得21PN PF ≤+，不妨设()00,P x y ，则由2200143x y +=可得2200334x y =-，则PO PN≥=00===易知[]02,2x ∈-，令()[]22212,1262,3x f x x x x ∈=-+-+，则()()()()2212621236x x f x xx --+'=-+在[]2,2x ∈-上满足()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在[]22-,上单调递增，即()()124f x f ≥-=，因此可得12PO PN≥≥=，即PO PN 的最小值为12，即D 错误.故选：BC12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是1CC 的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）A.存在点N 满足2ANM π∠=B.满足15A N =N 的轨迹长度是4πC.满足MN 平面11A BC 的点N 的轨迹长度是1D.满足11B N A M ⊥的点N 2【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，则有(200)A ，，，(0,2,1)M ,(0)N x y ，，，1(202)A ，，，(220)B ，，，1(022)C ，，，1(222)B ，，对于A 选项，若2ANM π∠=，则=0NA NM ⋅ ，且=(20)NA x y -- ，，，=(21)NM x y -- ，，，故N 轨迹方程为22(1)(1)=2x y -+-，当=0x 时，=0y ，点(00)，既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确对于B选项，1A N =，N ∴的轨迹方程为22(2)=1x y -+，0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴在底面内轨迹的长度是22(2)=1x y -+周长的14故长度为411π=4π⨯⨯，B 正确对于C 选项，1=(022)A B - ，，，11=(220)A C - ，，，设面11A BC 的法向量=()n x y z，，故有220220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得=1=1=1x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，故=(111)n ，，MN ∥平面11A BC ，=0MN n ∴⋅，N ∴的轨迹方程为3=0x y +-0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴，C 错误对于D 选项，1=(222)B N x y --- ，，，1=(221)A M --，，11B N A M ⊥ ，11=0B N A M ∴⋅，N ∴的轨迹方程为1=0x y -++0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴，D 正确故选：ABD非选择题部分三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知空间中点()2,1,6M -，则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是__________.【答案】()2,1,6【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的对称求解即可.【详解】空间中点()2,1,6M -，则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是()2,1,6.故答案为：()2,1,6.14.已知双曲线的两条渐近线方程为0x ±=，并且经过点)A ，则该双曲线的标准方程是__________.【答案】22142x y -=【解析】【分析】根据题意设双曲线方程为221mx ny -=，利用渐近线和过点)A 解方程组即可求得其标准方程.【详解】依题意可设双曲线方程为221mx ny -=，,0m n >；由渐近线方程为0x =可得2n m =，将点)A代入可得61m n -=，解得11,42m n ==，所以双曲线标准方程为22142x y -=.故答案为：22142x y -=15.已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，一条光线从点()3,1P 沿平行于x 轴的方向射出，与拋物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N .若3OM ON -⋅=，则M N ､两点到y 轴的距离之比为__________.【答案】116##0.0625【解析】【分析】设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和3OM ON -⋅=得出p 的值和M 、N 的坐标，然后可得M N ､两点到y 轴的距离之比．【详解】依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点(,0)2pF ，设1(M x ,1)y ，2(N x ,2)y ，直线MN 的方程为2px ty =+，由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得：2220y pty p --=，所以212y y p =-，2221212224y y p x x p p =⋅=，则21212334OM ON x x y y p ⋅=+=-=- ，又0p >，所以2p =，故抛物线方程为24y x=而11y =，故24y =-，所以2212121,4444y y x x ====所以M N ､两点到y 轴的距离之比为12116x x =．故答案为：116．16.已知四棱锥,P ABCD PA -⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1,2,5PA AB AD ===，点,E F 分别在,AB BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ADF -外接球的体积为__________.【答案】273π2【解析】【分析】把平面PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图形可知当,,,P E F D ''四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而求得各边长，由正弦定理可求得ADF △外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中确定球心位置根据勾股定理即可求得外接球半径，可得其体积.【详解】把平面PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，延长DC 到D ¢，使得1CD '=，则DF D F '=（如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，即,,,P E F D ''四点共线，易知6,4P D DD ''==，P D DD CF CD ''='，可得3CF =，所以2,22,13BF AB DF ===，45DAF ∠= ，由正弦定理可得ADF △外接圆的半径113262sin 452r =⨯=，设ADF △外接圆圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点,P A 的距离相等，所以222733242PA OA r ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，即三棱锥P ADF -外接球的半径为332R =，所以外接球的体积为34273ππ32V R ==.故答案为：273π2【点睛】关键点点睛：本题关键在于将PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，确定出空间四边形PEFD 的周长最小时F 点的具体位置，求得三棱锥P ADF -的各边长进而求出外接球半径即可求出体积.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,7a b c c b =且2cos 2a c A b +=.（1）求C 的值；（2）若ABC 的面积为33BC 边上的高.【答案】（1）π3C =（23【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得1cos 2C =，可求出π3C =；（2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出3a b =，再由面积计算可得6a =，即可求得BC 边上的高为3【小问1详解】利用正弦定理由2cos 2a c A b +=可得sin 2sin cos 2sin A C A B +=，又在ABC 中，易知πA B C ++=，可得πA C B +=-，所以()()sin sin πsin A C B B +=-=；即()sin 2sin cos 2sin 2sin cos 2cos sin A C A A C A C A C +=+=+，可得sin 2sin cos A A C =，显然sin 0A ≠，所以12cos C =，所以1cos 2C =，又()0,πC ∈，可得π3C =；【小问2详解】由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，代入c =整理可得2260a ab b --=，解得3a b =或2a b =-（舍）；所以ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，解得2b =，所以6a =；设BC 边上的高为h ，则1122S h BC ah =⋅==，可得h =，即BC 18.已知圆()()222:40C x y r r -+=>，两点()30A -,、()5,0B -.（1）若6r =，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在点P ，使得2210PA PB +=，求圆C 半径r 的取值范围.【答案】（1）22y x =+或22y x =--（2）[]6,10【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离为d =，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线l 的方程；（2）设点(),P x y ，利用平面内两点间的距离公式结合2210PA PB +=可得知点P 在圆()2244x y ++=，可知圆C 与圆()2244x y ++=有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于r 的不等式，即可解得r 的取值范围.【小问1详解】解：当6r =时，圆C 的标准方程为()22436x y -+=，圆心为()4,0C ，因为直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，则圆心C 到直线l的距离为d ===若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为5x =-，此时，圆心C 到直线l 的距离为9，不合乎题意；所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()5y k x =+，即50kx y k -+=，则d ==，解得2k =±，所以，直线l的方程为22y x =+或22y x =--.【小问2详解】解：设点(),P x y ，则()()2222223510PB x y PA x y +=+++++=，整理可得()2244x y ++=，因为点P 在圆C 上，则圆C 与圆()2244x y ++=有公共点，且圆()2244x y ++=的圆心为()4,0E -，半径为2，则22r CE r -≤≤+，且8CE =，故282r r -≤≤+，因为0r >，解得610r ≤≤，故r 的取值范围是[]6,10.19.已知正三棱台111ABC A B C -中，11AA =，1122BC B C ==，D 、E 分别为1AA 、11B C 的中点.（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE ⊥平面11BCC B 【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，分析可知正三棱锥-P ABC 是棱长为2的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台111ABC A B C -的表面积；（2）设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，以点CO 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出DE CP ⊥，DE CB ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.【小问1详解】解：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，如图所示：因为11//B C BC ，且1122BC B C ==，则1A 、1B 分别为PA 、PB 的中点，则122PA AA ==，2PC PB PA ===，故PBC 是边长为2的等边三角形，由此可知，PAB 、PAC △都是边长为2的等边三角形，易知ABC 是边长为2的等边三角形，111A B C △是边长为1的等边三角形，故正三棱台111ABC A B C -的表面积为111222393221444442PAB ABC A B C S S S ⨯++=⨯⨯+⨯+⨯=△△△.【小问2详解】解：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，πsin232CM AC ==⨯=，则233CO CM ==，因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP CO ⊥，所以，3PO ==，以点O 为坐标原点，CO 、AB 、OP的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、,1,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、0,0,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,1,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、3,446D ⎛- ⎝⎭、1,,1243E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则36,1,36DE ⎛=- ⎝⎭ ，2326,0,33CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)CB = ，所以，22033DE CP ⋅=-+= ，110DE CB ⋅=-+= ，所以，DE CP ⊥，DE CB ⊥，因为CP CB C ⋂=，CP 、CB ⊂平面11BCC B ，故DE ⊥平面11BCC B .20.已知函数()2,01,02xm x x x f x m x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，Rm ∈（1）当4m =时，求函数()f x 的值域；（2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）(][),32,-∞-⋃+∞（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入4m =分别利用基本不等式和函数单调性求出两段函数值域即可得出结论；（2）对参数m 的取值进行分类讨论，利用基本不等式以及指数函数单调性分别对两函数的最值的符号作出判断，结合图象特征即可得函数()f x 的零点个数.【小问1详解】当4m =时可得()42,041,02xx x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩；显然当0x >时，4222x x +-≥-=，当且仅当2x =时，等号成立，当0x ≤时，易知函数412x -在(],0-∞上单调递增，所以可得04411322x -≤-=-，即0x ≤时，(]41,32x -∈-∞-；综上可知，函数()f x 的值域为(][),32,-∞-⋃+∞；【小问2详解】①当0m ≤时，函数2m y x x=+-在()0,∞+上单调递增，且当x 趋近于0时，0y <，当x 趋近于+∞时，0y >，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上存在一个零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递减，且当(],0x ∈-∞时，0y >恒成立，即函数12x m y =-在(],0-∞上无零点；所以当0m ≤时，函数()f x 仅有1个零点；②当01m <<时，易知2m y x x =+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，此时最小值为20<，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上存在两个零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为10m ->，即函数12x m y =-在(],0-∞上有一个零点；所以当01m <<时，函数()f x 仅有3个零点；③当1m =时，易知12y x x =+-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，此时最小值为0，即函数12y x x =+-在()0,∞+上存在一个零点；而函数112x y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为0，即函数112x y =-在(],0-∞上有一个零点；即当1m =时,函数()f x 仅有2个零点；④当1m >时，易知2m y x x =+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，此时最小值为20>，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上无零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为10m -<，即函数12x m y =-在(],0-∞上无零点；所以当1m >时，函数()f x 没有零点；综上可知，当0m ≤时，函数()f x 仅有1个零点；当01m <<时，函数()f x 仅有3个零点；当1m =时,函数()f x 仅有2个零点；当1m >时，函数()f x 没有零点；21.已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，2FB FC BC ===，4AB =，G 是棱CF 上一点.（1）证明：AE 平面BCF ；（2）当BG 平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）46767【解析】【分析】（1）先证平面ADE //平面BCF ，再证明AE 平面BCF 即可；（2）设出G 的坐标，求出平面AEF 的法向量，由BG 平面AEF 的向量关系求出G 点坐标，再用向量法求线面角即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ；AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，又四边形BDEF 为平行四边形，所以//DE BF ，又DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，因为AD DE E ⋂=，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE //平面BCF ，因为AE ⊂平面ADE ，所以AE 平面BCF ；【小问2详解】如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，因为FBC 是等边三角形，所以FN BC ⊥，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC 平面ABCD BC =，所以FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，所以MN NB ⊥，以N 为坐标原点，,,NM NB NF 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，()()()()(4,1,0,0,1,0,0,1,0,4,1,0,0,0,A B C D F --，则(CF = ，设(01)CG tCF t =≤≤，则()0,G t -，可知()(()0,,4,1,,4,2,0BG t AF BD =-=--=- ，由底面是平行四边形，得(0,AE AF FE AF BD =+=+=- ，设平面AEF 的法向量为()111,,x n y z = ，则111114030x y y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得1111,2y x ==，则平面AEF的法向量为12n ⎛= ⎝ ，由题意//BG 平面AEF ，则()102102BG n t ⋅=⨯+-⨯+= ，解得12t =，所以12CG CF = ，即G 是CF 中点，因为(0,AE =-，所以(4,E -，所以(10,,4,,22DE DG ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面DEG 的法向量为()222,,m x y z =，则22222014022y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，取21z =，得2234y x ==，所以平面DEG的法向量为34m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ，则sin cos ,67BG m BG m BG m θ⋅===⋅ .所以BG 与平面DEG所成角的正弦值为67.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点12D ⎫⎪⎭，点,A B 分别是椭圆C 的左､右顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（P 在,E Q 之间），直线,AP BQ 交于点M ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）()0,1【解析】【分析】（1）利用离心率以及椭圆过的点联立解方程组即可求得椭圆方程;（2）设出直线方程4x my =+并与椭圆联立并利用韦达定理得出关系式，解出直线PA 与QB 的交点12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭，利用弦长公式以及点到直线距离公式可求得面积12,S S 的表达式，即可得2122124S m S m -=+，再由212m >即可求得()120,1S S ∈.【小问1详解】由题意可知离心率为32c e a ==，将点12D ⎫⎪⎭代入椭圆方程可得223114a b +=，又222a b c =+，解得2224,1,3a b c ===；所以椭圆方程为2214x y +=【小问2详解】易知()()2,0,2,0A B -，设直线l 的方程为4x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，且12x x <，联立直线和椭圆方程22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()2248120m y my +++=，()()22841240m m ∆=-⨯+>，可得212m >，且121222812,44m y y y y m m +=-=++可得直线PA 的方程为()()11112226y y y x x x my =+=+++，直线QB 的方程为()2222y y x my =-+，解得12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭PQ =；M 点到直线PQ 的距离为d =所以PQM的面积为()121221112122243y y S PQ d m y y -=⋅=⋅+-ABM 的面积为121221212231432S y y y y B y A y y y =⋅-=-；所以2122221221222331216444112444y y S m m m m y y m m m S ⨯⋅-⨯-+++====-+++，又212m >可得()21610,14m -∈+，即可得12S S 的取值范围是()0,1.【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线面积范围问题时，往往根据题目已知条件写出面积的表达式，进而求得两面积比值的表达式，再由参数范围利用函数单调性或者基本不等式即可限定出要求的结果.。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2019-2020学年浙江省湖州市中考数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2018的相反数是（）A. 2018B. ﹣2018C.D.【答案】B【解析】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．详解：因为与只有符号不同，的相反数是故选B.点睛：本题考查了相反数的概念，熟记相反数的定义是解题的关键.2. 计算﹣3a•（2b），正确的结果是（）A. ﹣6abB. 6abC. ﹣abD. ab【答案】A【解析】分析：根据单项式的乘法解答即可．详解：-3a•（2b）=-6ab，故选：A．点睛：此题考查单项式的除法，关键是根据法则计算．3. 如图所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】从左边看是一个正方形，正方形的左上角是一个小正方形，故选C．4. 某工艺品厂草编车间共有16名工人，为了了解每个工人的日均生产能力，随机调查了某一天每个工人的生产件数．获得数据如下表：则这一天16名工人生产件数的众数是（）A. 5件B. 11件C. 12件D. 15件【答案】B【解析】分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．详解：由表可知，11件的次数最多，所以众数为11件，故选：B．点睛：本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的数据．5. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A. 20°B. 35°C. 40°D. 70°【答案】B【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．详解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．6. 如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（）A. （﹣1，﹣2）B. （﹣1，2）C. （1，﹣2）D. （﹣2，﹣1）【答案】A【解析】分析：直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．详解：∵直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（-1，-2）．故选：A．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．7. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A. AE=EFB. AB=2DEC. △ADF和△ADE的面积相等D. △ADE和△FDE的面积相等【答案】C【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．详解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，∴C选项不正确，故选：C．点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．9. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A. rB. （1+）rC. （1+）rD. r【答案】D【解析】分析：如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；详解：如图连接CD，AC，DG，AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，∴AC=r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG=r，故选：D．点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A. a≤﹣1或≤a＜B. ≤a＜C. a≤或a＞D. a≤﹣1或a≥【答案】A【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；详解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y=-x+，由，消去y得到，3ax2-2x+1=0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或≤a＜，故选：A．点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11. 二次根式中字母x的取值范围是_____．【答案】x≥3【解析】分析：由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．详解：当x-3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：x≥3．点睛：本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．12. 当x=1时，分式的值是_____．【答案】【解析】由题意得：，解得：x=2. 故答案为：213. 如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是_____．【答案】2【解析】分析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC=，求出OB=1，那么BD=2．详解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC=，∴OB=1，∴BD=2．故答案为2．点睛：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．14. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．【答案】70°【解析】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．详解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°，∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．故答案为70°．点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．【答案】﹣2【解析】分析：根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（-，-），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．详解：∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（-，-）．∵抛物线y=ax2过点B，∴-=a（-）2，解得：b1=0（舍去），b2=-2．故答案为：-2．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．【答案】9或13或49.【解析】分析：共有三种情况：①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13；②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.详解：①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.故答案为：9或13或49．点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17. 计算：（﹣6）2×（﹣）．【答案】6【解析】分析：原式先计算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可求出值．详解：原式=36×（-）=18-12=6．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 解不等式≤2，并把它的解表示在数轴上．【答案】x≤2，将不等式的解集表示在数轴上见解析.【解析】分析：先根据不等式的解法求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上．详解：去分母，得：3x-2≤4，移项，得：3x≤4+2，合并同类项，得：3x≤6，系数化为1，得：x≤2，将不等式的解集表示在数轴上如下：点睛：本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．19. 已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．【答案】a的值是1，b的值是﹣2．【解析】分析：根据抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），可以求得a、b的值，本题得以解决．详解：∵抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），∴，解得，，即a的值是1，b的值是-2．点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．【答案】（1）97.2°；（2）D班选择环境保护的学生人数是15人；补全折线统计图见解析；（3）估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．【解析】分析：（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分比，再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；（2）用选择环境保护的学生总人数减去A，B，C三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境保护的学生人数，进而补全折线图；（3）用2500乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可．详解：（1）选择交通监督的人数是：12+15+13+14=54（人），选择交通监督的百分比是：×100%=27%，扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数是：360°×27%=97.2°；（2）D班选择环境保护的学生人数是：200×30%﹣15﹣14﹣16=15（人）．补全折线统计图如图所示；（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）=950（人），即估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．点睛：本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．21. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°,再利用垂径直定理即可证明。

浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二数学上学期期末联考试题（含思路）选择题部分一，选择题：在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设集合,,则使成立地地值是（）A. -1B. 0C. 1D. -1或1【结果】A【思路】【思路】依据集合A,B,以及B⊆A即可得出,从而求出a＝﹣1．【详解】解：∵A＝{﹣1,0,1},B＝{a,a2},且B⊆A。

∴∴a＝﹣1．故选：A．【点睛】本题考查列举法地定义,集合圆素地互异性,以及子集地定义．2.已知复数,则（）A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】把z＝﹣2+i代入,再利用复数代数形式地乘除运算化简得结果．【详解】解：由z＝﹣2+i,得．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式地乘除运算,是基础题．3.若为实数,则“”是“”地（）A. 充分而不必要款件B. 必要而不充分款件C. 充分必要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B【思路】【思路】求出不等式地等价款件,结合充分款件和必要款件地定义进行判断即可．【详解】解：由得0＜a＜1,则“a＜1”是“”地必要不充分款件,故选：B．【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件地判断,结合不等式地关系是解决本题地关键．4.若实数,满足约束款件,则地最大值为（）A. B. 0 C. D. 1【结果】C【思路】【思路】作出题中不等式组表示地平面区域,得如图地△ABC及其内部,再将目标函数z＝x+2y对应地直线进行平移,可得当x,y时,z得到最大值．【详解】解：作出变量x,y满足约束款件表示地平面区域,得到如图地△ABC及其内部,其中A（,）,B（,﹣1）,C（2,﹣1）设z＝F（x,y）＝x+2y,将直线l：z＝x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（,）．故选：C．【点睛】求目标函数最值地一般步骤是“一画，二移，三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．顶点坐标相同D．对称轴相同2．已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则（）A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．36°C．18°D．54°4．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（）A．B．C．D．15．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120°D．75°6．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB，CD，EF，则以下结论正确的是（）A．2∠AOB＝∠AEBB．＝＝C．＝＝D．点O是三角形三条中线的交点7．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0 B．0＜m≤1 C．m≤1 D．m≥18．若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）都在抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB 于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．甲、乙、丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣7 ﹣4 0 613．如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．14．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝．（用含a的代数式表示）．15．已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3）．求这个二次函数表达式．18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？21．在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上的一点，连接BD、AD、OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中劣弧的长．22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与二次函数y＝（a+3）x2+（b ﹣15）x+c+18的图象与x轴的交点分别是A，B，C．（1）判断图中经过点B，D，C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由．（2）设两个函数的图象都经过点B、D，求点B，D的横坐标．（3）若点D是过点B、D、C的函数图象的顶点，纵坐标为﹣2，求这两个函数的解析式．23．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD，且DA＝DB．（1）如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD+CB．（2）如图2，∠ADB＝90°．①求证：AC＝CD+CB．②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．顶点坐标相同D．对称轴相同【分析】根据题意的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，∴函数y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；函数y＝﹣x2+1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1）；故选项A、C错误，选项D正确；∵二次函数y＝2x2中的a＝2，y＝﹣x2+1中的a＝﹣，∴它们的开口大小不一样，故选项B错误；故选：D．2．已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则（）A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，P点在圆外，∴d＞r，故选：A．3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．36°C．18°D．54°【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，∴∠BAC＝∠BOC＝36°．故选：B．4．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（）A．B．C．D．1【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率．解：设两双只有颜色不同的手套的颜色为红和绿，列表得：（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣（红，绿）（红，绿）﹣（绿，绿）（红，红）﹣（绿，红）（绿，红）﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）∵一共有12种等可能的情况，恰好是一双的有4种情况，∴恰好是一双的概率＝．故选：B．5．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120°D．75°【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S＝Rl，即60π＝×R×10π，解得：R＝12，∴S＝60π＝，解得：n＝150°，故选：B．6．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB，CD，EF，则以下结论正确的是（）A．2∠AOB＝∠AEBB．＝＝C．＝＝D．点O是三角形三条中线的交点【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．解：∵AB＝CD＝EF，∴＝＝，故选：B．7．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0 B．0＜m≤1 C．m≤1 D．m≥1【分析】根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．解：∵函数的对称轴为x＝m，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴m≤1．故选：C．8．若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）都在抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3【分析】先求出二次函数y＝﹣x2﹣4x+m的图象的对称轴，然后判断出A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+m中a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵A（﹣，y1）到对称轴的距离大于B（﹣1，y2）到对称轴的距离，∴y1＜y2，又∵B（﹣1，y2），C（，y3）都在对称轴的右侧，而在对称轴的右侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．∵A（﹣，y1）到对称轴的距离小于C（，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∴y2＞y1＞y3．故选：D．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB 于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【分析】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．解：当b＝﹣1时，此函数解析式为：y＝x2+x+1，顶点坐标为：（﹣，）；当b＝0时，此函数解析式为：y＝x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b＝1时，此函数解析式为：y＝x2﹣x+1，顶点坐标为：（，）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选：C．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．甲、乙、丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是．【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．解：由题意可得，所列树状图如下图所示，故甲、乙两人位置恰好相邻的概率是，故答案为：．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2 ．x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣7 ﹣4 0 6【分析】本题通过描点画出图象，即可根据图象在x轴上部的那部分得出不等式ax2+bx+c ＞0的解集．解：通过描点作图如下，从图中可看出不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2．13．如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为6acm．【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB＝6cm，∠AOB＝60°，∴cos∠BAC＝，∴AM＝6×＝3（cm），∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，∴AM＝MC＝AC，∴AC＝2AM＝6（cm）．故答案为6cm．14．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝a．（用含a的代数式表示）．【分析】先根据垂径定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出EF∥AB，EF＝AB即可．解：连接AB，∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，故答案为：a．15．已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为15°或75°．【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．根据垂径定理和三角函数求解．解：过点O作OM⊥AC于M，在直角△AOM中，OA＝r．根据OM⊥AC，则AM＝AC＝r，所以cos∠OAM＝，则∠OAM＝30°，同理可以求出∠OAB＝45°，当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45°﹣30°＝15°；当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45°+30°＝75°．故答案为15°或75°．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝1或0或．【分析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m的值．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3）．求这个二次函数表达式．【分析】根据二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3），可以设该函数的交点式，然后根据与y轴交于点（0，3），即可求得a的值，从而可以得到该函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵该二次函数的图象与y轴交于点（0，3），∴3＝a（0+1）×（0﹣3），解得，a＝﹣1，∴该函数解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即这个二次函数表达式是y＝﹣x2+2x+3．18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．【分析】连接AE，根据圆周角定理可得∠AEB＝90°，再根据等腰三角形三线合一可得∠BAE＝∠CAE，进而可得弧BE＝弧DE，根据等弧所对的弦相等可得结论．【解答】证明：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∴弧BE＝弧DE，∴BE＝ED，∴ED＝EC19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）根据图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根时，k的取值范围；（3）根据图象中的数据可以得到当0＜x＜3时，函数值y的取值范围．．解：（1）由图象可得，当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解是x1＝﹣1，x2＝3；（2）由图象可知，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是y＝﹣4，故方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围是k＞﹣4；（3）由图象可知，当0＜x＜3时，函数值y的取值范围﹣4≤y＜0．20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？【分析】（1）由概率公式计算即可；（2）列举得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率；（3）由题意得出方程，解方程即可．解：（1）将“恰好是白球”记为事件A，则P（A）＝＝．（2）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，从中任意摸出2个球，“2个都是白球”记为事件B，则P（B）＝＝．（3）设放入n个黑球，由题意得＝，解得n＝10，即放入了10个黑球．21．在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上的一点，连接BD、AD、OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中劣弧的长．【分析】（1）由在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，根据垂径定理可得＝，则可求得∠AOC的度数；（2）首先连接OB，由弦BC＝6cm，可求得半径的长，继而求得图中劣弧的长．解：（1）∵在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，∴＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝2×30°＝60°；（2）连接OB，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∵弦BC＝6cm，OA⊥BC，∴CE＝3cm，∴OC＝＝2cm，∴劣弧的长为：＝π．22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与二次函数y＝（a+3）x2+（b ﹣15）x+c+18的图象与x轴的交点分别是A，B，C．（1）判断图中经过点B，D，C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由．（2）设两个函数的图象都经过点B、D，求点B，D的横坐标．（3）若点D是过点B、D、C的函数图象的顶点，纵坐标为﹣2，求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据a+3＞a作出判断；（2）联立方程组，通过解方程组求得答案；（3）设所求解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，把点B的坐标（2，0）代入求值．解：（1）因为a+3＞a，所以经过B、D、C的图象是y＝（a+3）x2+（b﹣15）x+c+18的图象．（2）解方程组解得x1＝2，x2＝3，∴点B，D的横坐标分别为2，3．（3）设所求解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，把点B的坐标（2，0）代入，解得a＝2，即y＝2x2﹣12x+16，因此左边抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．23．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD，且DA＝DB．（1）如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD+CB．（2）如图2，∠ADB＝90°．①求证：AC＝CD+CB．②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图1中，在AC上截取AF＝BC，连结DF．证明△DAF≌△DBC（SAS），推出△DFC为等边三角形即可解决问题．（2）①结论：AC＝CD+CB，如图2，在AC上截取AF＝BC，连结DF．证明△DAF≌△DBC（SAS）即可解决问题．②结论：BD＝2DP．如图3，过点D作DF⊥AC于点F，证明△DFE≌△CBE（AAS），△ADE≌△BDP（ASA）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，在AC上截取AF＝BC，连结DF．在△DAF与△DBC中，∴△DAF≌△DBC（SAS），∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，∵∠CDF＝∠CDB+∠EDF＝∠ADF+∠EDF＝∠ADB＝60°，∴△DFC为等边三角形，∴DC＝FC，∴AC＝AF+FC＝BC+CD．（2）①解：结论：AC＝CD+CB．理由：如图2，在AC上截取AF＝BC，连结DF．在△DAF与△DBC中，∴△DAF≌△DBC（SAS），∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，∵∠CDF＝∠CDB+∠EDF＝∠ADF+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴△DFC为等腰直角三角形，∴FC＝DC，∴AC＝AF+FC＝CD+CB．②解：结论：BD＝2DP．理由：如图3，过点D作DF⊥AC于点F，∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CFD是等腰直角三角形，∴CD＝DF，∵CD＝CB，∴DF＝CB，在△DFE和△CBE中，，∴△DFE≌△CBE（AAS），∴DE＝BE＝BD，在△ADE和△BDP中，，∴△ADE≌△BDP（ASA），∴DP＝DE＝BE＝BD，即BD＝2DP．。

专题2.1 椭圆单元测试(A 卷提升篇）（浙江专用）参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·浙江高二期中）椭圆22143x y +=的焦点坐标为（ ）A ．（﹣1，0），（1，0）B ．())C ．（0，﹣1），（0，1）D ．((00-，，【答案】A 【解析】由椭圆方程知焦点在x 轴，1c ==，焦点坐标为(1,0)，(1,0)-．故选：A ．2．（2019·黑龙江高二期中（文））椭圆2214x y +=的离心率为( )A B ．34C ．2D ．23【答案】A 【解析】椭圆2214x y +=的长半轴长a ＝2，短半轴长b ＝1∴椭圆的半焦距c ===∴椭圆的离心率e c a ==故选：A ．3．（2019·四川成都外国语学校高二期中（理））已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.4．（2019·福建高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点(,)P x y 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和是10，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221259y x +=D ．2212516y x +=【答案】A 【解析】由于动点(,)P x y 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为1210F F >，故P 点的轨迹为椭圆，所以210,5,4a a c ===，所以2229b a c =-=，所以P 点的轨迹方程为221259x y +=.故选:A.5．（2019·益阳市第六中学高二期中）已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．22D ．223【答案】B 【解析】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==． 故选：B.6．（2019·江苏高二期中）椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为（ ）A ．9B ．23C ．9或23 D．16或16+【答案】C 【解析】椭圆22116x y m=＋的焦距为当0<m <16时，焦点在x轴上时，=m =9， 当m >16时，焦点在y轴上时，=m =23． 则m 的值为9或23. 故选:C7．（2019·辽宁高二期中）方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,2【答案】A 【解析】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m ，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选：A. 8．（2019·四川雅安中学高二期中）椭圆2213x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，一条直线经过1F 与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ） A．B ．6C．D ．12【答案】C 【解析】由题意，根据椭圆定义，得到11222+=+==AF AF BF BF a所以2ABF ∆的周长为：2122214++=+++==AF BF A AF BF BF a AF B . 故选：C9．（2019·四川雅安中学高二期中）如果方程22154x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）. A ．45m << B ．92m > C ．942m << D ．952m << 【答案】D 【解析】由题意方程22154x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得：40m ->，50m ->并且45m m ->-， 解得：952m <<． 故选：D ．10．【山西大学附属中学2018-2019学年高二12月月考】设点F 1，F 2分别是椭圆2222:1(0)3x y b b C b +=>+的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.14C.4D.2【答案】D 【解析】∵弦AB 过点1F ，∴2ABF ∆的周长为1212AF AF BF BF 4a 8+++===，解得：b 1(b 0)=>，a 2∴=，b 1=，则c =，则椭圆的离心率为c e a 2==． 故选：D ．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2018·浙江台州中学高二期中）椭圆2211612x y +=的焦点坐标为_______，离心率为_______．【答案】(20) 12【解析】由椭圆的标准方程可得4,a b ==∴2c =，2142c e a ===， ∴椭圆的焦点坐标为()2,0±，离心率为12． 12．（2017·浙江高二期中）椭圆22143x y +=的长轴长是______，离心率是______．【答案】4 12【解析】由椭圆22143x y +=可知，椭圆焦点在x 轴上，224,3a b ==.所以，2,a b ==.所以椭圆的长轴长为224⨯=，短轴长为离心率为c e a ==. 13．（2017·上海高二期末）如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为____ 【答案】14 【解析】根据椭圆的定义122PF PF a +=，又椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6， 2620PF ∴+=，故214PF =，故答案：14.14．（2019·上海市通河中学高二期中）已知方程221410x yk k+=--表示椭圆，则实数k的取值范围为__________【答案】(4,7)(7,10)【解析】根据题意可得方程221410x yk k+=--表示椭圆的方程∴40100410kkk k->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得:410k<<且7k≠∴实数k的取值范围是(4,7)(7,10). 故答案为:(4,7)(7,10).15．（2018·上海市通河中学高二期末）椭圆22143x y+=的右焦点到直线y=的距离为_____.【解析】因为椭圆方程为221 43x y+=所以2221c a b=-=所以右焦点的坐标为()1,0y-=由点到直线距离公式可得2 d==故答案为16．（2019·浙江诸暨中学高二月考）已知椭圆中心在原点，一个焦点为()F-，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________．【答案】8221 164x y+=【解析】已知222224 2,1628ba b caa b ca⎧⎧=⎪==⎪∴=⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎩则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是221 164x y+=．故答案为：椭圆的长轴长为8；其标准方程是221 164x y+=．17．（2019·浙江高二期中）已知椭圆22143x y+=的左、右焦点为F1，F2，则椭圆的离心率为_____，过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，则|F1A|＝_____．【答案】1252【解析】椭圆22143x y+=，可得a＝2，b=c＝1，所以椭圆的离心率为：e12ca==．过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，所以|AF2|232ba==，由椭圆的定义可知：|F1A|＝2a﹣|AF2|＝435 22 -=．故答案为：12；52．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2017·全国高二课时练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率35e=，经过点22A⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．【答案】221 2516x y+=【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆经过点53,2 A⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴＋＝1.①，由已知e＝，∴＝，∴c＝a，∴b2＝a2－c2＝a2－(a)2，即b2＝a2.②，把②代入①，得＋＝1，解得a2＝25，∴b2＝16，∴椭圆的标准方程为＋＝1.19．（2018·黑龙江高二期中（文））求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长是10，离心率是45；（2）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．【答案】（1）225x+29y=1或29x+225y=1；（2）218x+29y=1【解析】（1）设椭圆的方程为：22xa+22yb=1（a＞b＞0）或22ya+22xb=1（a＞b＞0），由已知得：2a=10，a=5，e=ca=45，故c=4，故b2=a2-c2=25-16=9，故椭圆的方程是：225x+29y=1或29x+225y=1；（2）设椭圆的标准方程为22x a +22y b=1，a ＞b ＞0，∵在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线（高），且OF =c ，A 1A 2=2b ， ∴c =b =3．∴a 2=b 2+c 2=18．故所求椭圆的方程为218x +29y =1． 20．（2018·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二月考（文））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程； （2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】 （1）由已知得，得椭圆（2）设，则当时，.21．（2018·福建龙岩二中高二期中（理））已知椭圆C 的两焦点分别为()()1222,022,0F F -、，长轴长为6.⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度.【答案】（1）22191x y +=；（2）63【解析】⑴由()()1222,022,0F F -、，长轴长为6 得：22,3c a ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y +=⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= 所以12121827,510x x x x +=-=又222182763(11)(4)5105AB =+-⨯=22．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若，求k 的取值范围．【答案】解（I ）（II ）【解析】 （I ）由已知，；,故椭圆C 的方程为………………4分（II ）设则A、B坐标是方程组的解.消去，则，………………7分所以k的取值范围是………………12分。