【精品】PPT课件 幂级数展开法部分分式展开法围线积分法——留数法(自学)

二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
先求出 f (z) 的各阶导数 f (n)(z)和 f (n)(a)，n 1, 2,
代入
f (z)=
f (n)(a)(z a)n ，再确定收敛半径即可。
n0 n!
例5 设(1 z)a ealn(1z)（, 称为(1 z)a的主值支），求它的 Marclaurin展开式。
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故f (z)的Marclaurin展式为
f (z) (1 z)a 1 a(a 1) (a n 1) zn, ( z 1)
n1
n!
特别地，当a 1和a 2时，有
1
(z)n ,( z 1)
1 z n0
1
(1)n1 nzn1, ( z 1)
(1 z)2 n1
f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
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现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
f (z) = 1 f ( ) d
2 i Kr z
由 z a 1，有
a
1
1
z ( a) (z a)
1 a
1
1 z
a
a
1 a
n0
z
a a
2
n!
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1 x 1
说明：（7）在 - 1 x 1 恒成立，但当a 取不同值时，
端点 - 1、1处的收敛情况是不同的。
1
(1＋x )2
(1)n (n 1)xn , (1
n0
x
1)
1
(1 x) 2
1
(1)n (2n 1)!! xn, (1 x 1)
n1
(2n)!!

n 1 f n 1 R x x x , 介 x 于 与 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 !
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件 3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数 问题：给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 f x? 若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数. 泰勒公式： 若函数 f x在 x 0 某邻域内有直到 n1 阶的导数，则 n f x f x 2 n 0 0 (1) f x f x f x x x x x x x R x 0 0 0 0 0 n 2 ! n ! n 1 f n 1 R x x x , 介 x 与 于 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 ! ——拉格朗日余项
2 n 0 f x a a x a x a x a 0 f 0 1 2 n 2 n 1 f 0 f x a 2 a x 3 a x na x a 1 1 2 3 n
即
f n 0 n ! a n 1 n n 1 2 a x f x an n n 1 n! n f 0 f 0 2 n f x f 0 f 0 x x x 得证 2 ! n !
问题: （1）x x0 时, 级数(3)是否收敛? （2）若级数(3)收敛, 是否收敛于 f x?
n f x f x 2 n 0 0 x f x 则 f x 设 在 定理 : 在该邻域内能展 f x f x f x x x x x x x 某邻域内有任意阶导数， 0 0 0 0 0 0 2 ! n ! 成泰勒级数(3)的充分必要条件是

= 2 1 iC R 1 ' f b 1 z 1 b bd 2 1 iC R 2 ' fz b 1 z 1 b bd
CR1' CR2'
::zzbb= bb 2 1 iC R 1 ' f b k 0 z b b k d 2 1 iC R 2 ' f z b k 0 z b b k d
= k 0 2 1 i C R 1 'f b k 1 d z b k k 0 2 1 i C R 2 ' f b k d z b k 1
1、达朗贝尔判别法：
k充 分 大 时 ， w w kk 1q 1 k 1w kz绝 对 收 敛
证明：k N N p 1 w kz= k N N p 1 w 1zq k 1 w 1zq N 1 q q N p N
wkz收敛 k1
wkz绝 对 收 敛 k1
k = N + 1 k = N + 1
1
1
z 1时，zk收敛 k=1
z 1时， zk绝对收敛 k=1
二、绝对收敛性的判别法：
wk z 收敛
k=1
wk z绝对收敛
k=1
Np
Np
wkz wkz
k=N+1
k=N+1
w kz收 敛 w kz绝 对 收 敛
k = 1
k = 1
二、绝对收敛性的判别法：
第三章 幂级数展开
§3.1 幂级数的收敛性
一、基本概念：
N :任意大正整数
不存在 发 散
n
p :任意正整数 ：任意小正数
wk
k1
z
lni m k1wk
z
存
在

z
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2
Np
k (z1) .
N 1
05.12.2020
N(z2)
阜师院数科院
k (z2) k (z1) k (z2)
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
1. 定义 对于各复常数 z0,a1,a2, ,ak, , 级数
a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k (3.2.1)
故当 z z0 R 当 z z0 R
，(3.2.1) 绝对收敛。 ，(3.2.1) 可能发散。
R 叫收敛半径，以 z 0 为圆心，R 为半径的圆叫
幂级数的 收敛圆
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。
根值判别法
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。
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阜师院数科院
故 R lim 1
a k k k
例 (1) 1tt2 tk
解： ak 1
收敛半径:
R lim ak 1 a k

nl i mRn(x)n l i m f(x ) S n 1 (x ) 0 , x(x0)
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
f ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n ,x ( R , R )
2 ! 4 !
( 2 n )!
x (, )
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例3. 将函数
1 1 x2
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x 2 ( 1 )n x n (1x1) 1 x 把 x 换成 x 2 , 得
其收敛半径为
1
R lim
n
n
!
1
(n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
Rn(x)
e (n1)!
xn1
e x
x n1 (n 1)!
n 0
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x1x21x 3 1xn ,x( , )
2 ! 3 !
n !
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例2. 将 f(x)sixn展开成 x 的幂级数. 解: f (n)(x)sinx (n2)
则
a0f(0)
f ( x ) a 1 2 a 2 x n n x n a 1 ; a1f(0)
f ( x ) 2 ! a 2 n ( n 1 ) a n x n 2 ;a221! f(0)

jIm( z)
0

X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1，并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1

xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0

xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统
信
§8.3 Z反变换
部分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X (z)

N(z) D(z)

b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2

br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换

X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn

1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内，选择一条包围 坐标原点的逆时针方向的围线C， 的全部X极z点zn都1 在积分路线的内 部。
级数的系数就是序列 xn
2．右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列

X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3．左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n