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1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件

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恒成立问题的解法20141009

恒成立问题的解法20141009

取值范围．
【解】
(1)令 F(x)＝ g(x)－ f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ k.
问题转化为 F(x)≥0 在 x∈[－ 3， 3]时恒成立， 故解 [F(x)]min≥0 即可． ∵ F′ (x)＝ 6x － 6x－ 12＝ 6(x － x－ 2)， 故由 F′(x)＝ 0，得 x＝ 2 或 x＝－ 1. ∵ F(－ 3)＝ k－ 45， F(3)＝ k－ 9， F(－ 1)＝ k＋ 7， F(2)＝ k－ 20， ∴ [F(x)]min＝ k－ 45， 由 k－ 45≥ 0，解得 k≥ 45， 故实数 k 的取值范围是[45，＋∞ )．
3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端 点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的 也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只 要不在端点处取必定是极值．
利用导数解不等式恒成立问题 利用导数研究某些函数的单调性与最值，可以解 决一些不等式证明及不等式恒成立问题，如利用 “f(x) ＜ a 恒 成 立 ⇔ f(x)max ＜ a” 和 “f(x) ＞ a⇔f(x)min＞a”的思想解题．
1：当 a 1,3 时，不等式 x 2 ax 2 0 恒成立，则 x 的范围为 ．
x＞－1或x＜－2
对于一次函数f x kx b(k 0)， x [m，n]，有 f m 0 ； 1 f x 0恒成立 f n 0 f m 0 . 2 f x 0恒成立 f n 0
6＋6a＋ 3b＝0 即 . 24＋ 12a＋ 3b＝0
解得 a＝－3，b＝4. 3 2 (2)由(1)可知，f(x)＝2x － 9x ＋ 12x＋8c， 2 f′ (x)＝ 6x －18x＋ 12＝6(x－ 1)(x－2)． 当 x∈ (0,1)时，f′ (x)>0； 当 x∈ (1,2)时，f′ (x)<0； 当 x∈ (2,3)时，f′ (x)>0.

高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题

高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题


1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间
为(1,e],f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
课堂考点探究
变式题1 已知f(x)=ax-ln
ln
x,x∈(0,e],g(x)= ,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,

a∈R.
1
1
上的最大值为- ,f(x)在 ,2
2
2
上的最小值为ln 2-2.
课堂考点探究
变式题2 [2021·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=ln
1 2
x- x .
2
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
解:原不等式即为ln
1 2
ln
1
ln
1
x- x >(2-a)x2,可化简为2-a< 2 - .记g(x)= 2 - ,则原不等式
用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结
构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
课堂考点探究
(2)可化为不等式恒成立问题的基本类型:
类型1:函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,只需f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
类型2:函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,只需f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式
放缩法等.
课堂考点探究
探究点一
恒成立与能成立问题
例1 [2022·南京调研] 设函数f(x)=(x2-a)ex,a∈R,e是自然对数的底数.

1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法

1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法
§1.3.1一元二次不等式和简单高次不 一元二次不等式和简单高次不 等式的解法
§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法
复 习 目 标 及 教 学 建 议 基 知 双 能 规 础 识 基 力 律 训 练 要 固 提 总 点 化 升 结
2011-3-8
2
§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法
2011-3-8 16
§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法
(2)已知集合 已知集合A={x|(x+1)(2x-1)＞0},B={x|x2+ax+b≤0},且 已知集合 ＞ 且 1 全集U=R， ðU 全集 ， (A∩B)={x|x＞3或x≤ }，求实数 、b的取值 ＞ 或 ，求实数a、 的取值 2 范围. 范围
2011-3-8 4
§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法
2+bx+2＞0的解集为(− 1 , 1) ,则a+b的值 2.若不等式 若不等式ax 若不等式 ＞ 的解集为 则 的值
为 A．10 ． 个根.
2 3
B．-10 ．
C．14 ．
(D ) D．-14 ．
1 1 【解析】由已知得：a＜0且- , 是ax2+bx+2=0的两 2 3
2011-3-8 3
§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法
基 础 训 练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}， ．设集合 ， ( A) 则A∩B= A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} ． 或 B．{1，2，3，4} ． ， ， ， C．{x|1≤x≤4} ． D．R ． 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， 解析】 ， B={x|x≤2或x≥3}， 或 ， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}. 或

含绝对值不等式的恒成立的问题

含绝对值不等式的恒成立的问题
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
例2(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
题型一 绝对值不等式的解法
题型二 利用绝对值不等式求最值
题型三 绝对值不等式的综合应用
例1(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.
解①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)
当x<－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，

基本不等式

基本不等式
2
+2
C．a2＋2＋
)
4
2
D ．a ＋
【解析】选D.
课件制作老师：胡琪
2
≥4
基本不等式应用
课件制作老师：胡琪
和化积
对勾型，直接用
1

1.函数 = + + 6( > 0)的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
1

D．9
1

解析： = + + 6( > 0) ≥ 2 ⋅ + 6 = 8
2−2
A．有最小值1
C．有最小值－1
(
)
B．有最大值1
D．有最大值－1
课件制作老师：胡琪
和化积
12. =
A.8
可化为对勾型
2 +7+10
+1
> −1 最小值（
B.9
解：令 = + 1 > 0， =
）
C.10
2 +5+4

4

D.11
4

=+ +5≥2 × +5=9

3
1
3，则3－3x－ ≤3－2

课件制作老师：胡琪
3，故选D.
和化积
可化为对勾型
7.若 ∈ 1, +∞ ，则 =
A.4
B.5
4
+
的最小值是___________.
−1
C.6
D.7
解析：∵ ∈ 1, +∞ ，∴ − 1 > 0，
∴ =+
4

2022版新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件新人教A版2021051

2022版新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件新人教A版2021051
解析

(1)
(2)ab>ba
−
+
+
=
(+)-(+ )
(+ )
=
(-)
.
(+ )
因为 a>b>0,m>0,所以 b-a<0,a+m>0,
(-)

所以(+ )<0,即
(2)令
ln
f(x)= ,则
为 e<a<b,所以
−
+

<0,所以
+

1-ln
f'(x)= 2 ,当
ln
f(a)>f(b),即

<
+
.
+
x>e 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(e,+∞)上单调递减,因
>
ln
⇒bln

a>aln b⇒ab>ba.
不等式的性质及应用
考点2
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所
3
4
5
A.a<b<c
C.c<a<b
答案 (1)D
B.c<b<a
D.b<a<c
(2)B
)
)
解析 (1)∵a,b∈(0,1),且 a≠b,则显然有 a+b>2 ,a2+b2>2ab.下面比
较 a2+b2 与 a+b 的大小.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b.故

含参不等式恒成立问题的解法标准版资料

第五页，共10页。
例2、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立(chénglì)，求实数m的取值 范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立(chénglì)，求实数x的取值
范解围(2). : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
件为：
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为：
(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综上可知: 适合条件的m的范围是:
-11<m
<
3 2
。
第七页，共10页。
练习 3.若不等式x2-kx+2>0,对x∈[-3,3]恒成
∴x 解得:
（ 1<m_<，_C_<_）0________Δ_=_b__2-_4_a_c__<_0。
问题(wèntí)获解。
题，分类讨论。
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，
３、ａ≥f(x)恒成立的等价(děngjià)条件ａ是≥[：f (x)] max
_____________;
ａ≤[f (x)] min
题，分类讨论。 3、通过分离参数，将问题(wèntí)转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
当t∈[0,1]时，不等式xt>x-1恒成立，求x的取值范围. 一、基础(jīchǔ)知识点：

高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修54

若(x－m)(x－n)<0，则可得 m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要 对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”， 讨论需从以下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2

高中数学 1.3 绝对值不等式的解法课件 新人教B版选修4


标
(1)作出函数 f(x)的图象；(2)解不等式 f(x)>2.
课
堂
课
互
时
动
作
探
业
究
菜单
RB ·数学 选修4-5
4，x≤4， 【解】 (1)f(x)＝12－2x，4<x≤8，
课 前
堂
课
互 动
为 f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)，当然|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．如
时 作
探
业
究 果 f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号．
菜单
RB ·数学 选修4-5
解下列不等式：
课 前
(1)(2011·江苏高考)x＋|2x－1|<3；
当 堂
自
双
达 标
【自主解答】 ①当 x<0 时，原不等式可化为－2x＋1<
－x＋1，解之得 x>0，与 x<0 矛盾，此时无解；
课
堂 互 动
②当 0≤x<12时，原不等式可化为－2x＋1<x＋1，解之得
课 时 作
探
业
究 x>0，
又∵0≤x<12，从而有 0<x<12；
菜单
RB ·数学 选修4-5
课
当
前
堂
自 主 导
③当 x≥12时，原不等式化为 2x－1<x＋1，
学
双 基 达 标
∴x<2.
课
因此12≤x<2.
堂
课
互 动
综合①，②，③知，原不等式的解集是{x|0<x<2}．

“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用

yf(x ) a x b (a 0 )，若 y f (x) 在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0 ，则根据函数的
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）
a f
0 (m)
0
或ⅱ）
a f
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0
在区间 [ , ] 上恒成立问题：
（1）当 a0 时，f(x)0在 x [,]上恒成立
2ba或 2ba或 2ba，
的范围.
解：
f fБайду номын сангаас
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0 在全集 R 上恒成立问题：
（1）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0 （2）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0
则有
f f
(m) 0 (n) 0
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1x2时，函数
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①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
A.0
B.-2
（）
C.- 5 2
D.-3
y
y2 ax
法四：原不等式可化为：ax ≥ -x2 1
o
11 x
设 y1
x2
1, xx
(0,1 2
],
y2
ax
在同一坐标系下作它们的图
象如右图:
由图可得：a ≥ 5 24
2
当a 5 时，f (x) x2 5 x 1，对称轴x 5 ，（0,1 ]是f (x)的
2
2
4
2
减区间，f ( 1 ) 0，故f (x) ≥ 0在（0,1 ]恒成立。
当a
2
3时，f
(x)
x2
3x
2
1，对称轴x
3 ，（0,1 ]是f
( x)的
2
2
减区间，f ( 1 ) 1 0,故在（0,1 ]上f ( x) ≥ 0不恒成立。
适合条件的m的范围是:
（-11，23 ）
5
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]）
令
y x
t
（t
>
0） ,
则
a
≥
1 2t 1 t2
（t > 0） 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
2
4 52
5 1 2
(当且仅当m= 5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 1 2
即a ≥
5 1 2
14
三、方法小结：
15
四、练习题：
1、若不等式|x-a|+|x-1|>2 对x R恒成立，则实数a的取值
的思想，去解不等式的方法。
4
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
1、数形结合法：即对于一次函数型问题，利用一次函数 的图像特征求解；对于二次函数型问题，结合抛物线图 像，转化成最值问题，分类讨论。
2、对于f(x)≥g(x)型问题，
或利用数形结合思想转化为函数图象的关系处理； 或利用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立， 再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
不等式转化为(x2 -1)m-(2x-1)<0， 令f (m) (x2-1)m-(2x-1)( 2 ≤ m ≤2)
13
例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成
立，则实数a的取值范围是 —————————。
解: 分离参数得:
a≥
x 2 xy xy
1 2
1
y yx x
恒成立
2
-1
a
2
5
4
y1 x2 1
11
练习1：若不等式x2 2mx 2m 1 0对满足 x [0,1]的所有实数x都成立，求m的取值范围。
答案：m 1 2
12
练习2.若不等式2x 1 m(x2 1)对满足 2 ≤ m ≤ 2的所有m都成立，求x的取 值范围。
分析:确定题目中的主元，化归成一次函数求解。
y
y
c
同理， aox2+bx+x c<0在R上恒成立的充要o 条件x是：
_a_=_b_=_0__或____a_<__0________。
C<0
Δ=b2-4ac<0
3
2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一
边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 ａ≥f(x)恒成立的条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x __; ａ≤f(x)恒成立的条件是：_ａ__≤__[_f (_x_)]_m_i_n _
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，则：
f(x)>0恒成立
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立
f()<0
y f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1
13 2
∴
x
（
1
13 2
，1
13 2
）
6
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切x (0,1 ]成立， 2
则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法一:不等式可化为ax ≥ -x2 1，
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为： (1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得: 综上可知:
1<m<
3 2