解析版北京市东城区2015届高三第二学期综合练习(一)数学文试题
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北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为A ．(1,2)B ．(2,1)C ． (1,2)-D ．(2,1)- 答案：C解析：考查复数的几何意义z a bi =+ 在复平面的坐标为(),a b（2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为A ．12y x=± B．y = C ．2y x =± D．y = 答案：A解析：双曲线22221x y a b -= 的渐近线方程为b y x a =±（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则 A ．0()=2f x ' B ．0()=1f x 'C ．0)(0='x f D ．0()=1f x '-答案：D解析：考查导函数的几何意义：函数在某点处的切线斜率等于其导函数在该点处的值 （4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：直线a ，b 不相交，有平行或异面两种情况；但直线a ，b 为异面直线，必然不能相交，故选B （5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为A ．12B ．13 C ．14D ．16答案：D解析：因为事件“310x -<”发生的概率为11326P ==（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，则图中判断框内①处应填A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：A（7）设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，则下列命题中正确的是 A ．(,)x y ∀D ∈，20x y -≤ B ．(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- C ．(,)x y ∀D ∈，2x ≥D ．(,)x y ∃D ∈，1y ≤-答案：B解析：因为点11,3D⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 可排除A 、C ，又根据10x y x y y +≥≥-⇒≥故D 错误，选B（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与na 的关系可以表示为A ．111502n n a a +=+ B ．112003n n a a +=+C ．113005n n a a +=+D ．121805n n a a +=+答案：A解析：由题可知()1180%30%0.80.35001502n n n n n n a a b a a a +=+=+-=+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知集合{}1A =，{}1,21B m =--，若A≠⊂B ，则实数m 的值为1 ．答案：解析：2111m m -=⇒=（10）将函数()s i n (2)3f x x π=+的图象向右平移6π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2y x = ．答案：解析：函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移6π得()sin 2sin 2663y f x x xππ⎡π⎤⎛⎫=-=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（11）在矩形ABCD 中，AB =(1,3)-，(,2)AC k =-，则实数k = ． 答案：4 解析：由题可知()26100AB BC AB AC AB AB AC AB k ⋅=⋅-=⋅-=+-=（12）已知函数()f x 的对应关系如下表所示,数列{}n a 满足13a =，1()n n a f a +=,则4a =３，2015a =１．答案： 解析：因为1()n n a f a += 所以()()2132()31,()13a f a f a f a f ======故此数列为1,3,1,3,1,3所以420153,1a a ==（13）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当[0x ∈，1]时，()2f x x =.若在区间[2-，3]上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案：2253a <<解析：根据题意作出函数()f x 在区间[2-，3]上的图像方程+2()0a xa f x -=的根等价于函数()f x 与函数()2y a x =+ 的图像的交点，如图所示可计算得2253a <<（14）C是曲线10)y x =-≤≤上一点，CD 垂直于y 轴，D 是垂足，点A 的坐标是1,0-（）．设CAO θ∠=(其中O 表示原点)，将AC CD +表示成关于θ的函数()f θ，则()f θ= ，()f θ的最大值为 ．答案：()2cos cos 2,,42f ππθθθθ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，32 解析：如图易知2COA πθ∠=-∴()22222cos 22cos 24cos AC OC OA OA OC COA πθθ=+-⋅⋅∠=--=所以()()2cos cos 22cos cos 2,,42f ππθθπθθθθ⎡⎫=+-=-∈⎪⎢⎣⎭ 2213()2cos cos22cos 2cos 12cos 22f θθθθθθ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭当3πθ=时，max 3()2f θ=三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8.（Ⅰ）求x ，y 的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率． 答案： 解析：（16）（本小题共13分）在△ABC中，sin 2A A =． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①2a =； ②45B =；③c =．试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) ． 答案： 解析：（17）（本小题共14分）如图甲，⊙O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，且CBA∠3DAB π=∠=．沿直径AB 将半圆ACB 所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）．F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．图乙（Ⅰ）求证 ：CB DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥C BOD -的体积；（Ⅲ）在劣弧BD 上是否存在一点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置； 若不存在，请说明理由． 答案： 解析：（18）（本小题共14分） 已知1x =是函数()2ln bf x x x x =++的一个极值点．（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）设函数3()()g x f x x =-，试问过点2（，5）可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由．答案：解析：（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M 为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．答案： 解析：（20）（本小题共13分）已知等差数列{}n a 中，15a =，2474a a =，数列{}n b 前n 项和为n S ,且2(1)n n S b =-n *∈N （）.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，求{}n c 的前n 项和n T ；（Ⅲ）把数列{}n a 和{}n b 的公共项从小到大排成新数列{}n d ,试写出1d ，2d ，并证明{}n d 为等比数列．答案：解析：东城区2014-2015学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）D （4）B （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）sin 2y x = （11）4 （12）1 3 （13）2253a <<（14）2cos cos 2θθ-,[,)42ππ∈θ 32 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10x +，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10y +，18，24． 因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8， 所以1013x +=，91510182416.8584y +++++=⨯=．解得3x =，8y =． ………………………..4分 （Ⅱ）成绩不低于10分且不超过20分的学生中甲组有两名设为1a ，2a ，乙组有三名，设为1b ，2b ，3b ，共有5名， 从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为1a （，2a ，1b ），1a （，2a ，2b ），1a （，2a ，3b ），1a （，1b ，2b ），1a （，1b ，3b ），1a （，2b ，3b ），2a （，1b ，2b ），2a （，1b ，3b ），2a （，2b ，3b ），1b （，2b ，3b ）． ………………………..8分 恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为 1a （，1b ，2b ），1a （，1b ，3b ），1a （，2b ，3b ），2a （，1b ，2b ），2a （，1b ，3b ），2a （，2b ，3b ）， 故所求概率P =63=105． ………………………..13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）依题意得2sin()23A π+=,即sin()13A π+=. 因为0A <<π，所以4333A ππ<+<π ,所以32A ππ+=. 即6A π=． ………………………..5分（Ⅱ）方案一：选择①② 由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin ab B A==因为A B C ++=π，所以sin sin()C A B =+=sin()64ππ+=.所以1sin 2S ab C ==1224⨯⨯. ………………………..13分方案二：选择①③ 由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,即222334b b b +-=,解得2b =，c =.所以111sin 2222S bc A ==⨯⨯=． ………………………..13分说明:若选择②③,由c =得，sin 1C B ==>不成立,这样的三角形不存在． （17）（共14分）证明：（Ⅰ）在△AOD 中，因为3OAD π∠=，OA OD =， 所以△AOD 为正三角形. 又E 为OA 的中点， 所以DE AO ⊥ ．因为两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， 所以DE ⊥平面ACB ． 又CB ⊂平面ACB ，所以CB DE ⊥． ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面ACB ，所以DE 为三棱锥D BOC -的高．D 为圆周上一点，且AB 为直径，所以2ADB π∠=. 在△ABD 中，由BD AD ⊥,3BAD π∠=,2AB =,得1AD =，DE =．又4BOCS=， 所以13C BOD D BOC BOC V V S DE --∆==⋅＝234331⨯⨯＝81． ……………………9分 （Ⅲ）存在满足题意的点G ，G 为劣弧BD 的中点．连接,,OG OF FG ，易知OG BD ⊥，又AD BD ⊥ 所以OG ∥AD .又OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD , 所以OG ∥平面ACD ．在△ABC 中，,O F 分别为,AB BC 的中点， 所以OF ∥AC .又OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以OF ∥平面ACD . 因为OG ∩OF O =， 所以平面OFG ∥平面ACD ．FG ⊂平面OFG ，所以FG ∥平面ACD ． ………………………..14分（18）（共14分）所以(1)0f '=，解得3b =．经检验，满足题意，所以3b =. ………………………5分所以()f x 的单调递减区间为0（，1）． ………………9分设过点2（,5）的直线与曲线()g x 相切于点0(x ，0)y ，令2()ln 2h x x x =+-，212()h x x x'=-，由()0h x '>，得2x >，()0h x '<，得02x <<． 所以()h x 在区间0（，2）上单调递减，在区间2（，+∞）上单调递增．因为1()2ln 202h =->，(2)ln 210h =-<，2(e )h =220e >， 所以()h x 与x 轴有两个交点，即方程002ln 20x x +-=有两个实根． 所以过点2（,5）可作两条直线与曲线()y g x =相切． ………………………..14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=，解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分 （Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=． 由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ．因为2222100(+1)r MF x y ==+， 所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥． 又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥． 整理得200340+480x x-≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ， 所以0423x ≤<．所以00y <≤因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当03y =时，△12MF F面积有最大值3． ………………..13分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则由2474a a =，得75+)4(53)d d =+（， 解得3d =.所以32n a n =+，n *∈N .因为21n n S b =-（）， ① 所以+1=2n S （11n b +-）. ② ②-①得1122n n n b b b ++=-, 即12n n b b +=.由①得1122b b =-,则12b =. 所以{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列, 所以2n n b =,n *∈N . ………………………5分 （Ⅱ）因为32,2,n n n n c n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，所以数列{}n c 的奇数项组成首项为5,公差为6的等差数列； 数列{}n c 的偶数项组成首项为4,公比为4的等比数列. ① n 为偶数时,214(14)5(1)6222214nn n n n T -=⨯+⨯⨯-⨯+-23=4n 4+3n -++2123n ⋅；② n 为奇数且3n ≥时, 1n n n T T a -=+23=(1)4n -4+(1)3n --+1123n +⋅+3+2n 23=4n 55++212n +1123n +⋅.经检验,当1n =时上式也成立.综上所述，22213412,4333551+2,42123n n n n n n T n n n ++⎧+-+⋅⎪⎪=⎨⎪++⋅⎪⎩为偶数为奇数.， ………………………..9分（Ⅲ）由32n a n =+，2n n b =，可得1238d a b ===，210532d a b ===.假设2k n m k d a b ===, 则32=2k m +. 所以112222(32)3(21)1k k k b m m ++==⋅=+=++,不是数列{}n a 中的项； 2+2=2424(32)k k k b m +=⋅=+=3(42)2m ++，是数列{}n a 中的第42m +项. 所以+142=n m d a +=222k k b ++=， 从而2+1242k n k n d d +==. 所以{}n d 是首项为8,公比为4的等比数列. …………………13分。
