2007级数学分析第2学期第2次测验解答 2008-4-6
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工科数学分析测验 2008.4（参考解答）一、判断题（每题6分，共12分）1 设()d baf x x ⎰为瑕积分，若2()d baf x x ⎰收敛，则()d baf x x ⎰必收敛说明：判断正确得3分2 设{}n a 是正数列，若lim 0n n na →∞=，则1n n a ∞=∑必收敛说明：判断正确得3分，举出的反例不规范且未加验证加1分二、填空题（每题4分，共16分）1(电、软院) 二阶齐次欧拉方程222d d 420d d y y x x y x x ++=(0)x >的通解是 122c c x x + 1＊(管院)级数1n ∞=∑之和是12 设1(1)1sin ,4nnn n x n n π⎛⎫=-⋅++∈ ⎪⎝⎭N ，则lim n nx →∞= --e ，lim n n x →∞= 1+e 说明：每空2分3 瑕积分e 1x =⎰π2 4 函数列1()sin ,n n n f x n x=∈e N e 在(0,)+∞上的极限函数()f x =1x ，且{()}n f x 在）三、选择题（每题3分，共12分） 1 下列断语中的正确断语是【 D 】① 设()f x 在[,)a +∞上单调，无穷积分()d af x x +∞⎰收敛，则必有lim ()0x f x →+∞=；② 设()f x 在[,)a +∞上无界，则无穷积分()d af x x +∞⎰必发散；③ 设()f x 在[,)a +∞上恒为正值且lim ()x f x →+∞存在，无穷积分()d af x x +∞⎰收敛，则2()d af x x +∞⎰必收敛.A ①、②和③；B ①和②；C ②和③；D ③和① 2 设正项级数1n n a ∞=∑发散，记123,,I I I 如下，则结论是【 D 】111n n n a I a ∞==+∑， 2211n n n a I a ∞==+∑， 3211nn na I n a ∞==+∑ A 1I 、2I 和3I 必都发散； B 1I 必发散，2I 和3I 都收敛；C 1I 和2I 必都发散，3I 收敛；D 以上结论都不正确3 设级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中必定收敛的是【 C 】A21nn u∞=∑； B11(1)n n n u ∞-=-∑； C1(11/)nnn n u∞=+∑； D1sin nn un ∞=∑4 考虑下列断语，则结论是【 B 】 ① 若对[,](,)a b αβ∀⊂，都有()()n f x f x →→,[,]x αβ∈，则必有()()n f x f x →→，(,)x a b ∈；② 若()()n f x f x →→,[,)x a b ∈，而{()}n f b 收敛，则必有()()n f x f x →→，[,]x a b ∈ A ①正确，②不正确； B ①不正确，②正确；C ①和②都正确；D ①和②都不正确四、（12分）判别广义积分0arctan d (0)p xx p x+∞>⎰的敛散性 解 记def 112001arctan arctan arctan d d d p p px x xx x x =I I x x x +∞+∞=++⎰⎰⎰ 2分 对1I ，0x =为可能的瑕点，因100arctan lim ()lim1p x x x x f x x-→→== 故当11p -<即2p <时1I 收敛，当2p ≥时1I 发散； 5分对2I ，因lim ()lim arctan p x x x f x x →+∞→+∞π==2故当1p >时2I 收敛，当1p ≤时2I 发散.综上所述，原积分当12p <<时收敛；当01p <≤和2p ≥时发散. 5分五、（各题得分依次为6分、8分、10分，共24分）判别下列级数的敛散性 1 ()221[2(1)]11/n nn n n n ∞=+-+∑ 解 用根值法. 因3111/n n →∞==>+e故级数发散.说明：用根值法求上极限得2分，上极限计算错误但结论对加1分2 11/1(1)n p n n n+∞+=-∑ 解 当0p ≤时，因lim n n u →∞不存在，故级数发散； 1分当1p >时，因1/110,n p npu n n n +<=<∈N 由11p n n ∞=∑收敛可知1n n u ∞=∑也收敛，故原级数绝对收敛； 2分 当01p <≤时，因交错级数11(1)n p n n +∞=-∑收敛(Liebniz 判别法)，而数列1/1n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在n 充分大后单调递增，且有1/11,nn n≤∀∈N ，由Abel 法可知级数收敛. 3分 又01p <≤时，因1/lim lim 1pnn n n n u n→∞→∞==故1nn u∞=∑发散，原级数条件收敛.综上所述，原级数在01p <≤条件收敛；在1p >时绝对收敛. 2分31sin ln n nn n ∞=-∑ 解 对级数1sin n n ∞=∑，因n ∀∈N ，有1111/21/21111222211sin sin sin cos cos sin sinnnnk k k k k k k ===⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 11cos 122221cos sin n -⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦121sin≤ 故级数1sin n n ∞=∑部分和有界. 3分对数列1ln n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，若令1()(1)ln f x x x x =≥-，有 ()()22111()0ln ln xx f x x x x x x --'=-=≤--故1ln n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，又111limlim 0ln 1ln /n n n n n n n→∞→∞=⋅=--由Dirichlet 法可知原级数收敛. 3分又(1)(2)2def sin sin 11cos 2ln ln 2ln ln n n nn n u u n n n n n n n n ⎛⎫≥=-=- ⎪----⎝⎭2分而由(1)1limlim lim 11ln 1ln /n n n n u n n n n nn→∞→∞→∞===-- 可知(1)1nn u∞=∑发散；仍由Dirichlet 法可知(2)1nn u∞=∑收敛，故原级数为条件收敛. 2分说明：只叙述而未完整验证级数部分和有界条件，或只叙述而未完整验证数列单调性条件两者之一的扣2分；两者均未完整验证条件的合计扣4分六、（14分）设21e ()1nxn f x n -∞==+∑，证明 （1）()f x 的定义域为[0,)+∞； （2）()[0,)f x C ∈+∞；（3）()f x 在(0,)+∞上有连续的导数证明（1）用根值法. 因x x n n --==e故当1x >时级数收敛；1x <时级数发散；当1x =时级数为2111n n∞=+∑也收敛，故级数的收敛域（即()f x 的定义域）为[0,)+∞. 3分 （2） 因对,[0,)n x ∀∈∀∈+∞N 有 22110()1n u x n n ≤≤≤+ 而级数211n n∞=∑收敛，由M －判别法可知原函数级数在[0,)+∞上一致收敛. 又[0,)n u C ∈+∞，n ∀∈N ，由连续性定理可知()[0,)f x C ∈+∞. 4分（3） 因22()11nx nxn n u x n n --'⎛⎫'==- ⎪++⎝⎭e e 对0(0,)x ∀∈+∞，取0(0)x δ<<，因数列21n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭单调递减，且21,1n n n ≤∀∈+N ，又 0,,[,)nx n n x δδ--≤≤∀∈∀∈+∞e e N而级数1n n δ∞-=∑e收敛（根植法），故1nxn ∞-=∑e在[,)δ+∞上一致收敛，由Abel 法可知导数级数1()nn u x ∞='∑在[,)δ+∞上一致收敛. 又因[,)nu C δ'∈+∞,n ∀∈N ，由逐项可导定理可知，()f x 在[,)δ+∞上有连续的导数. 6分特别地，()f x 在点0x 处导数连续. 由0x 取法任意性即可知()f x 在(0,)+∞上有连续1分七、（10分）设无穷积分0()d g x x +∞⎰绝对收敛，记()()sin d f x g t xt t +∞=⎰证明().[0,)f x U C ∈+∞证明 由条件0,0A ε∀>∃>，使()d 4Ag x x ε+∞<⎰. 2分记()d Ag x x M =⎰，取021AM εδ=>+，对,x x '''∀∈()[0,)x x δ'''+∞-<，有 4分()()f x f x '''-＝()(sin sin )d g t x t x t t +∞'''-⎰2()sincos d 22x x x x g t t t t +∞''''''-+≤⎰ 02()d 2()d 2A A x x g t t t g t t +∞'''-≤+⎰⎰ 8分2AM x x ε'''<-+22εεε<+=从而有().[0,)f x U C ∈+∞. 10分。
