最新概率论名词解释总结

第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .,}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2 (n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

概率论名词解释-频数与频率频数：事件发生的次数。

频率：每单位时间内所发生的频数。

重复试验：为获取平均值，需要在实验中进行多次测量。

概率论：研究随机现象总体规律的一门学科。

1、重复试验：从一系列有随机误差的观察中所得到的结果。

2、离散型随机变量：随机变量只能取整数值，但不能是小数，如，π是一个离散型随机变量，它的取值范围是0到pi。

3、连续型随机变量：随机变量的取值可以分布于某一区间之内，但不能落在边界上。

例如：设π的取值是从0到pi，而π在0到1之间是连续型随机变量。

4、分布函数：反映随机变量取值范围的概率密度函数。

5、数学期望：由样本函数的取值计算而来的期望。

最小可信度：对于某一随机变量，若用这个随机变量来估计总体参数时，所估计的值越接近于真实值，则这个估计值就越可信，或者说该随机变量的可信度越高。

也即最小可信度越大。

这里的n是指统计量的取值区间，统计量是由样本统计量推导出来的，而由样本统计量推导出来的统计量，其分布服从统计学规律，因此它们之间具有一定的相关性。

6、中心极限定理，又称大数定律，定义为：大数定律说明如果随机变量序列{X}服从N(0， 1)， N(-∞， +∞)， N(0， 1)， N(1，∞))=1的均匀分布，则对于任意给定的正实数，这个概率密度P(X| 0，1，∞)的取值为{0， 1，∞}。

7、标准差(SD)，由下列公式计算：SD=σ2-σ1。

8、样本空间：用于描述被研究对象集合。

最大似然估计法(MLE)又称贝叶斯估计法，其基本思想是利用样本空间中的全部数据，估计样本统计量。

通常情况下，它是作为参数估计的一种补充手段，用于统计假设检验或参数估计。

该方法要求事先知道总体的分布和参数，因而对未知的抽样误差不敏感。

最大似然估计法的步骤为： (1)确定事先给定的随机抽样方案; (2)从总体中按一定的统计规律抽取容量足够大的样本; (3)计算样本统计量; (4)根据样本统计量的分布特征，利用抽样分布，推断总体参数的分布特征; (5)解释样本统计量的意义。

概率统计学的名词解释汇总在现代科学和社会科学中，概率统计学是一门核心学科。

它关注的是通过搜集和分析数据来解释现象，并从中推断出模式、关联和趋势。

本文将汇总一些常见的概率统计学名词的解释，帮助读者更好地理解这一学科。

1. 总体（Population）总体是指研究者感兴趣的整个群体或现象的集合。

为了方便研究，总体通常具有特定的特征。

例如，如果我们对一个国家的人口进行研究，那么这个国家的所有居民就构成了总体。

2. 样本（Sample）样本是指从总体中选取出来的一部分元素组成的子集。

当总体很大或者很难完全观察时，我们通常通过对样本进行研究来了解总体的特性。

样本的选取应具有代表性，以保证研究结果的可靠性。

3. 参数（Parameter）参数是指总体的某个特征的数值度量。

例如，如果我们研究的是一个国家的人口分布，那么总体的平均年龄就是一个参数。

参数通常用于描述总体的特征，并且往往要通过样本来进行估计。

4. 统计量（Statistic）统计量是指样本的某个特征的数值度量。

例如，样本的平均年龄就是一个统计量。

统计量可以帮助我们通过样本推断总体的特征。

常见的统计量包括样本均值、样本方差等。

5. 统计推断（Statistical Inference）统计推断是指通过对样本的观察来进行总体特征的估计和假设的检验。

在统计推断中，我们通常使用概率模型和统计方法来从样本中推断出总体的特征，同时估计推断的精度。

6. 抽样误差（Sampling Error）抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。

由于样本只是总体的一个部分，所以样本统计量与总体参数之间会存在一定的差异。

抽样误差的大小通常取决于样本的大小和样本的随机性。

7. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是概率统计学中最重要的分布之一。

它的概率密度函数呈钟形曲线，有两个参数：均值和标准差。

许多自然现象和统计现象都服从正态分布，例如身高、体重等。

正态分布在统计分析和推断中具有广泛的应用。

概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为或。

A B ⊇B A ⊆相等关系：若且，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

A B ⊇B A ⊆事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。

记为 A ∪B 。

事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。

事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。

用交并补可以表示为。

B A B A =-互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。

互斥时可记为A ＋B 。

B A ⋃对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为。

对立事件的性质：A 。

Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）： B A B A ⋂=⋃BA B A ⋃=⋂第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时⋃⋃⋃⋃n A A A 21++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P 概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时n A A A ⋃⋃⋃ 21)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ 当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)(2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则P(B)=∑P()P(B|)n A A A ,,,21 i A i A 贝叶斯公式：设是一个完备事件组,则n A A A ,,,21 ∑==)|()()|()()()()|(j j i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P 第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则与B ，A 与，与均相互独立A B A B 总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

概率名词解释概率，又称或然率、机会率、机率(几率)或可能性，是概率论的基本概念。

概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

越接近1，该事件更可能发生;越接近0，则该事件更不可能发生。

人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。

如果一个试验满足两条：(1)试验只有非常有限个基本结果;(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验就是古典试验。

对于古典试验中的事件a，它的概率定义为：p(a)=m/n，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。

m表示事件a 包含的试验基本结果数。

这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

1、顺利呈圆形概率分布，关键就是你能够无法秉持至顺利已经开始呈现出的那一刻。

2、奇迹出现的概率，永远取决于努力。

3、我们时常真的这些事出现的概率太小，而真正出现时，才晓得其实他不是无稽之谈锡尔弗其言。

其实只要信任，也不是什么大不了的事。

4、假如进化的历史重来一遍，人的出现概率是零。

5、能够和你现在拖著手的那个人，你们碰面的概率简直就是近乎奇迹，期望你们无论怎样都不要放宽彼此的手。

6、太复杂的设计实际上是降低了成功的概率。

7、据传人一生可以碰到三千万人，两个人重归于好的概率没0.。

于是我晓得，碰到你就是我的缘分，爱上你就是我的情分，守护者你就是我的本分。

快乐你永不变小。

8、唯一的不同是哪个问题我们最紧张，我们就会把它的概率给抛到九霄云外去。

9、我真的能够重新认识你，类似于某个极低概率的奇迹。

10、若一种动物对新奇的事物没有心存戒备，其生存概率就会很低。

11、你们碰面的概率简直就是近乎奇迹。

12、我们的生命，端坐于概率垒就的金字塔的顶端。

面对大自然的鬼斧神工，我们还有权利和资格说我不重要吗。

13、电压暂降概率评估的结果可以用作推论电力系统网络结构与否合理。

14、利用经典大偏差的方法，在一定的条件下，得到了相应概率的对数渐近式及测度族的大偏差原理。

概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。

以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。

一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。

（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。

（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。

2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。

3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。

4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。

5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。

6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。

（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。

2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。

3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。

概率论总复习-知识总结(一)概率论总复习-知识总结概率论是一门广泛应用于自然科学、社会科学、医学、金融等领域的数学学科，是研究随机事件及其发生规律的学科。

下面就概率论常见的概念、公式和计算方法进行总结和复习。

一、基本概念1. 试验和事件：试验是人为、自然、社会等各种实际现象的模拟或观测过程，试验的每一个结果称为该试验的一个基本事件；事件是由基本事件构成的，即试验结果的任意某些组合，可以是单个事件，可以是多个事件组合形成的复合事件。

2. 样本空间和事件域：样本空间是由一切可能的基本事件组成的集合；事件域是指样本空间中，所有事件的全体，即事件的集合。

3. 必然事件和不可能事件：试验中一定会发生的事件称为必然事件，常用符号Ω表示；试验中不可能发生的事件称为不可能事件，常用符号Ø表示。

4. 等可能概型：所有基本事件的发生是等可能的，即每个基本事件发生的概率相等。

5. 概率的基本性质：对于任何事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1，并且P(Ω) = 1，P(Ø) = 0；对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) =P(A) + P(B)。

二、概率的计算方法1. 古典概型：若试验基本事件有限且等可能，则事件A的概率P(A) = A中基本事件数 / S中基本事件总数。

2. 几何概型：可以利用图形面积的比值计算。

3. 组合计数：若A是从n个不同元素中取m个元素集合，则其包含m个元素的子集个数称为A的组合数。

三、条件概率和独立事件1. 条件概率：设A、B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率记为P(B|A)，称为条件概率，P(B|A) = P(AB) / P(A)。

2. 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。

3. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式是用于计算复杂事件的概率，表示为P(B) = ΣiP(Ai)P(B|Ai)；贝叶斯公式是在已知结果的情况下，得出反推因果关系的方法，表示为P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai) /ΣjP(Aj)P(B|Aj)。

考研数学中的概率论与数理统计知识点总结随着社会的发展，考研越来越受到广大学子的关注和追捧。

为了帮助考研学子们更好地备考，本文将对考研数学中的概率论与数理统计知识点进行总结和梳理。

一、概率论1.基本概念概率是研究随机事件发生可能性的一种数学方法。

其中，随机事件是指在相同的条件下可能出现也可能不出现的事件。

2.概率的计算概率有三种计算方法：古典概型、几何概型和统计概型。

其中，古典概型适用于有限个等可能性事件的概率计算；几何概型适用于连续性问题的概率计算；统计概型适用于大量重复实验的概率计算。

3.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

其计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。

4.独立事件当事件A和事件B的发生没有相互影响时，称它们是独立事件。

根据概率乘法公式可以得到独立事件的计算公式为P(AB)=P(A)P(B)。

5.随机变量随机变量是指一个随机试验结果所对应的数值，可以分为离散型和连续型两种。

其中，离散型随机变量是指取到有限个或无限个可数值的随机变量，例如掷骰子的点数；连续型随机变量是指取到某一区间内任意一个数值的随机变量，例如人的身高。

二、数理统计1.基本概念数理统计是利用概率论在统计学中进行数据分析和研究的一种数学方法。

其中，总体是指含有可度量或可观察的某种特征的全部个体群体；样本是指对总体的部分观测数据。

2.参数估计参数估计是指通过样本中的数据对总体中某个或某些参数进行估计的方法。

其中，点估计是指通过样本数据直接估计总体参数的值；区间估计是指通过样本数据估计总体参数的值所在的区间。

3.假设检验假设检验是指在已知总体参数的情况下，通过样本所得到的样本统计量来推断总体参数是否符合某种假设的方法。

其中，显著性水平是指假设检验中犯错误的概率，一般取0.05或0.01。

4.方差分析方差分析是指通过方差比较来确定组间差异和组内差异及其大小的方法。

其中，单因素方差分析是指只考虑一个因素对结果影响的方差分析；双因素方差分析是指考虑两个因素对结果影响的方差分析。

概率论的名词解释在现代科学领域中，概率论是一门关于不确定性的数学理论。

它涉及了众多的概念和术语，帮助我们解析事件发生的可能性和规律。

本文将尝试解释一些概率论中常用的名词，以帮助读者更好地理解这个领域。

一、概率概率是一个事件发生的可能性或相对频率。

它通常用一个介于0和1之间的数值表示，其中0表示不可能性，1表示必然性。

例如，当掷骰子时，每个面朝上的可能性都是1/6，因为骰子有6个面。

二、随机变量在概率论中，随机变量表示一个随机事件的数值结果。

它可以是离散的（取有限或可数无限个值）或连续的（可以取到任意一个值）。

例如，抛硬币的结果可以表示为一个离散的随机变量，而身高可以表示为一个连续的随机变量。

三、概率分布概率分布描述了随机变量可能取到的各个值的概率。

对于离散变量，概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示，它给出了每个变量值对应的概率。

对于连续变量，概率分布可以用概率密度函数（PDF）表示，它给出了每个变量值所对应的概率密度。

四、期望值期望值是随机变量可能取到的值乘以其对应的概率之和。

它表示了一个随机事件的平均值或预期结果。

例如，抛硬币的期望值是0.5，因为正面和反面出现的可能性都是1/2。

五、方差和标准差方差和标准差是衡量随机变量分布的离散程度的指标。

方差是每个值与期望值之差的平方乘以其对应的概率之和。

标准差是方差的平方根。

方差和标准差越大，表示随机变量的取值越分散；反之，表示取值越聚集。

六、独立性在概率论中，两个事件的独立性指的是两个事件的发生与另一个事件的发生没有关系。

用数学语言描述，两个事件A和B独立，当且仅当它们的联合概率等于各自的概率的乘积。

例如，抛硬币的结果和掷骰子的结果就是独立的事件。

七、条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。

用数学符号表示，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率。

条件概率的计算需要用到联合概率和边际概率。

例如，在已知某人患有某种疾病的情况下，某项检测结果为阳性的概率就是条件概率。

概率论与数理统计基础概念与重要定义汇总⽂章⽬录⼀、随机事件和概率1：互斥，对⽴，独⽴事件的定义和性质。

事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。

也可叙述为：不可能同时发⽣的事件。

如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何⼀次试验中不会同时发⽣。

则P(A+B)=P(A)+P(B)（这个公式何时成⽴在我⼀⾯thu叉院的时候被问到过，我神tm就答了⼀个相互独⽴/(ㄒoㄒ)/~~）且P(A)+P(B)≤1若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对⽴事件，其含义是：事件A和事件B必有⼀个且仅有⼀个发⽣。

对⽴事件概率之间的关系：P(A)+P(B)=1。

例如，在掷骰⼦试验中，A={出现的点数为偶数}，b={出现的点数为奇数}，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以A与B互为对⽴事件。

互斥事件与对⽴事件两者的联系在于：对⽴事件属于⼀种特殊的互斥事件。

它们的区别可以通过定义看出来：⼀个事件本⾝与其对⽴事件的并集等于总的样本空间；⽽若两个事件互为互斥事件，表明⼀者发⽣则另⼀者必然不发⽣，但不强调它们的并集是整个样本空间。

即对⽴必然互斥，互斥不⼀定会对⽴。

设A,B是试验E的两个事件,若,可以定义.⼀般A的发⽣对B发⽣的概率是有影响的,所以条件概率,⽽只有当A的发⽣对B发⽣的概率没有影响的时候（即A与B相互独⽴）才有条件概率.这时,由乘法定理定义:设A,B是两事件,如果满⾜等式,则称事件A,B相互独⽴,简称A,B独⽴.容易推⼴:设A,B,C是三个事件,如果满⾜,,,,则称事件A,B,C相互独⽴更⼀般的定义是,是个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件相互独⽴2：概率，条件概率和五⼤概率公式什么是概率？设实验E的样本空间为，则称实值函数为概率，如果满⾜下列三个条件互斥事件对⽴事件独⽴事件P (A )>0P (B ∣A )P (B ∣A )= P (B )P (B ∣A )=P (B )P (A ∩B )=P (B ∣A )P (A )=P (A )P (B ).P (A ∩B )=P (AB )=P (A )P (B )P (AB )=P (A )P (B )P (BC )=P (B )P (C )P (AC )=P (A )P (C )P (ABC )=P (A )P (B )P (C )A 1,A 2,……,An n (n ≥2)A 1,A 2,…,An 概率公理与条件概率ΩP P1. 对于任意事件A，满⾜2. 对于必然事件有3. 对于两两互斥的可数⽆穷个事件，有什么是条件概率？设为两个事件，且，称为在事件A发⽣的条件下事件B发⽣的条件概率。