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工程力学第7章_2 强度理论jt

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工程力学第5节 强度理论

工程力学第5节 强度理论


max 0
1 3 max 13 2
第三强度理论 建立的强度条件
1 3 s
1 3 [ ]
4、形状改变比能理论（第四强度理论） 这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破 坏的主要因素。即无论什么应力状态，只要构件内 一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限 值，材料就要发生屈服破坏。经推导可得危险点处 于复杂应力状态的构件发生塑性屈服破坏的条件为
二、四种强度理论 1、最大拉应力理论（第一强度理论） 该理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最 大拉压力。即无论什么应力状态下，只要构件内一 点处的最大拉压力达到单向应力状态下的极限应力， 材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力 状态的构件发生脆性断裂破坏的条件为：
1 b
第一强度理论 建立的强度条件
1 b / E 1 1 [1 ( 2 3 )] E
第二强度理论 建立的强度条件
1 ( 2 3 ) b
1 ( 2 3 ) [ ]
3、最大切应力理论（第三强度理论） 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因 素。即无论什么应力状态，只要最大切应力达到单 向应力状态下的极限切应力，材料就要发生屈服破 坏。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生塑性 屈服破坏的条件为：
纵截面上的正应力
2）确定主应力 因t <<D，p 值比 和 小得多，工程计算常忽略。
pD 150106 Pa 2t
1 150MPa 2 75MPa 3 0
3）按照形状改变比能理论校核强度
r 4 1 2 2 3 3 1
2 1 2 2 2 3
工程力学强度理论

工程力学强度理论


P
A
P x
x
A
y
B
P
x B x
C
Mx
z
C
第二节 二向应力状态分析
y
y y
x x
x z
等价
y y
x
y
x
Ox
y y
一、单元体截面上的应力 规定：
x
a 截面外法线同向为正；
y
x
a绕研究对象顺时针转为正；
a由x轴转到外法线为逆时针为正。
Ox
图1 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
a
a
Fn 0
x
y
y
件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。
T
解：危险点A的应力状态如图：
A P
T
P
PA405.102 1036.37MPa
AA
T 16 7000 35.7MPa W 0.13
t
1
2
( )2 2
2
6.37 2
(6.37 )2 35.72 39MPa 2
1 故，安全。
distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版 后才知道的。
1、最大拉应力（第一强度）理论： 认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。当最大
拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
1、断裂准则： 1 b ;( 1 0)
2、强度条件： 1 ; ( 1 0)
y
y
主单元体(Principal Body)：
x
各侧面上切应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论


无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
工程力学 强度理论

工程力学 强度理论

1、未考虑
σ2
的影响，试验证实最大影响达15%。 的影响，试验证实最大影响达15%。 15%
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 此准则也称特雷斯卡（ 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则 ）
畸变能密度理论 第四强度理论） 理论（ 4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 畸变能密度； 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度； 无论处于什么应力状态, 无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 屈服。 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服 与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。
塑性屈服（流动）： 塑性屈服（流动）： 材料破坏前发生显著的塑性变形； 材料破坏前发生显著的塑性变形； 破坏断面粒子较光滑； 破坏断面粒子较光滑； 且多发生在最大切应力面上； 且多发生在最大切应力面上； 例如低碳钢拉、 例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 铸铁压。
最大拉应力理论（第一强度理论） 1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力 最大拉应力； 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力； 认为无论是什么应力状态， 认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂
[τ ]
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则： 强度理论的基本思想是 的基本思想是： 强度理论的基本思想是：
确认引起材料失效存在共同的力学原因 力学原因， 确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一 共同力学原因的假设； 共同力学原因的假设； 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 简单受力 如拉伸），建立起材料在复杂应力状态 ），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 （如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的 弹性失效准则和强度条件。 弹性失效准则和强度条件。 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和 实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑 脆性断裂 性屈服两类失效形式 分别提出共同力学原因的假设。 两类失效形式， 性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
工程力学中四种强度理论

工程力学中四种强度理论

为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。

于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。

σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。

2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。

εu=σb/E；ε1=σb/E。

由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。

按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。

3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。

依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。

所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。

按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。

4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。

二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用第一理论的应用和局限1、应用材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。

2、局限没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。

工程力学中四大强度理论

工程力学中四大强度理论

为了探讨引导资料损害的顺序，对于资料损害大概做废举止了假设即为强度表里，简述工程力教中四大强度表里的基础真量.之阳早格格创做一、四大强度表里基础真量介绍：1、最大推应力表里（第一强度表里）：那一表里认为引起资料坚性断裂损害的果素是最大推应力，无论什么应力状态，只消构件内一面处的最大推应力σ1达到单背应力状态下的极限应力σb，资料便要爆收坚性断裂.于是伤害面处于搀纯应力状态的构件爆收坚性断裂损害的条件是：σ1=σb.σb/s=[σ] ，所以按第一强度表里修坐的强度条件为：σ1≤[σ].2、最大伸少线应变表里（第二强度表里）：那一表里认为最大伸少线应变是引起断裂的主要果素，无论什么应力状态，只消最大伸少线应变ε1达到单背应力状态下的极限值εu，资料便要爆收坚性断裂损害. εu=σb/E；ε1=σb/E.由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb.按第二强度表里修坐的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ].3、最大切应力表里（第三强度表里）：那一表里认为最大切应力是引起伸服的主要果素，无论什么应力状态，只消最大切应力τmax达到单背应力状态下的极限切应力τ0，资料便要爆收伸服损害.依轴背推伸斜截里上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截里上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2. 所以损害条件改写为σ1-σ3=σs.按第三强度表里的强度条件为：σ1-σ3≤[σ].4、形状改变比能表里（第四强度表里）：那一表里认为形状改变比能是引起资料伸服损害的主要果素，无论什么应力状态，只消构件内一面处的形状改变比能达到单背应力状态下的极限值，资料便要爆收伸服损害.二、四大强度表里适用的范畴1、百般强度表里的适用范畴及其应用（1）、第一表里的应用战限造应用：资料无裂纹坚性断裂做废场合（坚性资料二背大概三背受推状态；最大压应力值不超出最大推应力值大概超出已几）.限造：出思量σ2、σ3对于资料的损害效率，对于无推应力的应力状态无法应用.（2）、第二表里的应用战限造应用：坚性资料的二背应力状态且压应力很大的情况.限造: 与极少量的坚性资料正在某些受力场合下的真验截止相切合.（3）、第三表里的应用战限造应用:资料的伸服做废场合.限造:出思量σ2对于资料的损害效率，估计截止偏偏于仄安.（4）、第四表里的应用战限造应用:资料的伸服做废场合.限造:与第三强度表里相比更切合本量，但是公式过于搀纯.2、归纳去道：第一战第二强度表里适用于：铸铁、石料、混凝土、玻璃等，常常以断裂形式做废的坚性资料.第三战第四强度表里适用于：碳钢、铜、铝等，常常以伸服形式做废的塑性资料.3、以上是常常的道法，正在本量中，有搀纯受力条件下，哪怕共种资料的做废形式也大概分歧，对于应的强度表里也会随之改变.比圆，正在三背应力情景下，某些塑性资料会浮现出坚性资料最典范的断裂做废，又大概者正佳好异.比较典范的例子，如碳钢资料螺钉，单背推伸时会断裂而不会伸服.果此简直情况还要简直分解.三、四种强度表里的比较如下：。

《工程力学》辅导-强度理论

《工程力学》辅导-强度理论

《工程力学》辅导-强度理论01基本概念1.材料破坏（失效）的两种类型（1）屈服失效材料由于出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。

（2）断裂失效脆性断裂：无明显的变形下突然断裂；韧性断裂：产生大量塑性变形后断裂。

2.强度理论人们在长期的生产活动中，综合分析材料的失效现象，对强度失效提出了各种不同的假说。

各种假说尽管各有差异，但它们都认为：材料的某种失效（屈服或断裂），是由于应力、应变和比能等诸因素中的某一因素引起的。

按照这类假说，无论单向或复杂应力状态，造成失效原因是相同的，即引起失效的因素是相同的。

强度理论就是关于“构件发生强度失效起因”的假说。

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式进行分析，提出破坏原因的假说，在这些假说的基础上，利用材料在单向应力状态时的试验结果，建立材料在复杂应力状态下的强度条件。

02四种强度理论（1）最大拉应力理论（第一强度理论）基本假说：不论材料处于什么应力状态，最大拉应力是引起材料发生脆性断裂的原因。

破坏条件：强度理论：（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）基本假说：不论材料处在什么应力状态，最大拉应变是引起脆性断裂的原因。

破坏条件：强度理论：（3）最大切应力理论（第三强度理论）基本假说：不论材料处于什么应力状态，最大剪应力是材料发生屈服的原因。

屈服条件：强度理论：（4）畸变能密度理论（第四强度理论）也称为形状改变比能理论、形状改变能密度理论。

基本假说：不论材料处在什么应力状态，畸变能密度是材料发生屈服的原因。

屈服准则：强度理论：上述四种强度理论的强度条件写成统一形式称为复杂应力状态的相当应力。

03强度理论的应用1.适用范围（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论；（2）塑性材料选用第三或第四强度理论；（3）在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；（4）在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论。

7工程力学(下)—应力分析与强度理论2

7工程力学(下)—应力分析与强度理论2

0.34 σx =σz = σy = − 30 ×10 6 Pa = −15.5 × 10 6 Pa 1 −ν 1 − 0.34 = −15.5 MPa
ν
(
)
由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦， 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 σx，σy，σz都是主应力，且 ， 都是主应力，
σ 1 = σ 2 = −15.5 MPa σ 3 = −30 MPa
∴σ 1 = 44.3MPa
σ 3 = −20.3MPa
1 0.3 ε z = [0 − υ (σ x + σ y )] = − ( − 20.3 + 44.3) × 10 6 E 210 × 10 9 = − 34.3 × 10 − 6
边长a 例7-8 边长 =0.1 m的铜质立方体置于刚性很 的铜质立方体置于刚性很 大的钢块中的凹坑内(图 ， 大的钢块中的凹坑内 图a)，钢块与凹坑之间无 间隙。 间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外 加荷载F 加荷载 =300 kN时，铜块内的主应力、最大 时 铜块内的主应力、 切应力。已知铜的弹性模量E 切应力。已知铜的弹性模量 =100 GPa，泊松 ， 比n＝0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略 ＝ 。 不计。 不计。
思考题： 已知单元体上的应力， 思考题： 已知单元体上的应力，求 σ x τ x .
解：σ α = 120MPa、τ α = 80MPa、
(MPa)
α = 30°、σ y = 0
σα = σx
2 2 3 3 = σx − τ x = 120MPa 4 2 +
τx
σx120Fra bibliotek80σx
30°
cos 60° − τ x sin 60°
工程力学四大强度理论的基本内容

工程力学四大强度理论的基本内容

工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。

于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。

σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。

2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。

εu=σb/E；ε1=σb/E。

由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。

按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。

3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。

依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。

所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。

按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。

4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。

二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。

局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。

（2）、第二理论的应用和局限应用：脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。

《强度理论 》课件

《强度理论 》课件

《强度理论》PPT课件
CATALOGUE
目录
强度理论概述强度理论的类型强度理论的计算方法强度理论的应用实例强度理论的未来发展
01
强度理论概述
机械工程
用于飞机、火箭等复杂结构的强度分析。
航空航天
土木工程
材料科学
01
02
04
03
用于研究材料的力学性能和失效机制。
用于设计和分析机械零件、结构件等。
总结词
03
强度理论的计算方法
静力计算方法是强度理论中常用的一种方法，主要用于分析结构在静力载荷作用下的响应。
静力计算方法概述
基于牛顿第二定律和弹性力学的基本原理，通过建立平衡方程和应力应变关系来求解结构的内力和位移。
基本原理
适用于分析结构在静力载荷作用建筑结构的强度分析是确保建筑物安全的重要环节，通过强度理论的运用，对建筑物的各个组成部分进行受力分析、稳定性评估和抗震性能研究。
总结词
在建筑结构的强度分析中，强度理论同样发挥了重要作用。通过对建筑物的梁、柱、板等各个组成部分进行受力分析，了解其在各种工况下的应力分布和承载能力。同时，结合建筑物的功能需求和地理环境，对建筑物的稳定性、抗震性能等进行评估。通过合理的强度分析，可以有效地避免建筑物在自然灾害或意外事故中发生倒塌或损坏，保障人们的生命财产安全。
详细描述
第二强度理论认为，材料在受到外力作用时，其破坏是由于最大剪应力达到材料屈服极限所引起的。当最大剪应力达到材料的屈服极限时，材料发生屈服破坏，即丧失了承载能力。
VS
形状改变比能达到材料屈服极限时发生屈服破坏。
详细描述
第三强度理论认为，材料在受到外力作用时，其破坏是由于形状改变比能达到材料屈服极限所引起的。当形状改变比能达到材料的屈服极限时，材料发生屈服破坏，即丧失了承载能力。
《工程力学》复习指导含答案

《工程力学》复习指导含答案

材料力学 重点及其公式材料力学的任务 （1）强度要求； （2）刚度要求； （3）稳定性要求。

变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

外力分类：表面力、体积力；内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。

（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力： dA dPA P p A =∆∆=→∆lim 0 正应力、切应力。

变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。

二者统称为极限应力理想情形。

塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：[]3n s σσ=，[]bbn σσ=，强度条件：[]σσ≤⎪⎭⎫⎝⎛=maxmax A N ，等截面杆 []σ≤A N max轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ∆=ε，AP A N ==σ。

横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。

E 为弹性模量。

将应力与应变的表达式带入得：EANl l =∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。

7工程力学(下)—应力状态和强度理论1


σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系

工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算


max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -

i max

M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大

工程力学第七章应力和应变分析

2
1
30MPa 3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
二、 广义胡克定律
纵向应变：


E


横向应变：


E
下面计算沿 1方向的应变：
1 1 引起的应变为 1 E 2 、 3 引起的应变为 2 1 E 3 1 E 当三个主应力同时作用时： 1 1 1 （ 2 3 ） E
2
1
3

E
( 1 2 )
§7-4～5材料破坏的形式强度理论
max [ ] max [ ]
材料破坏的形式主要有两类：
流动(屈服)破坏 断裂破坏
常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
(3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：
x 80MPa, x 60MPa, x y

y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
2
1 3
广义胡克定律：
1 1 1 （ 2 3 ） E 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
Hale Waihona Puke 对于二向应力状态：1 1 ( 1 2 ) E 1 2 ( 2 1 ) E
1 ( 2 3 ) b

工程力学 强度理论


破坏条件： u f u fu
即
1 1 2 2 2 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 2 s 6E 6E
整理可得
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] s 2
于是借用拉压杆的强度条件。 平面弯曲正应力强度条件：
max [ ]
M max max [ ] Wz
问题：① 有什么理由说b点不比a点更危险？ ② b点的强度条件如何建立？ 由于有无多个比值，因此，不可能由实 验得到强度条件。 简单应力状态 复杂应力状态 通过实验得到强度条件 不可能通过实验得到强度条件
1 uf [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6E
危险值是共同的，选择拉伸试验，屈服时
1 s , 2 0 , 3 0
1 1 2 2 2 u fu [ s s ] 2 s 6E 6E
所以采用第一强度理论
r 1
1
r 1 32.4MPa [ L ] 35MPa
1
所以构件安全。
1.在三向拉应力状态下(1230)，不 论是塑性材料还是脆性材料均不会发生 屈服破坏,宜用第一强度理论. 如塑材制成的带裂纹的拉杆，发生脆断 破坏，因为裂纹前端为三向拉应力状态。
2.在三向压应力状态下(123 ， 1<0)不论是塑性材料，还是脆性 材料，都不可能发生脆性断裂，只
可能屈服失效,宜用第三、四强度
理论，三向均压，极难发生破坏。
3.第一和第二强度理论，都是以脆断为破坏 标志的强度理论。 从表面上看，第二强度理论似乎比第一强 度理论更完善，因为它除了考虑了最大拉 应力 1外，还把2 和3 也考虑进去了，但 对铸铁等材料的一些破坏试验表明，第一 强度理论优于第二强度理论；特别是在两 向拉伸的情况下，第二强度理论与实验结 果相差甚远。

工程力学中四大强度理论

为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容。

一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。

于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。

σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。

2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。

εu=σb/E；ε1=σb/E。

由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。

按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。

3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。

依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。

所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。

按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。

4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。

二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。

局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。

工程力学第7章_2 强度理论jt


2
1
11
二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因” 的假说。 三、常用的强度理论按上述两种破坏类型分为：
I. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最
大拉应力理论(第一强度理论)和最大伸长线应变理论(第二强度 理论)； II.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最 大切应力理论(第三强度理论)和形状改变能密度理论(第四强度
25
适用范围
铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通 常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理 论。炭钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服的形 式失效，宜采用第三和第四强度理论。
26
[例1]: 试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求 塑性材料许用切应力与许用拉应力之间的关系。 解：根据例7.3的讨论，纯剪切是拉—压二向应力状态，且
危险点的概念: 危险点是构件上材料受力最不利的点，是构件 破坏的起始点。危险点一般为内力最大截面上应力 最大的点。如果危险点不发生破坏，整个构件就不 会发生破坏。
8
如何确保危险点不发生破坏？（强度条件的建立） 方法：限制危险点的应力水平。
(1)单向应力状态下强度条件的建立
max
max
FN ,max [ ] （拉压） A （正应力强度条件） M max [ ] （弯曲） W
二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；
当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。
2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其它应力状态时，使用第三或第四理论。 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：
max
较为满意的解释。
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1、破坏判据： 2、强度准则
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 s 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2




3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。
即许用切应力约为许用正应力的0.6倍。这是按第四强度理论 得到的许用切应力与许用正应力之间的关系。
28
强度理论的应用：
一、强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。
2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。
3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。
1 , 2 0, 3
对塑性材料，按最大切应力理论得强度条件为
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ] 2
另一方面，剪切的强度条件是
[ ]
[ ] 0.5[ ] 2
27
比较上面两式，可见
如按畸变能密度理论，则纯剪切强度条件为
max
x y
2
1 2

2 y 4 xy 29.28MPa x 2
min
x y
2
1 2

2 y 4 xy 3.72MPa x 2
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r1 1 30MPa
4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！
[例3] 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构
件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 T P T A A A P
解：危险点A的应力状态如图：
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12
25
适用范围
铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通 常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理 论。炭钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服的形 式失效，宜采用第三和第四强度理论。
26
[例1]: 试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求 塑性材料许用切应力与许用拉应力之间的关系。 解：根据例7.3的讨论，纯剪切是拉—压二向应力状态，且
危险点的概念: 危险点是构件上材料受力最不利的点，是构件 破坏的起始点。危险点一般为内力最大截面上应力 最大的点。如果危险点不发生破坏，整个构件就不 会发生破坏。
8
如何确保危险点不发生破坏？（强度条件的建立） 方法：限制危险点的应力水平。
(1)单向应力状态下强度条件的建立
max
max
FN ,max [ ] （拉压） A （正应力强度条件） M max [ ] （弯曲） W
即是与复杂应力状态危险程度相当的单向拉应力
2
1 3
复杂应力状态 相当应力状态
r

[]
已有简单拉 压试验资料
24
四种强度理论的优点或不足之处总结：
第一强度理论没有考虑其他两个应力的影响，且对没有拉应 力的状态（如单向压缩、三向压缩等）都无法应用。
按照第二强度理论铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸安全，但 试验结果与此不符。 第三强度理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。例如 低碳钢拉伸时研与轴线成45度的方向出现滑移线，是材料内部沿 这一方向滑移的痕迹，沿这一方向的斜面上切应力也恰为最大值 。第三强度力学偏于安全。 第四强度理论较为严密，对于塑性材料往往比第三强度理论 更符合试验结果。
按照从第一强度理论到第四强度理论的顺序，相当应力分别为
r1 1
r 2 1 2 3
r 3 1 3
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2


23
相当应力
r
的含义
结论：强度是安全的。
33
作业
习题 7-15
34
35
一、材料破坏的形式和影响因素
(1)屈服(流动):材料破坏前发生显著的塑性变形。 (2)断裂:材料破坏时无明显的塑性变形。
5
影响因素（塑性材料一定屈服、脆性材料一定脆断吗？) (1)与材料的力学性质有关。
(2)与材料的受力状态有关。
2 1
3
实践表明，无论塑性材料还是脆性材料，在三 向压应力状态且三个主应力相近时都将以屈服的形 式失效；在三向拉应力状态且三个主应力相近时都 将以断裂的形式失效。
实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，
结果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。
局限性： 1、未考虑另外二个主应力影响。 2、对没有拉应力的应力状态无法应用。
16
1 b ; ( 1 0)
b 1 1 1 2 3 E E
1、破坏判据： 1 2 3 b
理论）。
四种常用强度理论 关于断裂失效的强度理论
最大拉应力理论
最大伸长线应变理论
关于屈服失效的强度理论
最大切应力理论
形状改变比能理论
13
提出四种强度理论的历史年代和科学家：
1、伽利略在1638年播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特在1682年提出关于变形过大引起破坏的论述，是第 二强度理论的萌芽； 3、1733年库仑提出假设，后来杜奎特（C.Duguet)提出了最大 剪应力理论，1864崔斯卡在法国科学院完善成了我们现在所
2、强度准则： 1 2 3 3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性 材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实 际情况。 局限性： 在二向或三向受拉时
1 ( 2 3 )
1


T 167000 35.7MPa 3 Wn 0.1
故，安全。
[例] 已知：铸铁构件上危险点的 应力状态。铸铁拉伸许用应 力[] =30MPa。试校核该点
的强度。
解：首先根据材料和应力状态 确定破坏形式，选择强度理论。 断裂破坏，选用最大拉应力理论。
32
其次确定主应力：
2
1
11
二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因” 的假说。 三、常用的强度理论按上述两种破坏类型分为：
I. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最
大拉应力理论(第一强度理论)和最大伸长线应变理论(第二强度 理论)； II.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最 大切应力理论(第三强度理论)和形状改变能密度理论(第四强度
18
似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。
max s
max
1 3
2

s
2
s
1、破坏判据： 1 3 s
2、强度准则： 1 3
3、适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。
实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到

u [ ] , u : n
破坏正应力
通过试验测定 9
(2)纯剪切应力状态下强度条件的建立 Fs S z* max [ ] （弯曲） bI z （切应力强度条件） T max [ ] （扭转） Wt
u [ ] , u : n
破坏切应力 通过试验测定
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2 1 [( 0) 2 ( ) 2 ( ) 2 ] 3 [ ] 2
与剪切强度条件比较，立刻求出
[ ] [ ] 0.577[ ] 0.6[ ] 3
强度理论概述：
本章要解决的核心问题：构件 受力达到什么程度会发生破坏。
牢固树立强度观念！
●1999年1月4日，长200米的重庆綦江彩虹桥垮塌，死 36人，多人受伤失踪。
●1998年8月7日，号称“固若金汤”的九江长江大堤 发 生决堤，事后调查，大堤里面根本没有钢筋。朱 总理 怒斥为“王八蛋”工程。
同为塑性材料，第三和第四强度理论用哪个更好？
实验表明：第四强度理论比第三强度理论更符合试验结果。 在纯剪切的情况下，由第三强度理论得出的结果比第 四强度理论结果大15％,这是两者差异最大的情况。
22
统一形式和相当应力 可以把四个强度理论的强度条件写成统一形式：
式中
r
r [ ]
称为相当应力。
●1998年10月，沈哈高速公路清阳河大桥出现坍塌， 造成 2人死亡、5人重伤。 ●1997年3月25日，福建莆田江口镇新光电子有限公司 一栋职工宿舍楼倒塌，死亡35人、重伤上百人。 3
正式讲课前的类比：
同学们每天都吃饭，怎样算吃饱了容易定出一个 标准吗？
假设以胃的体积膨胀到某个值为饱的标准，依此标准吃了 500立方厘米的巧克力和喝同样体积的水之后，饱的程度就 一样，此标准符合实际吗？ 假设以摄入某个卡路里值热量为饱的标准，依此标准吃一 个巧克力豆也比喝1斤水还饱，此标准符合实际吗？ 此外，如果有医学标准规定人的胃能装800立方厘米的食 物，是不是你吃了801立方厘米的食物，就一定会撑破胃 造成胃出血？ 本章要介绍的强度理论也是一样，仅仅是假设，并非总与实 际吻合，并非绝对精确无误！下面进入对强度理论的介绍。 4
见的第三强度理论。
4、麦克斯威尔在1913年提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才 知道的。
14
四种常用强度理论：
1、破坏判据： 1 b ; ( 1 0) 2、强度准则： 1 ; ( 1 0) 3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。