向量乘法

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第三节
向量的乘法
关于数量积的说明：
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
(1) a ⋅ a =| a |2 .
证 ∵θ = 0, ∴ a ⋅ a =| a || a | cosθ =| a | .
2
( 2) a ⋅ b = 0 ⇐⇒ a⊥b .
证 (⇒ ) ∵ a ⋅ b =| a || b | cosθ = 0, 所以无论 a = 0或b = 0或 cosθ = 0,
2 2 2 2 2 2 x1 + y1 + z1 x2 + y2 + z2
两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为
a⊥b ⇐⇒ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
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第三节
向量的乘法
例3 已知 a = {1,1,−4}, b = {1,−2,2}, (1) 求 a ⋅ b;
= 10 j + 5k ,
j ay by
i j k k az = 3 − 2 4 1 1 −2 bz
∵ | c |= 102 + 52 = 5 5 , 1 ⎞ c ⎛ 2 0 = ±⎜ j+ k ⎟. ∴c = ± 5 ⎠ |c | ⎝ 5
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第三节
向量的乘法
B 例6 在顶点为 A(1,−1,2)、 (5,−6,2) 和 C (1,3,−1)
向量积的坐标表示式 向量积还可用三阶行列式表示
i a × b = x1 x2 j y1 y2 k z1 z2
由上式可推出
a // b ⇐⇒ x1 y1 z1 = = x 2 y2 z 2
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(b ≠ 0)
第三节
向量的乘法
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
b ≠ 0 是指 x2 , y2 , z2 不同时为零，在比例式 x1 y1 z1 = = x 2 y2 z 2
θ
a
a ⋅ b =| a || b | cosθ
∵ | b | cosθ = Prja b , ∴ a ⋅ b =| b | Prjb a
| a | cosθ = Prjba ,
= | a | Prja b .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一 个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”.
第三节
向量的乘法
二
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量的向量积
实例 有一力 F 作用 设 O 为一根杠杆 L 的支点，
F
θ
于这杠杆上 P 点处． F 与 力
OP 的夹角为 θ , 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M , 它的 模
O
P Q
L
| M |=| OQ || F | =| OP || F | sinθ
a ⋅ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
数量积的坐标表达式
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第三节
向量的乘法
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
a⋅b a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = , | a || b |
cosθ = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
W =| F || s | cosθ
(其中θ 为 F 与 s 的夹角)
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 向量 a 与 b 的数量积记为 a ⋅ b
a ⋅ b =| a || b | cosθ
(其中θ 为 a 与 b 的夹角)
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第三节
向量的乘法
b
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
p⋅q 解 由数量积定义可知 cos( p, q ) = | p || q |
而 p ⋅ q = (2a + 3b ) ⋅ (3a − b ) = 6 | a |2 +7a ⋅ b − 3 | b |2
3 51 = 6⋅3 + 7⋅ 3 ⋅ −3= 2 2 2 2 | p | = (2a + 3b ) ⋅ (2a + 3b ) = 4 | a | +12a ⋅ b + 9 | b |2 3 = 4 ⋅ 3 + 12 ⋅ 3 ⋅ + 9 = 39 2 3 2 | q | = 9⋅ 3 − 6 3 ⋅ + 1 = 19 2
向量的乘法
a
| a × b |表示以 a 和 b 为邻边
的平行四边形的面积.
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
| a | sin θ
θ
b
例5 求与 a = 3i − 2 j + 4k , b = i + j − 2k 都垂直的 单位向量. 解
i c = a × b = ax bx
= 4 × 2 × 1 = 8, 依题意知 m × n 与 p 同向， ∧ ∴θ = ( m × n , p ) = 0
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
的三角形中，求 AC 边上的高 BD . 解
AC = {0,4,−3} AB = {4,−5,0}
A
B
三角形 ABC 的面积为
D
C
1 1 25 2 2 2 S = | AC × AB | = 15 + 12 + 16 = , 2 2 2 1 2 2 | AC | = 4 + ( −3) = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 ∴| BD |= 5. = ⋅ 5⋅ | BD | 2 2
第三节
向量的乘法
第三节
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量的乘法
一 二 三
向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积
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第三节
向量的乘法
一
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量的数量积
实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动
到点 M 2 , 以 s 表示位移，则力 F 所作的功为
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第三节
向量的乘法
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
51 51 = 所以 cos( p, q ) = 2 39 19 2 841 51 ( p, q ) = arccos 2 841 例2 设 a + 3b ⊥ 7a − 2b , a − 4b ⊥ 7a − 2b , 求 (a , b )
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第三节
向量的乘法
例7 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且 | m |= 4, | n |= 2, | p |= 3, 计算 ( m × n) ⋅ p,
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
解
∧ | m × n |=| m || n | sin( m , n )
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
(2) 求 a 与 b 的夹角； (3) 求 a 在 b 上的投影. 解
(1) a ⋅ b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 2 = −9.
1 ( −4)2 ]2 1 22 ]2
( 2) | a |= [12 + 12 +
解
由于
0 = (a + 3b ) ⋅ (7a − 5b ) = 7 | a |2 +16a ⋅ b − 15 | b |2 0 = (a − 4b ) ⋅ (7a − 2b ) = 7 | a |2 −30a ⋅ b + 8 | b |2
所以 | a |2 = 2a ⋅ b =| b |2
a ⋅b 1 π = ,(a , b ) = cos(a , b ) = | a || b | 2 3
= 18
| b |= [12 + ( −2)2 + =3 3π −9 1 a⋅b . = , ∴θ = =− cosθ = 4 2 | a || b | 3 18 a⋅b = − 3. ( 3) a ⋅ b =| b | Prjb a ∴ Prjb a = |b |
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第三节
向量的乘法
例4 证明向量 c 与向量 (a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a 垂直.
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
证
[(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⋅ c = [(a ⋅ c )b ⋅ c − (b ⋅ c )a ⋅ c ] = (c ⋅ b )[a ⋅ c − a ⋅ c ]
=0
∴ [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ]⊥c
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b = x 2 i + y2 j + z 2 k
a × b = ( x1i + y1 j + z1k ) × ( x2 i + y2 j + z2 k )
∵ i × i = j × j = k × k = 0, ∵ i × j = k, j ×k = i , k ×i = j, j × i = −k , k × j = −i , i × k = − j .
M 的方向垂直于 OP 与 F 所决定的平面, 指向符合
右手系.
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第三节
向量的乘法
定义
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
向量 a 与 b 的向量积为 c = a × b
| c |=| a || b | sin θ (其中θ 为 a 与 b 的夹角)
c 的方向既垂直于 a , 又垂直于 b , 指向符合右手系.