第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例基础过关练题组一 利润最大问题1.(2019甘肃兰州一中高二上期末)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x 3+81x-286,则该生产厂家获取的最大年利润为( ) A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元2.(2019河南名校高二联考)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加0.5万元.已知销售额函数是f(x)=-18x 3+916ax 2+12x(x 是莲藕种植量,单位:万斤,销售额单位:万元,a 是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年的莲藕种植量应为( ) A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤3.(2019山东师范大学附属中学高二下期中)某小型玩具厂研发生产一种新型玩具,年固定成本为10万元,每生产千件该玩具需另投入3万元,设该厂年内共生产该新型玩具x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为F(x)万元,且满足函数关系:F(x)=11.1-x 230.(1)写出年利润G(万元)关于该新型玩具年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大?最大年利润为多少?4.(2019福建福州八县(市)协作校高二上期末联考)某校高一年级的一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研,通过对该商品一个阶段的调研得知,该商品每日的销售量g(x)(单位:百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)=ax-2+2(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为3元/件时,每日可售出该商品10百件.(1)求函数g(x)的解析式;(2)若该商品的成本为2元/件,试确定该商品销售价格x的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位:百元)最大,并求出最大利润.题组二几何图形中面积与体积的最值问题5.如图,以长度为10的线段AB为直径作半圆(O为圆心),则它的内接矩形MNQP的面积S的最大值为( )A.10B.15C.25D.506.(2019山东德州高三下一模)在四面体C-ABD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体C-ABD体积的最大值是( )A.2√327B.13C.2√39D.√337.(2019江西新余高三联考)如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O.E,F,G,H 为圆O 上的点,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 分别是以AB,BC,CD,DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA 为折痕折起△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 使得E,F,G,H 重合,得到四棱锥.当正方形ABCD 的边长变化时,所得四棱锥体积的最大值为( )A.3√3 cm 3B.8√53cm 3 C.3√3 D.16√53cm 3 8.(2020江苏徐州高三期末)如图,在圆锥SO 中,底面半径R 为3,母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥,所得截面圆的圆心为O 1,半径为r,现要以截面为底面,大圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO 1,记圆锥OO 1的体积为V(r).(1)将V(r)表示成r 的函数; (2)求V(r)的最大值.题组三用料最省、运费最低、效率最高问题9.已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,其中固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以千米/时的速度运行时,成本最省.10.(2019江苏海安高级中学高三下月考)某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上、下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108π mL,设圆柱的高度为h cm,底面半径为r cm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2,易拉罐上、下底面的制造费用均为n元/cm2(m,n为常数).(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于半径r(cm)的函数表达式,并求其定义域;(2)求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值.11.(2019福建宁德高二下期中)某地修建一条大型输油管道需要通过120千米长的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?能力提升练一、选择题1.(★★☆)一个正三棱柱内接于表面积为16π的球,则此三棱柱体积的最大值为( )A.4B.3C.8D.√152.(★★☆)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=181 000x 3-110x+18(0<x ≤120).若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为( )A.60千米/时B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时二、填空题3.(2019广东佛山一中高二下期中,★★☆)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图的圆心角φ等于 .4.(★★☆)当前,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=mx -2+4(x-6)2,其中2<x<6,m 为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)实数m= ;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),当销售价格为 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大(精确到0.1).5.(2019湖北宜昌高二期中联考,★★☆)现有一个边长为2的正方形纸板,若在纸板的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则方盒的容积的最大值为 .6.(2019江西赣州高三摸底考试,★★☆)在一节手工课上,小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥形橡皮泥捏成一个圆柱(橡皮泥的用量保持不变),则当这个圆柱的表面积最小时,该圆柱的底面半径为 .三、解答题7.(2019山东烟台高三上期中,★★☆)某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次品,根据经验可知,其次品率p 与日产量x(万件)之间满足函数关系式p={x6,1≤x <4,3x 2-3x+1,x ≥4,已知每生产1万件合格品可获利2万元,但生产1万件次品将亏损1万元.(次品率=次品数/生产量)(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润为多少?8.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC 和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展在这四个区域依次摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式; (2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.答案全解全析 基础过关练1.C 令函数y=f(x)=-13x 3+81x-286,求导数,得f'(x)=-x 2+81,令f'(x)=0,解得x=9(负值舍去).当0<x<9时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x>9时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因此,当x=9时,该生产厂家获取最大年利润,最大年利润为200万元.故选C. 2.B 设销售的利润为g(x)万元,由题意,得g(x)=-18x 3+916ax 2+12x-1-12x,x ∈(0,8],即g(x)=-18x 3+916ax 2-1,x ∈(0,8].当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x 3+98x 2-1,则g'(x)=-38x 2+94x=-38x(x-6),当x ∈(0,6)时,g'(x)>0,当x ∈(6,8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减. 所以x=6时,利润最大. 故选B.3.解析 (1)依题意,G(x)=xF(x)-(10+3x)=8.1x-x 330-10(x>0).(2)由(1)得G'(x)=8.1-x 210=(9+x )(9-x )10,令G'(x)=0,解得x=9(负值舍去).当x ∈(0,9)时,G'(x)>0,G(x)单调递增;当x ∈(9,+∞)时,G'(x)<0,G(x)单调递减. ∴当x=9时,G(x)max =8.1×9-9330-10=38.6.故当年产量为9千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大,最大年利润为38.6万元.4.解析 (1)由题意得10=a 3-2+2(3-5)2,解得a=2,故g(x)=2x -2+2(x-5)2(2<x<5).(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为h(x)百元,则h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2)(2<x<5),从而h'(x)=4(x-5)(x-2)+2(x-5)2=6(x-3)(x-5). x 变化时,h(x),h'(x)的变化情况如下表:x (2,3) 3 (3,5) h'(x) + 0 - h(x)↗极大值↘由上表可得,x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点,此时h(x)=10,即该商品销售价格为3元/件时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大利润为10百元. 5.C 如图,连结ON.设∠NOQ=θ(0<θ<π2),则NQ=5sin θ,OQ=5cos θ,∴矩形的面积S=5sin θ×2×5cos θ=25sin 2θ, ∴S'=50cos 2θ, 令S'=0,解得θ=π4,当0<θ<π4时,S'>0;当π4<θ<π2时,S'<0.∴当θ=π4时,S 取得最大值,最大值为25.6.A 如图,取AB 的中点E,连结CE,DE,设AB=2x(0<x<1),则CE=DE=√1-x 2, ∴当平面ABC ⊥平面ABD 时,四面体的体积最大,此时四面体的体积V(x)=13×12×2x ×√1-x 2×√1-x 2=13x-13x 3,则V'(x)=13-x 2,令V'(x)=0,解得x=√33(负值舍去). 当x ∈(0,√33)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x ∈(√33,1)时,V'(x)<0,V(x)单调递减. 因此,当x=√33时,V(x)有最大值,V(x)max =13×√33-13×(√33)3=2√327. 故选A.7.D 由题知折起的四棱锥如图所示,取CD 的中点M,连结OM,EM,设正方形ABCD 的边长为a cm(0<a<5√2),则|OM|=a2 cm,|EM|=(5-a2)cm,则|EO|=√|EM |2-|OM |2=√25-5a cm,故四棱锥的体积V=13·a 2·√25-5a =13√25a 4-5a 5 cm 3.构造函数h(a)=25a 4-5a 5(0<a<5√2),求导,得h'(a)=100a 3-25a 4,由h'(a)>0得0<a<4,由h'(a)<0得a>4,故h(a)在(0,4)上单调递增,在(4,5√2)上单调递减.故当a=4时,h(a)取得最大值,也就是V 取得最大值,即所得四棱锥体积的最大值为13×√25×44-5×45=16√53cm 3.故选D.8.解析 (1)在△SAO 中,SO=√SA 2-AO 2=√52-32=4, 由△SNO 1∽△SAO 可知,SO 1SO =r R,所以SO 1=43r,所以OO 1=4-43r,所以V(r)=13πr 2·(4-43r)=49π(3r 2-r 3),0<r<3. (2)由(1)得V(r)=49π(3r 2-r 3),0<r<3,所以V'(r)=49π(6r-3r 2),令V'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).当r ∈(0,2)时,V'(r)>0,所以V(r)在(0,2)上单调递增; 当r ∈(2,3)时,V'(r)<0,所以V(r)在(2,3)上单调递减. 所以当r=2时,V(r)取得最大值V(2)=16π9.9.答案 √mk解析 设甲、乙两站相距s 千米,以速度v 匀速运行时成本最省,总成本为y 元, 则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=sv ,∴y=(m+kv 2)s v =s (kv +mv ),求导,得y'=s (k -mv2),令y'=0,得v=√m k (负值舍去),∴函数在(0,√m k )上单调递减,在(√mk ,+∞)上单调递增,则v=√mk 为极小值点.∴当v=√m k时,y 有最小值,故答案为√mk.10.解析 (1)因为易拉罐的体积为108π mL,所以πr 2h=108π,即h=108r 2,易拉罐的侧面积为S=2πrh=2πr 108r 2=216πr,易拉罐的上、下两底面的面积和为S=2πr 2, 所以y=m216πr+2n πr 2=2π(108m r+nr 2),因为h ≥4r, 所以有108r 2≥4r,解得r ≤3,故0<r ≤3.综上,易拉罐的制造费用为y=2π·(108m r+nr 2),r ∈(0,3].(2)由(1)知y'=2π(-108m r 2+2nr),令y'=0,解得r=3√2m n3,①若3√2m n3<3,即2m<n,此时3√2m n3∈(0,3),当r ∈(0,3√2m n3)时,函数y=2π·(108m r +nr 2)单调递减; 当r ∈(3√2m n3,3)时,函数y=2π·(108m r+nr 2)单调递增.故当r=3√2m n3时,函数y=2π·(108m r+nr 2)取得最小值,即易拉罐的制造费用最低. ②若3√2m n3≥3,即2m ≥n,此时3√2m n3≥3,当r ∈(0,3]时,函数y=2π·(108m r+nr 2)单调递减,故当r=3时,函数y=2π·(108m r +nr 2)取得最小值,即易拉罐的制造费用最低.综上,若2m<n,则当r=3√2m n3时,易拉罐的制造费用最低;若2m ≥n,则当r=3时,易拉罐的制造费用最低. 11.解析 (1)依题意可知余下工程有120x段输油管道,有(120x-1)个增压站,故余下工程的总费用y=(x 2+x)·120x+400·(120x-1)=120x+48 000x-280,所以将y 表示成关于x 的函数为y=120x+48 000x-280(0<x<120).(2)由(1)知y=120x+48 000x-280(0<x<120),则y'=120-48 000x 2,令y'=0,得x=20(负值舍去), x 变化时,y,y'的变化情况如下表:x (0,20) 20 (20,120)y' - 0 + y↘极小值↗由上表易知,函数在x=20时取得最小值,此时120x-1=5,故需要修建5个增压站才能使总费用y 最小.能力提升练一、选择题1.C 设球的半径为R,根据球的表面积公式得4πR 2=16π,所以R=2. 设该正三棱柱底面边长为x,则底面等边三角形外接圆的半径为√33x,故该正三棱柱的高为2×√R 2-(√33x)2=2√4-x 23, 所以该正三棱柱的体积为V(x)=√34x 2×2√4-x 23=√32×√4x 4-x 63=√-x 6+12x 42(0<x<2√3).令f(x)=-x 6+12x 4,由f'(x)=-6x 3(x-2√2)·(x+2√2)=0,解得x=2√2(负值舍去),易知函数在x=2√2时取得最大值,此时V(2√2)=√34×8×2√4-83=8.2.C 设汽车行驶途中总的耗油量为f(x)升.若速度为x 千米/时,则时间为200x小时,所以f(x)=(181 000x 3-110x +18)·200x=1405x 2+3 600x-20(0<x ≤120),所以f'(x)=2405x-3 600x =2x 3-2×903405x (0<x ≤120).令f'(x)=0,得x=90.易知当x ∈(0,90)时,函数f(x)单调递减,当x ∈(90,120)时,函数f(x)单调递增. 所以x=90时,函数f(x)取得最小值.二、填空题 3.答案2√6π3解析 设圆锥的底面半径为r,高为h, 因为圆锥的母线长为1,所以r 2+h 2=1,所以圆锥的体积为V(h)=13πr 2h=13π(1-h 2)h=13π(-h 3+h),0<h<1,求导可得,V'(h)=13π(-3h 2+1).令V'(h)=0,得h=√33(负值舍去), 当h ∈(0,√33)时,V'(h)>0,V(h)单调递增; 当h ∈(√33,1)时,V'(h)<0,V(h)单调递减. 故当h=√33时,体积取得最大值,此时r=2=√63, 此时φ=2πr 1=2π√63=2√6π3. 4.答案 (1)10 (2)3.3解析 (1)当x=4时,y=21,代入函数关系式y=m x -2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元,由(1)可知,套题每日的销售量为y=10x -2+4(x-6)2,所以f(x)=(x-2)·[10x -2+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6),则f'(x)=12x 2-112x+240. 令f'(x)=0,得x=103或x=6(舍去).当x ∈(2,103)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x ∈(103,6)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以x=103是函数f(x)在区间(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格约为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 5.答案1627解析 由于在边长为2的正方形纸板的四个角截去四个边长均为x 的小正方形,做成一个无盖的方盒,所以无盖的方盒的底面是正方形,且边长为2-2x,高为x, 则无盖的方盒的容积为V(x)=(2-2x)2×x(0<x<1), 整理得V(x)=4x 3-8x 2+4x(0<x<1), 则V'(x)=12x 2-16x+4=4(3x-1)(x-1), 令V'(x)=0,得x=13或x=1(舍去).当x ∈(0,13)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x ∈(13,1)时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以当x=13时函数V(x)取得最大值,最大值为V (13)=(2-23)2×13=1627,故答案为1627.6.答案 2解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,因为圆锥的高为22体积V=13π×42×3=16π,所以圆柱的体积V=πr 2h=16π,则h=16r2,圆柱的表面积S=2πr 2+2πrh=2π(r 2+rh)=2π(r 2+16r),设f(r)=r 2+16r(r>0),则f'(r)=2r-16r=2r 3-16r .令f'(r)=0,得r=2.当0<r<2时, f'(r)<0, f(r)单调递减; 当r>2时, f'(r)>0, f(r)单调递增.所以当r=2时, f(r)最小,从而圆柱的表面积S 最小,故答案为2.三、解答题7.解析 (1)当1≤x<4时,y=2x (1-x6)-x ·x6=2x-x 22,当x ≥4时,y=[x -(3x2-3x+1)x]×2-(3x2-3x+1)x=9-x-9x,所以所求函数关系式为y={2x -x 22,1≤x <4,9-x -9x,x ≥4.(2)当1≤x<4时,y=2x-x 22=-12(x-2)2+2,所以当x=2时,y 取得最大值2; 当x ≥4时,y=9-x-9x,y'=-1+9x2=9-x 2x 2<0,所以函数在[4,+∞)上单调递减,所以当x=4时,y 取得最大值114. 又114>2,所以当日产量为4万件时可获得最大利润,最大利润为114万元.8.解析 (1)依题意得,∠AOC=23π-θ2=π3-θ2,则y=12(π3-θ2)×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30=16 000(π3-θ2)+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ=16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,其中0<θ<2π3.(2)易得y'=4 000cos θ-2 000, 令y'=0,得θ=π3,当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,所以,θ=π3是函数在区间0,2π3上的极大值点,且是唯一的极大值点,从而当θ=π3时,日效益总量达到最大值.。
