高等代数.第六章.线性空间.课堂笔记

高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。

高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。

（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。

（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。

2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。

运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。

运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。

复旦版高等代数笔记高等代数是现代数学的重要分支之一，它研究的是一种抽象的代数结构及其运算规律。

复旦版高等代数笔记是基于复旦大学高等代数课程的教学内容而编写的一份文档，旨在帮助学生掌握高等代数的基本概念、理论和方法。

本文档将从以下几个方面进行介绍：一、线性代数线性代数是高等代数的基础，它研究的是线性空间、线性变换和线性方程组等内容。

本章将介绍向量空间、线性变换和线性方程组的基本概念与性质，以及它们在代数中的应用。

二、矩阵理论矩阵理论是高等代数的重要内容之一，它研究的是矩阵的性质和运算规律。

本章将介绍矩阵的基本定义、运算和特征值与特征向量等概念，以及它们在代数中的应用。

群论是高等代数的核心内容，它研究的是一种抽象代数结构的性质和运算规律。

本章将介绍群的基本定义、子群与陪集、同态与同构以及群论的一些重要定理与应用。

环论是高等代数的重要内容之一，它研究的是一种抽象代数结构的性质和运算规律。

本章将介绍环的基本定义、理想与商环、同态与同构以及环论的一些重要定理与应用。

域论是高等代数的进阶内容，它研究的是一种抽象代数结构的性质和运算规律。

本章将介绍域的基本定义、子域与扩域、同态与同构以及域论的一些重要定理与应用。

六、线性空间与线性变换线性空间与线性变换是高等代数的深入内容，它研究的是线性空间和线性变换的性质和运算规律。

本章将介绍线性空间与线性变换的基本定义与性质，以及它们在代数中的应用。

七、特殊矩阵与线性方程组特殊矩阵与线性方程组是高等代数的实际应用内容，它研究的是特殊矩阵和线性方程组的性质和求解方法。

本章将介绍特殊矩阵的分类与性质，以及线性方程组的求解方法与特殊情况的讨论。

通过本文档的学习，读者将能够掌握高等代数的基本理论和方法，能够独立解决与高等代数相关的问题。

同时，本文档提供了大量的例题和习题，供读者进行巩固和拓展，以提高对高等代数知识的理解和应用能力。

复旦版高等代数笔记的编写经过了精心的策划和严谨的校对，力求准确地呈现高等代数的各个方面。

第六章 线性空间第一节 映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节 线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节 基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节 基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0． 因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节 线性子空间1. (1),(2)是nF 的 子空间，(3)不是nF 的 子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节 子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性 假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性 由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节 线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解 设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证 对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证 设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证 任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证 例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证 必要性 显然； 充分性 设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。

两种运算要封闭，八条公理要齐备。

V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。

V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。

满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。

常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。

（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。

（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。

[]x F n 表示数域F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。

（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。

当n m =时，记为()F M n m ⨯。

（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。

⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。

⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。

⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。

记为V dim 。

⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。

()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。

记为(n a a a ,,21 )。

⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。

线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。

一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。

线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。

加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。

具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。

2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。

3. 加法满足结合律和交换律。

4. 加法单位元（零向量）存在。

5. 数乘满足分配律。

6. 数乘满足标量乘1等于自身。

换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。

二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。

下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。

对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。

2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。

即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。

3. 线性空间中的元素满足分配律。

即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。

4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。

即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。

5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。

即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。

6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。

即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。

第六章知识点
1、集合，映射：def, 单射/满射，双射
2、线性空间：def, 加法和数乘（八条运算规则），四条简单性质
考查点：检验给定空间能否构成线性空间？P267（T3）
3、维数、基、坐标：线性组合，线性相关、无关，维数，基，坐标
考查点：1、考察向量之间的线性关系
2、求给定空间的维数和基（T8）
3、求已知向量在某组基下的坐标（T7）；
4、基变换，坐标变换：一组基向量组在另一组基下的坐标按列排构成过渡矩阵；向量
在不、同基下的坐标之间的关系依赖于基之间的过渡矩阵考查点：1、求基之间的过渡矩阵，2、求已知向量在不同基下坐标之间的关系式
（T9-10）
5、线性子空间：def, 平凡子空间，非平凡，生成子空间；TH3-4;
考查点：1、线性子空间的检验，求符合条件的子空间以及基和维数（T13,14,16,17）
2、证明子空间相互之间关系（理论依据：TH3，T12，补充T4-5）
6、子空间的交与和：def, 性质；TH7（维数公式），推论
考查点：1、计算：求子空间的交与和空间的维数和基（T18）
7、直和：def, 与之等价的三个充要条件；多个子空间直和def, 充要条件
考查点：1、证明空间之间的直和关系（三个充要条件的应用，T19-22，补充T3）
计算重点：1、求线性空间的维数和基，向量在某组基下的坐标
2、求基变换的过渡矩阵，向量在不同基下的坐标变换关系式
3、求子空间基和维数，包括一般线性子空间、子空间的和，子空间的交
证明重点：1、向量组线性无关
2、子空间的相互关系
2、直和。