人教版通用2015届高三理科数学二轮专题整合限时练6份

目录限时训练一 (1)限时训练二 (8)限时训练三 (14)限时训练四 (20)限时训练五 (27)限时训练六 (33)限时训练一(建议用时：40分钟)一、选择题1．若A＝{x|2＜2x＜16，x∈Z}，B＝{x|x2－2x－3＜0}，则A∩B中元素个数为()．A．0 B．1C．2 D．3解析因为A＝{x|2＜2x＜16，x∈Z}＝{x|1＜x＜4，x∈Z}＝{2,3}，B＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，所以A∩B＝{2}．答案 B2．若(1＋2a i)i＝1－b i，其中a，b∈R，则|a＋b i|＝()．A.12＋i B． 5C.52D．54解析因为(1＋2a i)i＝1－b i，所以－2a＋i＝1－b i，a＝－12，b＝－1，|a＋b i|＝|－12－i|＝52.答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为 ( )．A.815 B ．12 C.25D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815. 答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是 ( )．A ．21B ．24C ．28D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4，∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28. 答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的 ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b )·a 2＜0得，a ≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b )·a 2＜0，即“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32 C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x ±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋(33)2＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2. 所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6， T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r ， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192.答案 D8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4， ∴ω＝2，f (x )＝sin (2x ＋φ)．把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ， 又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin (2x ＋π3)． 答案 A9．已知O 是坐标原点，点A (－2,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则O A →·OM →的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2]解析 ∵A (－2,1)，M (x ，y )，∴z ＝O A →·OM →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N (1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M (0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2，∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23. 答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为( )．A.323 B ．403 C.163D ．40解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )．A ．－3B ．－2C ．3D ．2解析 ∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∵f (32－x )＝f (x )，∴f (32－x )＝－f (－x )， ∴f (3＋x )＝f (x )，∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a nn ＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为 a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n ＋1， ∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为__________． 解析 ∵p ·q ＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)，∴|p ＋λq |＝(2＋λ)2＋(2λ－1)2＝5λ2＋5≥ 5. 答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 由正弦定理得，sin A ＝a sin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6. 答案 π615．若曲线y ＝x在点(m ，m )处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.解析 由y ＝x ，得y ′＝－12x ，所以，曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线方程为y －m＝－12m(x －m )，由已知，得12×32m ×3m ＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab 的最小值为________．解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以 3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b )＝6a b ＋2ba ＋7≥26a b ·2ba ＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．答案 7＋4 3限时训练二(建议用时：40分钟)一、选择题1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,5}，B ＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝ ( )．A ．{2,3,4}B ．{2}C ．{2,4}D ．{1,3,4,5}解析 ∁U A ＝{2,3,4}，所以B ∩(∁U A )＝{2,4}． 答案 C2．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )．A ．0B ．－32C ．6D ．－6解析 z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5，因为z 1z 2是实数，所以6－b ＝0，所以实数b 的值为6. 答案 C3．已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是 ( )．A.692 B ．69 C ．93D ．189解析 因为{a n }是由正数组成的等比数列，所以a 23＝a 2a 4＝144，即a 3＝12，又因为a 1＝3，所以q ＝2，所以S 5＝3(1－25)1－2＝93.答案 C4．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为 ( )． A ．27 B ．21 C.13D ．3解析 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝3，所以c ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，所以a ＝13. 答案 C5．如果log a 8＞log b 8＞0，那么a ，b 间的关系是 ( )．A ．0＜a ＜b ＜1B ．1＜a ＜bC ．0＜b ＜a ＜1D ．1＜b ＜a解析 因为log a 8＞log b 8＞0，所以log 8b ＞log 8a ＞0＝log 81，所以1＜a ＜b . 答案 B6．若(x －2x )n 的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为 ( )．A ．6B ．10C ．12D ．15解析∵T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x )r ＝C r n (－1)r 2rx，∴T5＝C4n·24·x.令n－12＝0，∴n＝12.答案 C7.某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1＝52，x2＝70，x3＝68，x4＝55，x5＝85，x6＝90，执行如图所示的程序框图，那么输出的s是()．A．1 B．2C．3 D．4解析初始值i＝1，s＝0，输入x1＝52，此时不满足大于60，i＝i＋1＝2；输入x2＝70，此时满足大于60，s＝s＋1＝1；i＝i＋1＝3；输入x3＝68，此时满足大于60，s＝s＋1＝2；i＝i＋1＝4；输入x4＝55，此时不满足大于60，i＝i＋1＝5；输入x5＝85，此时满足大于60，s＝s＋1＝3；i＝i＋1＝6；输入x6＝90，此时满足大于60，s＝s＋1＝4；i＝i＋1＝7，满足i＞6，结束循环，所以输出的s是4.答案 D8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为V1；直径为2的球的体积为V2.则V1∶V2＝()．A ．1∶4B ．1∶2C ．1∶1D ．2∶1解析 易知：该几何体为一个圆柱内挖去一个圆锥，其中圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积V 1＝π×12×1－13π×12×1＝23π，直径为2的球的体积为V 2＝43πr 3＝43π，所以V 1∶V 2＝1∶2. 答案 B9．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －4y 的最小值m 与最大值M 的积为( )．A ．－60B ．－48C ．－80D ．36解析画出约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0的可行域，由可行域知：目标函数z＝3x －4y 过点(2,0)时，取最大值6，所以M ＝6；过点(2,4)时，取最小值－10，所以m ＝－10.所以目标函数z ＝3x －4y 的最小值m 与最大值M 的积为－60. 答案 A10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为()．A. 6 B． 3C. 4 D．3 3解析∵MF2⊥x轴，∴M(c，b2a)，∴tan 30°＝b2a2c＝b22ac＝33，即3c2－23ac－3a2＝0，e＝ 3. 答案 B11．已知函数f(x)＝e x－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝12x垂直的切线，则实数m的取值范围是()．A．m≤2 B．m＞2C．m≤－12D．m＞－12解析由题意可知f′(x)＝e x－m，存在x使得e x－m＝－2有解，则m＝e x＋2有解，e x＋2＞2，知m＞2成立．答案 B12．f(x)是定义在[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()．A．若a＜0，则函数g(x)的图象关于原点对称B．若a＝－1，－2＜b＜0，则方程g(x)＝0有大于2的实根C．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有两个实根D．若a≥1，b＜2，则方程g(x)＝0有两个实根解析A中，若a＝－1，b＝1，则函数g(x)不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A 错误；B 中，当a ＝－1时，－f (x )仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f (x )相反，若再加b ，－2＜b ＜0，则图象又向下平移－b 个单位长度，所以g (x )＝－f (x )＋b ＝0有大于2的实根，所以选项B 正确；C 中，若a ＝12，b ＝2，则g (x )＝12f (x )＋2，其图象由f (x )的图象向上平移2个单位长度，那么g (x )只有1个零点，所以g (x )＝0只有1个实根，所以选项C 错误；D 中，若a ＝1，b ＝－3，则g (x )的图象由f (x )的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g (x )＝0只有一个实根，所以选项D 错误． 答案 B 二、填空题13．某公司300名员工2014年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．解析 由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4到1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在 1.4到 1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72. 答案 7214．已知e 1，e 2是两个单位向量，若向量a ＝e 1－2e 2，b ＝3e 1＋4e 2，且a ·b ＝－6，则向量e 1与e 2的夹角是______．解析 ∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－8e 21－2e 1·e 2＝－6，即e 1·e 2＝12，设向量e 1与e 2的夹角为θ，则cos θ ＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案π315．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有种数为______．解析除甲乙外的四辆车现分为两组，共有C242种分组，再将甲乙分别放入两组，有A22种，甲所在小组列车开出顺序有A33种，乙所在小组列车开出顺序同样有A33种，所以这六列列车开出顺序共有C242A22A33A33＝216种．答案21616．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.135715131191719212331292725……………解析易知前19行共有19×4＝76个奇数，所以第20行的第4列的奇数为2×77－1＝153，所以第20行第3列的数字与第20行第2列数字分别为155,157，所以它们的和为312.答案312限时训练三(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i为虚数单位，复数z满足i z＝1＋i，则z＝()．A. 1＋i B．1－iC. －1＋i D．－1－i解析 由题意z ＝1＋i i ＝(1＋i )ii 2＝1－i ，则z ＝1＋i. 答案 A2．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是 ( )．A ．1B ．3C ．4D ．6解析 符合题意的B 有{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个． 答案 C3．已知函数f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝sin x ＋cos x ，则f (π4)＝ ( )． A ．0 B ． 2 C ．－ 2D ．1解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22＋22＝0. 答案 A4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0 ( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆圆心分别是(－2,0)，(1,1)，圆心距为d ＝10，而两圆半径分别为2,1，显然10＞2＋1，故两圆相离． 答案 D5．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则 log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )．A.15 B ．－15 C ．5D ．－5解析 由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N ＋)可以推出a n ＋1＝3a n ，数列{a n }是以3为公比的等比数列，故a 5＋a 7＋a 9＝27(a 2＋a 4＋a 6)＝35，故log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－5.答案 D6．某企业2014年2月份生产A ，B ，C 三种产品共6 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：产品分类 A B C 产品数量 2 600 样本容量260由于不小心，表格中B ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得B 产品的样本容量比C 产品的样本容量多20，根据以上信息，可得C 的产品数量是( )．A ．160B ．180C ．1 600D ．1 800解析 记B ，C 两种产品的样本容量分别为x ，y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝600－260，x －y ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝180，y ＝160，因此C 产品数量为1 600. 答案 C 7．函数y ＝cos πxx 的图象大致为( )．解析 考虑函数的性质，它是奇函数，排除C ，D ；当x 从正方向趋向于0时，cos πxx →＋∞，排除B ，故选A.答案 A8．如图为长方体与圆柱构成的组合体的三视图，则该几何体的体积为 ( )．A ．64＋32πB ．64＋64πC ．256＋64πD ．256＋128π解析 由题意，V ＝8×8×4＋π×42×4＝256＋64π. 答案 C9．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b 的最小值为 ( )．A.256 B ．83 C.113D ．4解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6.所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案 A10．4人到A ，B ，C 三个景点参观，每个景点至少安排1人，每人只去一个景点，其中甲不去A 景点，则不同的参观方案有 ( )．A ．12种B ．18种C ．24种D ．30种解析 可先选取2人作为一组，这样4人被分为三组，分到三个景点，减去甲在A 景点的方法数C 24A 33－(A 33＋C 23A 22)＝24种．答案 C11．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e f (x 2)与e f (x 1)的大小关系为( )．解析 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x－f (x )e x(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，则f (x 1)e ＜f (x 2)e ，所以ef (x 2)＞e f (x 1)． 答案 A12．已知P 是△ABC 所在平面内一点，AB ＝4，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，P A →＋PB →＋PC →＝0，若点D ，E 分别满足DC →＝－AC →，BE →＝3EC →，则AP →·DE →＝ ( )． A ．8B ． 3C ．－4 3D ．－8解析 由P A →＋PB →＋PC →＝0可知P 是△ABC 的重心，再由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →可得△ABC 是正三角形，又由题意可得AC ＝CD ，E 是BC 的四等分点(如图)，AP→＝13(AB →＋AC →)，DE →＝DC →＋CE →＝－AC →＋14CB →＝－AC →＋14(AB →－AC →)＝14AB →－54AC →，AP →·DE →＝112AB →2－13AB →·AC →－512AC →2＝－8.答案 D 二、填空题13.⎠⎛024－x 2d x ＝__________. 解析 设y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知⎠⎛024－x 2d x的值等于半径为2的圆的面积的14. ∴⎠⎛024－x 2d x ＝14×4π＝π. 答案 π14.执行如图的程序框图，则输出的S 的值为________．解析 S ，T ，n 的值依次为3,1,2；6,4,3；9,11,4，此时有T ＞S ，因此执行语句S ＝S －n ＝5，输出S ＝5. 答案 515．设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，它的一条渐近线方程为y ＝32x ，两焦点间距离为213，F 1，F 2分别是该双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝________.解析 由题意b a ＝32，又2c ＝2a 2＋b 2＝213，所以a ＝2，b ＝3，由双曲线定义得||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝4，故|PF 2|＝7. 答案 716．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2＋c 2－a 216，则cos A ＝____.解析 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，由S ＝b 2＋c 2－a 216得b 2＋c 2－a 2＝16S ，即2bc cos A ＝16×12bc sin A ，cos A ＝4sin A ，所以cos A ＝41717. 答案 41717限时训练四(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为 ( )． A ．－1或1 B ．1 C ．－1D ．3解析 ∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，∴a 2－1＝0，且a －1≠0，∴a ＝－1. 答案 C2．若命题p ：φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 当φ＝π2＋kπ，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件． 答案 A3．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中间值与对数函数值进行比较大小．a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A4．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为 ( )．A ．24B ．39C ．52D ．104解析 ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，由等差数列的性质得6a 4＋6a 10＝48，∴a 7＝4，∴数列{a n }的前13项和为13a 7＝52. 答案 C5.执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 此程序框图的算法功能是分段函数y ＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞2，x 2－1，x ≤2的求值，当y＝3时，相应的x 值分别为±2,8. 答案 C6．登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 山高(km)24343864由表中数据，得到线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^(a ^∈R )．由此估计山高为72(km)处气温的度数为( )．A ．－10B ．－8C ．－6D ．－4解析 ∵x ＝10，y ＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋a ^，即a ^＝60，∴线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6. 答案 C7．曲线f(x)＝e x(其中e为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与直线y＝－x＋3和x轴所围成的区域为D(包含边界)，点P(x，y)为区域D内的动点，则z＝x －3y的最大值为()．A．3 B．4C．－1 D．2解析∵f′(x)＝e x，∴f′(0)＝1，∴曲线f(x)＝e x在点(0,1)处的切线方程为y ＝x＋1，其与直线y＝－x＋3及x轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线z＝x－3y过点A(3,0)时，目标函数z＝x－3y取得最大值3.答案 A8．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为()．A．211 B．4 2C.38 D．16 3解析取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，SC ⊥平面ABC ，则∠SDB ＝90°，且BD ＝23，SD ＝25， ∴SB ＝4 2. 答案 B9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是 ( )．A ．1B ． 2C ．3D ． 3解析 ∵c sin A ＝3a cos C ∴sin C sin A ＝3sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴32＜3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3. 答案 D10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2.若线段MF 1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为( )．A ．4＋2 3B ．3－1 C.3－12D ．3＋1解析 ∵正三角形MF 1F 2的边长为2c ，设MF 1的中点为N ，∴F 2N ⊥NF 1，在Rt △NF 1F 2中，容易求得，|NF 2|＝3c ，|NF 1|＝c ，又N 在双曲线上，∴|NF 2|－|NF1|＝2a，∴2a＝3c－c，∴e＝ca＝23－1＝3＋1.答案 D11．若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以做两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于()．A.12B．13C.23D．34解析点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P＝46＝23.答案 C12．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：x －104 5f(x)122 1①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数是 ()．A．4 B．3C．2 D．1解析首先排除①，不能确定周期性，f(x)在[0,2]上时f′(x)<0，故②正确，当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t≤5，所以排除③；不能确定在x ＝2时函数值和a 的大小，故不能确定几个零点，故 ④错误． 答案 D 二、填空题13．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，且a ∥b ，则|a －b |＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴1×6－2x ＝0，∴x ＝3. 故|a －b |＝(3－1)2＋(6－2)2＝2 5. 答案 2 514.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________． 解析T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x10－5r， 令10－5r ＝0得r ＝2.所以常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案 4015．在三棱锥P -ABC 中，侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．解析 ∵侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，∴三棱锥P -ABC 的外接球就是以PC ，PB ，P A 为长，宽，高的长方体的外接球，∵P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为14，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π. 答案 14π16．若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－3ln a |＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为______．解析 ∵|b ＋a 2－3ln a |＋(c －d ＋2)2＝0，∴⎩⎨⎧b ＝3ln a －a 2，d ＝c ＋2，(a －c )2＋(b －d )2表示两点(a ，b )，(c ，d )间距离的平方，将直线d ＝c ＋2平移到与曲线b ＝ 3ln a －a 2相切，切点到直线d ＝c ＋2的距离即两点(a ，b )，(c ，d )间距离的最小值，由b ′＝3a －2a ＝1，得a ＝1(a ＝－32舍去)，∴切点为(1，－1)，到直线d ＝c ＋2的距离为22，∴(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8. 答案 8限时训练五(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝ ( )． A ．[－1，＋∞) B ．[－1，2] C ．[2，＋∞)D ．∅解析 集合M 表示的是函数的值域，即M ＝[－1，＋∞)，集合N 表示函数定义域[－2，2]，则M ∩N ＝[－1，2]． 答案 B2．下列说法错误的是( )．A ．“sin θ＝12”是“θ＝π6”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0，则綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0D ．若命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 解析 sin θ＝12的角θ为2k π＋π6和2k π＋5π6(k ∈Z )，不一定是θ＝π6，反之当θ＝π6时，sin θ＝12，所以，“sin θ＝12”是“θ＝π6”的必要不充分条件，A 错误；命题的否命题是原命题的前提和结论都否定，所以B 正确；p 是特称命题，非p 是全称命题的形式，故C 正确；非p 与p 必一真一假，所以此题说明p 假，而p 或q 真，故q 真，故D 正确． 答案 A3．函数y ＝sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为 ( )．A.π12 B ．π6 C.π3D ．5π6解析 令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解出x ＝k π2＋π4－φ2，因为函数y ＝sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3，解出k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )．四个选项只有A 符合，故选A. 答案 A4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V ＝2×2×1＋12×1×1×2＝5. 答案 B5．已知平面向量a ＝(1,2)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝53，则|b |＝ ( )．A ．5 2B ．25C ．3 2D ．2 5解析 |a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝5＋2×10＋b 2＝53， 解得|b |＝5 2. 答案 A6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是( )．A．0 B．1C．2 D．－1解析a＝log23，b＝log32，∴a＞1，0＜b＜1，∴a＞b，根据程序框图，M ＝ab＋1＝log23·log32＋1＝2.答案 C7．设a＝log2.83.1，b＝logπe，c＝log eπ则()．A．a＜c＜b B．c＜a＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析易知0＜b＜1,1＜a＝log2.83.1＜log2.8π，又1＞logπ2.8＞logπe＞0，∴1＜log2.8π＜log eπ＝c，∴1＜a＜c，∴b＜a＜c.答案 C8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()．解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ＝(x ＋1)2－2x ，令g (x )＝(x ＋1)2，h (x )＝2x ，则f (x )＝g (x )－h (x )，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g (x )与h (x )的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，在区间(－∞，x 1)上有g (x )＞h (x )，即f (x )＞0；在区间(x 1，x 2)上有g (x )＜h (x )，即f (x )＜0；在区间(x 2，x 3)上有g (x )＞h (x )，即f (x )＞0；在区间(x 3，＋∞)上有g (x )＜h (x )，即f (x )＜0. 答案 A9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5.若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9n 的最小值为 ( )．A.83 B ．114 C.145D ．176解析 设数列的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5得a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，解得q ＝2(q ＝－1舍)，由a m a n ＝4a 1得a 12m ＋n －22＝4a 1，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋9n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ·m ＋n 6＝16＋9m 6n ＋n 6m ＋96≥53＋29m 6n ·n 6m ＝83.答案 A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( )． A.x 29－y 216＝1 B ．x 24－y 23＝1 C.x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1解析 如图所示PF 1⊥PF 2，故圆的半径为5，|F 1F 2|＝10，又b a ＝43，∴a ＝3，b ＝4.答案 A11．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1a ＋2的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，52解析 根据导函数图象可知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (2a ＋b )＜1＝f (4)，所以依题意可得到⎩⎨⎧2a ＋b ＜4，a ＞0，b ＞0，画出a ，b 的可行域，则所求b ＋1a ＋2可看作点(a ，b )与(－2，－1)连线斜率，画图易知选D.答案 D12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜k ，x 3－3x ＋2，k ≤x ≤a ，若存在k 使得函数f (x )的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( )．A ．[3，＋∞)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3C ．(0，3]D ．{2}解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜k 的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2，k ≤x ≤a 的图象，令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，当x ＞1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴当x ＝1时，f (x )在(－1，＋∞)上取得最小值f (1)＝0，又f (3)＝2.若存在k 使f (x )的值域是[0,2]，a 只需 满足12＜a ≤ 3. 答案 B 二、填空题13．i 为虚数单位，则复数5＋10i3－4i的虚部是________．解析 利用复数除法的运算法则，5＋10i 3－4i ＝(5＋10i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－25＋50i25＝－1＋2i ，虚部是2.答案 214．在△ABC 中，若2sin A ＝sin C ，a ＝b ，则角A ＝__________.解析 根据正弦定理，可将条件化为c ＝2a ，又b ＝a ，根据余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，A ＝π4. 答案 π415．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线相切，则a ＝______. 解析 抛物线的准线方程为y ＝－14a，圆的方程可转化为(x －3)2＋y 2＝16，圆与准线相切，可得到14a ＝4，解得a ＝116. 答案 11616．在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为______．解析 依题意知，要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则Δ＝4a 2－4(π－b 2)≥0，整理可得a 2＋b 2≥π，因为总的事件的范围是以π为边长的正方形区域，故所求概率为P ＝π2－14π(π)2π2＝34.答案 34限时训练六(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知R 是实数集，M ＝{x |2x ＜1}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩∁R M ＝ ( )． A ．(1,2) B ．[0,2] C ．∅D ．[1,2]解析 ∵2x ＜1，∴x －2x ＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴M ＝{x |x ＜0或x ＞2}，∵y ＝x－1＋1≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩∁R M＝[1,2]．答案 D2．在复平面内，复数－2＋3i3－4i(i是虚数单位)所对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵－2＋3i3－4i＝(－2＋3i)(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝－18＋i25＝－1825＋125i，∴－1825＋125i对应的点为(－1825，125)，在第二象限．答案 B3.3cos 10°－1sin170°＝()．A．4 B．2C．－2 D．－4解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin(10°－30°)12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.答案 D4．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝0.158 7；⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人． 其中正确的个数为 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ①正确；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望变小了，而方差不变，所以②错；③属于随机抽样；④P (X ＞4)＝12[1－P (2≤x ≤4)]＝ 12(1－0.682 6)＝0.158 7，所以④正确；⑤设样本容量为n ，根据分层抽样得7350＝n750，得n ＝15，所以⑤正确．综上可知：①④⑤正确． 答案 B5．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )．A ．13B ．26C ．52D ．156解析 ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26.答案 B6.把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连接AC ，得到三棱锥C －ABD ，其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为( )．A.32B ．12C．1 D．2 2解析由条件知直观图如图所示，其中M是BD的中点，则CM⊥平面ABD，侧视图就是Rt△CMA，CM＝AM＝1，CM⊥AM，S△CMA ＝12×1×1＝12.答案 B7．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是()．A．2 B．13C．－3 D．－12解析由程序框图知：S＝2，i＝1；S＝1＋21－2＝－3，i＝2；S＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S＝1＋(－12)1－(－12)＝13，i＝4；S＝1＋131－13＝2，i＝5；…，可知S的周期为4，当i＝2 015＝4×503＋3时，结束循环输出S，即输出S＝－12.答案 D8．已知向量a ，b ，满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x 在R 上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3解析 设a 、b 的夹角为θ，∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋|a ||b |cos θ·x ＝13x 3＋12|a |x 2＋ 12|a |2cos θ·x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋12|a |2cos θ，∵函数f (x )有极值，∴f ′(x )＝0有2个不同的实根，∴Δ＝|a |2－2|a |2cos θ＞0，即1－2cos θ＞0，∴cos θ＜12，∴π3＜θ≤π. 答案 C9．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )．A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)解析 ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ，∴sin B ＝2sin A cos A ，∴b ＝2a cos A ，又∵a ＝1，∴b ＝2cos A ，∵△ABC 为锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，0＜C ＜π2，即0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－A －2A ＜π2，∴π6＜A ＜π4，22＜cos A ＜32，∴2＜2cos A ＜3，∴b ∈(2，3)． 答案 A10．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为 ( )． A. 2 B ．2 2 C. 3D ．433解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由条件得∠PF 1F 2＝30°，由2asin 30°＝4asin ∠PF 2F 1，得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt △PF 2F 1中，2c ＝(4a )2－(2a )2＝23a ，∴e ＝ca ＝ 3. 答案 C11．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为 ( )．A.13 B ．23 C.12D ．34解析 ∵M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3＝16，A 的面积为(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3－k 2x 21－k 0＝16(1－k )3，∴16(1－k )316＝827，∴k ＝13.答案 A12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1，x ≤1ln x ，x ＞1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是(注：e 为自然对数的底数) ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，e解析 ∵y ＝ln x (x ＞1)，∴y ′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，∴y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，若其与y ＝ax 相同，则a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，∴x 0＝e ，∴a ＝1e .当直线y ＝ax 与y ＝14x ＋1平行时，直线为y ＝14x ，当x ＝1时，ln x －14x ＝ln 1－14＜0，当x ＝e 时，ln x －14x ＝ln e －14e ＞0，当x ＝e 3时，ln x －14x ＝ln e 3－14e 3＜0，∴y ＝ln x 与y ＝14x 的图象在(1，e)，(e ，e 3)上各有1个交点，∴直线y ＝ax 在y ＝14x 和y ＝1e x 之间时，与函数f (x )的图象有2个交点，所以a ∈[14，1e )，故选B.答案 B 二、填空题13．若(x 2＋1x )n的二项展开式中，所有项的二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为________．解析 ∵所有项的二项式系数和为64，∴2n ＝64.∴n ＝6，∴(x 2＋1x )n ＝(x 2＋1x )6，∴T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(1x )r ＝C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，∴常数项为C 46＝15. 答案 1514．已知△P AD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，P A ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析 如图在Rt △P AD 中，AD ＝4＋4＝22，过△P AD 的外心M 作垂直于平面P AD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则O 为四棱锥P －ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P －ABCD 外接球的半径)，即R ＝3，∴四棱锥P －ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案 12π15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________. 解析 ∵⎩⎨⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 答案 9116．在△ABC 中，边AC ＝1，AB ＝2，角A ＝2π3，过A 作AP ⊥BC 于P ，且AP →＝λAB→＋μAC →，则λμ＝________. 解析 AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC→＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ①，∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1②，由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝27，μ＝57，∴λμ＝27×57＝1049.答案1049。