第3节 等比数列及其前n项和

第3节 等比数列及其前n项和

考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.

知 识 梳 理

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q

＝a1－anq1－q.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

[常用结论与微点提醒] 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an，{an·bn}，anbn也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )

(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a（1－an）1－a.( )

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )

解析 (1)在等比数列中，q≠0.

(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.

(3)当a＝1时，Sn＝na.

(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(老教材必修5P53T1改编)已知{an}是等比数列，a4＝16，公比q＝2，则a1等于( )

A.2 B.－2 C.12 D.－12

解析 由题意，得a4＝a1q3＝8a1＝16，解得a1＝2.

答案 A

3.(老教材必修5P61T1改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则{an}的通项公式an＝________.

解析 因为S10S5＝3132，所以S10－S5S5＝－132，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－132，q＝－12，则an＝－－12n－1.

答案 －－12n－1

4.(2020·青岛模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )

A.8 B.9 C.10 D.11

解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，

∴m＝10.

答案 C

5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )

A.32f B.322f

C.1225f D.1227f

解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为122的等比数列，设此数列为{an}，则a8＝1227f，即第八个单音的频率为1227f.

答案 D

6.(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________.

解析 由a24＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝1a1＝3.

所以S5＝a1（1－q5）1－q＝13（1－35）1－3＝1213.

答案 1213

考点一 等比数列基本量的运算

【例1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )

A.16 B.8 C.4 D.2

(2)(2020·郴州一模)在数列{an}中，满足a1＝2，a2n＝an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，Sn为{an}的前n项和，若a6＝64，则S7的值为( )

A.126 B.256 C.255 D.254

解析 (1)设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.

(2)数列{an}中，满足a2n＝an－1an＋1(n≥2)，

则数列{an}为等比数列，设其公比为q，

又由a1＝2，a6＝64，得q5＝a6a1＝32，则q＝2，

则S7＝a1（1－27）1－2＝28－2＝254.

答案 (1)C (2)D

规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.

【训练1】 (1)等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝( )

A.9 B.15 C.18 D.30

(2)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

解析 (1)设数列{an}的公比为q(q>0)，

则2S3＝2（a1＋a1q＋a1q2）＝8a1＋3a1q，a1q3＝16，

解得q＝2，a1＝2，所以S4＝2（1－24）1－2＝30.

(2)由{an}为等比数列，设公比为q.

由a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，得a1＋a1q＝－1，①a1－a1q2＝－3，②

显然q≠1，a1≠0，

②①得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，

所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.

答案 (1)D (2)－8

考点二 等比数列的判定与证明

【例2】 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*).

(1)求a2，a3的值；

(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.

(1)解 因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， 所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；

当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，

所以a2＝4；

当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，

所以a3＝8.

综上，a2＝4，a3＝8.

(2)证明 因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①

所以当n≥2时，

a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1).②

①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.

所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，

所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2).

因为S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，所以Sn＋2Sn－1＋2＝2，

故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.

规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.

【训练2】 (2019·长治二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.

(1)求an及Sn；

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

解 (1)易知q≠1，由题意可得a1q3＝9a1q，a1（1－q3）1－q＝13，q>0， 解得a1＝1，q＝3，

∴an＝3n－1，Sn＝1－3n1－3＝3n－12.

(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，

∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，

∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，

此时Sn＋12＝12×3n，则Sn＋1＋12Sn＋12＝12×3n＋112×3n＝3，

故存在常数λ＝12，使得数列{Sn＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列.

考点三 等比数列的性质及应用

【例3】 (1)(2020·洛阳统考)等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a8a13＝64，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝________.

(2)(一题多解)(2020·北京东城区模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S30＝140，则S40＝( )

A.280 B.300 C.320 D.340

解析 (1)由等比数列的性质可得a10a11＝a8a13，

所以a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64，

所以a10a11＝32，所以

log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)

＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50.

(2)法一 因为S10＝20≠0，所以q≠－1，

由等比数列性质得S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，

即(S20－20)2＝20(140－S20)，解得S20＝60，