等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同
一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，
通常用字母__q__表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a
n}的首项为a
1，公比为q，则它的通项a
n＝a
1·qn－1.
3．等比中项
若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a
n＝a
m·qn－m(n，m∈N
＋)．
(2)若{a
n}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N
＋)，则a
k·a
l
＝a
m·a
n.
(3)若{a
n}，{b
n}(项数相同)是等比数列，则{λa
n}(λ≠0)，，{a}，
{a
n·b
n}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{a
n}的公比为q(q≠0)，其前n项和为S
n，
当q＝1时，S
n＝na
1；
当q≠1时，S
n＝＝.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{a
n}的前n项和为S
n，则S
n，S
2n－S
n，S
3n－S
2n
仍成等比数列，其公比为__qn__
选择题：等比数列{a
n}共有奇数项，所有奇数项和S
奇＝255，所有偶数项和S
偶＝
－126，末项是192，则首项a
1等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 设等比数列{a
n}共有2k＋1(k∈N
＋)项，则a
2k＋1＝192，则S
奇＝a
1
＋a
3＋…＋a
2k－1＋a
2k＋1＝(a
2＋a
4＋…＋a
2k)＋a
2k＋1＝S
偶＋a
2k＋1＝－＋
192＝255，解得q＝－2，而S
奇＝＝＝255，解得a
1＝3
已知等比数列{a
n}的公比为正数，且a
3a
9＝2a，a
2＝2，则a
1等于( )
A. B. C. D．2
解析 (1)由等比数列的性质得a
3a
9＝a＝2a，∵q＞0，∴a
6＝a
5，q＝
＝，a
1＝＝
已知等比数列{a
n}满足a
1＝，a
3a
5＝4(a
4－1)，则a
2等于( )
A．2 B．1 C. D.
必修五
1 中高考名校冲刺教育中心
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等比数列及其前n项和
高考会这样考
1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本
量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题．
复习备考要这样做 1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q＝1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法．
1． 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．
2． 等比数列的通项公式
设等比数列{a
n}的首项为a
1，公比为q，则它的通项a
n＝a
1·qn－1.
3． 等比中项
若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．
4． 等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a
n＝a
m·qn－m，(n，m∈N*)．
(2)若{a
n}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则a
k·a
l＝a
m·a
n.
(3)若{a
n}，{b
n}(项数相同)是等比数列，则{λa
n}(λ≠0)，
1
a
n，{a2
n}，{a
n·b
n}，
a
n
b
n仍是等
比数列．
5． 等比数列的前n项和公式
等比数列{a
n}的公比为q(q≠0)，其前n项和为S
n，
当q＝1时，S
n＝na
1； 必修五
2 当
q≠1时，S
n
＝a
1
1－qn
1－q＝a
1－a
nq
1－q.
6． 等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{a
n}的前n项和为S
n，则S
n，S
2n－S
n，S
3n－S
2n仍成等比数列，
其公比为__qn__.
[难点正本 疑点清源]
等比数列求和试题
§3.3等比数列及其求和
一、典型例题：
1.(1)若x,2x?2,3x?3成等比数列，则x的值__________.?4
(2)在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为________.2.如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（b）
（a）为常数数列（b）为非零的常数数列（c）存有且唯一（d）不存有3.设等比数列?an?的前n项和为sn，前n项的倒数之和为tn，则
a1ansntnn?13
的值（a）.
（a）a1an（b）
（c）(a1an)n（d）(a20a10a1an)n
4.在等比数列{an}中，a7?a11?6,a4?a14?5,则2332?（c）.
3223232332a．b．c．或d．－或－
125.等比数列?an?的首项a1??1，前n项和为sn，若
s10s5?3132,sn?_________.?(1?(?))
n6.已知数列?an?是公比q?1的等比数列，给出下列六个数列：（1）?kan?(k?0)；(2)?a2n?1?；(3)?an?1?an?；(4)?an?1an?；(5)?nan?；(6)?an?.其中仍是等比数列的个数为（b）
3（a）4（b）5（c）6（d）37.若2,a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log9a?bc?d2222=.?1
8.设?an?是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和，若｛sn｝是等差数列，则q=_____.19.在正项数列?an?中，a?aa?21222n4?13n，则a1?a2an?___________.2n?1
nn10.未知数列?an?的通项公式为an?3?2?2n?1，谋数列?an?的前n项和为sn.
sn?3n?12?2n?1?n?272 11.未知定义在r上的函数f(x)?0和数列?an?满足用户：a1?3,a2?5,an?f(an?1)(n?2,3,4,?)，
《等比数列的前n项和》
一、教材分析
1、地位和作用
《等比数列的前n项和》是一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。教学对象为高二学生，教学课时为2课时。本节课为第一课时。在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。
从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着关键性的作用。首先：数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。 其次：数列有着承前启后的作用。数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
2、学情分析
学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
二、教学目标的确定
作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
