等比数列前n项和(三)

1

等比数列及其前n项和

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq1－q.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

【微点提醒】

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )

(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a(1－an)1－a.( )

2

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )

1 求数列前N项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

11()(1)22nnnaannSnad

特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，1nSna 1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

解：由212loglog3log1log3323xxx

由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式）

＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn

∴

1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501

∴ 当

88n，即n＝8时，501)(maxnf

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS……………①

解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积

设nnxnxxxxxS)12(7531432………. ② （设制错位）

①－②得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432

等比数列的前n项和

一、等比数列的前n项和公式

1．乘法运算公式法

∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)

＝a1·1－q1＋q＋q2＋…＋qn－11－q＝a11－qn1－q，

∴Sn＝a11－qn1－q.

2．方程法

∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)

＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，

∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.

∴Sn＝a11－qn1－q.

3．等比性质法

∵{an}是等比数列，∴a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.

∴a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，

即Sn－a1Sn－an＝q于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.

二、等比数列前n项和公式的理解

(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．

(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

等比数列前n项和性质

（1）在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．

（2）当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S偶S奇＝q.

（3）若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列{an}为等比数列．

靠山山会倒，靠人人会跑，只有自己最可靠。

第 1 页 共 1 页 2.5等比数列的前n项和

班级： 姓名：

三维目标

知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

过程与方法：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及类比思想；

情感态度与价值观：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；发现数学来源于生活，服务与生活。

教学重点：等比数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：等比数列前n项和公式的推导．

新课学习

一．问题引入

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算？

二．公式推导

根据等比数列的定义＿＿＿。 变形：an+1=＿＿＿.具体：a2=＿＿,a3=＿＿

snq ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

当＿＿＿＿＿时，Sn=＿＿＿＿＿; 当＿＿＿＿ 时，Sn=＿＿＿＿＿

三．课堂精炼

变式练习

根据下列条件，写出表达式（不要求计算）

1.a1=3,q=2,n=6.则s6= ＿＿＿

2.a1=2.4，q=-1.5,an=0.5.则sn=＿＿＿

3.等比数列1,2,4……从第5项到第10项的和s=＿＿＿.

例2.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？

四．课时小结

1.填表

2．本节课用到了哪些数学思想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

五．课后作业

1.基础题 ：课本P61 习题2.5 A组1，2

2.探究题：

数列

等差数列

等比数列

前N项和公式

推导方法

02431272,81,41,2118191qaa，＝，＝）（）（项的和、求下列等比数列的前例1111123()2482nn(1)求和：2(1)(2)()nnSxxxn(2)求和：