一类二阶非线性方程奇异边值问题

２００７年８月　第２６卷第４期　重庆文理学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ａｕｇ．，２００７　Ｖ０Ｌ　２６　ＮＯ．４　一类非线性奇异边值问题的亏损校正法　吴亚敏　夭业嘏　（鄂东职业技术学院，湖北黄州４３８０００）　［摘要］讨论一类非线性奇异问题误差估计的渐进校正的理论及网格选取法则，对亏损校正　法进行改进．通过数值实验验证改进的亏损校正方法不仅运算量小，而且还适应于非线性微　分方程奇异边值问题．　［关键词］奇异边值；整体误差；亏损校正　［中图分类号］０２４１．１　［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３—８０１２（２００７）０４—００１０—０３　奇异边值问题的研究近年来非常活跃．但是，对于微　分方程边值问题及其奇异情形的结果并不多见…．本文　讨论一类非线性奇异边值问题的误差分析．由文献［２］　可知：原亏损校正法　只能在起始网格的节点上进行误　估计，但在精细的网格节点（包括配置点）上却无法　进行渐进误差校正．本文对原亏损校正法进行改进，解　了原亏损校正法在配置点存在的问题．改进的亏损校　正法能在精细的网格节点上（包括网格内新增的配置　点）对误差估计进行渐近修正，以适应边值问题误差估　汁的需求．　考虑如下非线性奇异边值问题：　，（　）：丝　（　）＋　，　（　）），　（０，　］，　（１）　Ｂｏｚ（０）＋Ｂ　Ｚ（１）＝口，　（２）　∈Ｃ［０，１］．　（３）　其中Ｚ　厂是ｎ维向量值函数，Ｍ是ｎ×ｎ光滑矩阵，ｒ≤ｎ　是常数．将（１）式简记为　Ｆ（ｔ，　（　））：：　（　）＋　，。（　））．　（４）　１改进的亏损校正法　捕值网格：　△：＝（ｆ　ｆ１，…，ｆ　），　（５）　ｈ　：＝ｒ…一ｒ　，ｉ＝０，…，Ⅳ一１，　（６）　ｒ。　０，ｆ～　ｌ，ｈ　。　ｍ　ａ～ｘ。ｈ　・　（７）　网格向量：　ｕｄ：＝（｝上０，…，｝上＾，）∈Ｃ‘　．　（８）　“　在网格向量空间上的范数：　。ｍ　…ａｘ　１・　（９）　对于连续函数，　（ｔ）∈Ｃ［０，１　，Ｒ．　表示在网格向　量空间上的点态射影，　Ｒｄ（　）：＝（　（ｒ０），…，　（ｒ　））．　（１０）　△　表示一种将每个子区间用ｍ个点等距离隔开的精细　网格．　・　△　：＝｛ｔ　ｌｔ　Ｊ＝ｒ　＋　，ｉ＝０，…，，ｖ一１；　＝０，…，　ｍ＋１｝．　（１１）　Ｌ　其中，６　：　・　又定义配置函数　Ｐ（ｔ）：＝Ｐ　（ｔ），ｔ∈Ｊｉ，ｉ＝０，…，Ｎ一１．　（１２）　其中，Ｐ　是一个≤ｍ次的多项式，它满足　Ｐ　（ｔ　Ｊ）＝Ｆ（ｔ　Ｐ（ｔ　Ｊ）），ｉ＝０，…，Ｎ一１；　＝１，…，　ｍ，　、　（１３）　Ｐ　（ｒ　）＝Ｐ　（ｒ　），　＝１，…，Ｎ一１，　（１４）　Ｂ０Ｐ０（０）＋Ｂ。ＰⅣ一。（１）＝　（１５）　由配置法　得到的数值解Ｒ　（Ｐ），通过一个连续分段　≤ｍ次多项式函数ｑ（ｔ）插值．现用这个插值函数构造　一个相邻问题　Ｊ．　Ｙ　（ｔ）：Ｆ（ｔ，Ｙ（ｔ））＋ｄ（ｔ），ｔ∈（０，１］．　（１６）　ＢｏＹ（０）＋Ｂ　Ｙ（１）＝　（１７）　插值函数ｑ（ｔ）在问题（１６）中的亏损可表为　ｄ（ｔ）：＝ｑ　（ｔ）一Ｆ（ｔ，ｑ（ｔ））．　（１８）　假设数值解Ｒ　（Ｐ）的误差很小，那么可以认为问题（１）　和问题（１６）的解相当接近，即可利用相邻问题（１６）的信　息来估计Ｒｄ　（Ｐ）的误差．为了实现这个目的，用辅助的　低阶方法求得问题（１）的解　和相邻问题（１６）的解　仃　．所谓低阶方法就是向后欧拉公式，　：　（ｔｉｊ，￣　，　６．　‘、　‘Ｊ　［收稿日期］２００７—０５—２０　［作者简介］吴亚敏（１９６０一），男，湖北黄冈人，副教授，主要从事高等数学教学与研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｗｙｍｊｉｄｉａｎ＠ｓｏｈｕ．ｃｏｒｎ　１０　（１９）

第２１卷第５期　２０１０年９月　陇东学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２１　Ｎｏ．５　Ｓｅｐ．２０１０　

一类高阶奇异ｔ乍线性微分方程组边值ｌ闭题　

正解存在性和多重性　

李万军　

（陇东学院数学系，甘肃庆阳７４５０００）　

摘要：利用锥上的不动点定理，研究了带有独立参数的非线性２ｐ一２ｇ阶奇异常微分方程组正解的存在性　和多重性．　关键词：高阶奇异微分方程组；正解；锥；不动点定理　中图分类号：０１７５．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—１７３０（２０１０）０５－０００１－０５　

Ｔｈｅ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　

ｆ０ｒ　Ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　

ＬＩ　Ｗａｎ－ｊｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ，Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ　７４５０００，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　

０ｆ　２ｐ一２ｑ　ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｗｅ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｈａｓ　

ｏｎｅ　ｏｒ　ｔｗｏ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｈｅｎ　ａｎｄ　ｂｅｌｏｎｇ　ｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｏｐｅｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ；Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｃｏｎｅ；Ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　

第２６卷第３期　２０１０年３月　赤峰学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．２６　Ｎｏ．３　Ｍａｒ．２０１０　一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性　王彩华　（武警学院基础部，河北廊坊０６５０００）　摘要：本文利用锥上的不动点定理研究了下列奇异非线性二阶三点边值方程组　ｆ—ｕ”＝ｆ（ｔ，ｖ），ｔ∈（０，１）　｛一ｖ”＝ｇ（ｔ，ｕ），ｔＥ（Ｏ，１）　ｌ　ｕ．（ｏ）　Ｖ’（ｏ）　Ｏ，ｕ（１）＝Ｏ［Ｕ’　），ｖ（１）＝　ｖ’（－ｑ）　其中　∈（ｏ，１），ｃｔ＜０在某些较弱条件下正解的存在性．　关键词：正解；奇异；三点边值问题；锥　中图分类号：０１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２６０Ｘ（２０１０）０３－００１４—０３　１　５Ｉ言　非线性常微分方程三点边值问题的研究起源于Ｃ　ｕｐｔａ［　Ｊ　此后，许多作者借助于Ｌｅｒａｙ—ｓｃｈａｕｄｅｒ连续性理论及ｋｒａｓ—　ｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’ｓ不动点理论（见【１】【２】【３】【４］）研究了三点边值问题．　最近，一些作者研究了边值方程组问题（文［５］、［６１）．然而，就　我们所知，对于非线性三点边值方程组正解存在性研究的　文章却很少见，仅见文【７］．在这篇文章里，我们将研究下列奇　异非线性二阶三点边值方程组　『－ｕ“＝ｆ（１，ｖ），ｔ∈（０，１）　｛一ｖ”＝　ｔ，ｕ），ｔＥ（０，１）　（１．１）　ｔ　ｕ’（０）＝ｖ‘（ｏ）＝ｏ，ｕ（１）＝ｃｔｕ’　），ｖ（１）＝ｃｔｖ’　）　正解的存在性．其中　ｅ（Ｏ，１），ｏｔ＜Ｏ．　定义（ｕ，ｖ）ｅｃ￣（ｏ，１）×ｃ２（０，１）被称为边值问题（１．１）的一　个正解，如果（ｕ，ｖ）满足边值问题（１．１）且对于Ｖｔｅ（ｏ，１）有ｕ（１）　＞ｏ，ｖ（ｆ）＞ｏ．　为了导出边值问题（１．１）正解的存在性，我们做如下假　设：　ｏＩ１）：ｆＥＣ（（０，１）×Ｒ　，Ｒ＋），ｇＥＣ（（０，１）×Ｒ　，Ｒ＋），ｊＰ　ＥＣ（（０，１），　Ｒ０ｑｉＥＣ（Ｒ　，Ｒ＋），ｉ＝ｌ，２　ｑ２（０）＝０，使得　ｆ（ｔ，ｘ）≤ｐ－（ｔ）ｑｌ（ｘ），ｇ（ｔ．ｙ）≤ｐ２（ｔ）ｑ２（ｙ），ｔ∈（０，１），ｘ，ｙＥＲ　且　ａ　Ｊ　ｏ（１—８一咖】（ｓ）ｄｓ＜＋。。ｂ＝０（１－￥－咖２（ｓ）ｄｓ＜＋　（Ｉｌ２）：存在ｒ１　∈（０，＋∞）且ｒｆ２＞￣１使得　ｌ　ｉｍ唧　∞ｌ　ｉｍ．　Ｙ＝ｏ　ｘ　ｏＩ３）：存在１１，１２Ｅ（０，＋。ｏ）且１，１２　１使得　ｌｉｍ　ｉｎｆｍｉｎ掣＞０　ｌｉｍ　ｉｎｆｍｉｎ　：＋∞　。　】【Ｉ　ｎ　ｖ　我们获得的结果如下：　定理１．１假设（Ｉｌ。）一　３）成立，那么（１．１）至少存在一个　正解．　一１４一　为了证明此定理，我们首先做如下准备：　２预备知识和引理　引理２．１（【８】）设ｘ是Ｂａｎａｃｈ空间，Ｋ是ｘ中的一个　锥．假设Ｑ　、Ｑ２都是Ｋ中的有界开集，使得０ｅｌｌ　ｃ　ｃｎ２．　又设Ａ：ＫＮ（　＼Ｑ。）一Ｋ是全连续算子．如果下列条件之一　满足：　（ｉ）：ｌＩ　Ａｕ　Ｉｌ≤ｌＩ　Ｕ　ｌＩ，ｕＥａＱ。ｎＫ；Ｉｌ　Ａｕ　ｌｌ≥ｌＩ　Ｕ　ＩＩ，Ｕ∈ａ　Ｑ２ｎＫ．　（ｉｉ）：ｌＩ　Ａｕ　ＩＩ≥ｌｌ　ｕ　Ｉｌ，ｕ∈ａＱ　ｎＫ；ｌＩ　Ａｕ　ｌｌ≤ｌｌ　ｕ　ｌｌ，１１∈ａ　ｎ：ｎＫ．　那么Ａ至少有一个不动点在Ｋｆ３（　＼Ｑ。）．　引理２．２（［７１、［９１、【１０】）设０＜１１＜ｌ，ｄＥＲ则对于ＶＹ∈　『０，１１下列边值问题：　ｆｕ”（１）＋ｙ（Ｉ）：０　０＜ｔ＜ｌ，　Ｉｕ‘（ｏ）－－０，ｕ（１）＝ａｕ’（１１）　（２．１）　有唯一解：ｕ（Ｉ）＝Ｉ￣ｋ（ｔ，ｓ）ｙ（ｓ）ｄｓ，其中ｋ（ｔ，ｓ）：【０，１】ｘ【０，ｌｌ－ｍ＋定义　为　ｋ（ｔ，ｓ）＝　ｆ１－ｓ）－（ｔ－￣）一仅，　（１－ｓ）一Ｏｆ．，　（１＿ｓ），　（１－ｓ）－（ｔ－ｓ），　０≤ｓ≤ｔ≤１且ｓ≤　０≤ｔ≤ｓ＜￣－ｑ　０≤ｔ≤ｓ≤１且ｓ≥　≤ｇ≤ｔ≤１　由引理２．２，我们容易得到：　引理２．３（［１　ｏ］）：　对Ｖ（Ｉ，ｓ）ｅ［ｏ，１】×［０，１】，１－＇ｑ≤ｋ（ｔ，ｓ）≤　ｔ—ｓ—ａ．　设Ｅ＝Ｃ［０，１］＝黾一个Ｂａｎａｃｈ空间．其中ｌ１　ｕ　Ｉｌ＝　ｌｕ（ｔ）ｌ，Ｊ＝　【０，１】．设　Ｐ＝｛ｕｆｉ￣Ｅｌｕ０）Ｉ＞０，ｔＥＪｌ，则Ｐ为Ｅ中的一个锥．对Ｖ　ｒ＞０，设　Ｂｒ＝｛ｕ∈ｃ［ｏ，１１　Ｊ　ＩＩ　ｕ　ｌＪ＜ｒ】，ａＢｒ＝ｆｕ∈ｃ［ｏ，１］１　ＩＪ　ｕ　＿ｒ）．容易证明（ｕ，　ｖ）∈Ｃ＇－（０，１）×Ｃ：（０，１）是边值问题（１．１）的一个解，当且仅当（ｕ，　ｖ）ｅｃ［ｏ，１】Ｘ　ｃ［ｏ，１］是下列非线性积分方程组的一个解：

第２６卷第２期　２０１０年４月　德州学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄｅｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２６，Ｎｏ．２　Ａｐｒ．，２０１０　

非线性奇异微分方程无穷边值问题的正解　

王　颖　

（临沂师范学院数学系，山东临沂　２７６００５）　

摘要：通过构造一个特殊的锥，利用范数型Ｋｒａｓｎｏｓｅｌ—ｓｋｉｉ不动点理论讨论了一类二阶非线性奇异微分方程　无穷边值问题正解的存在性．本文的结果包含、推广并改进了许多已知结果．　关键词：无穷边值问题；不动点；正解；锥　中图分类号：０１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４—９４４４（２０１０）０２—００１７一Ｏ５　

０　引言　

主要讨论下列非线性奇异微分方程无穷边值问　

题（ＢＶＰ）正解的存在性　

ｆ　（　）－－ｋ。ｚ（　）－￣ｆ（ｔ，ｚ（　），ｚ　（￡））一０，　

ｔ∈（０，＋。。）　（１）　ｌＸ（０）一０，ｌｉｍ　ｚ（　）一０，　

其中启＞１，厂：（Ｏ，ＣｘＤ）×［０，＋。。）×（～。。，＋。。）一　

［Ｏ，＋Ｃ×。）是连续函数并且－厂允许在ｔ＝０处奇异．　

无穷区间上的边值问题在研究椭圆方程的径向　对称解，大气压强等方面有着广泛的应用　卜　．近年　

来，许多作者研究了当函数－厂是连续函数情况下边　

值问题的正解（见文献［４，５］及随后的参考文献）．文　

献［４］利用锥拉伸与压缩不动点原理研究了在函数　

厂是连续函数条件下ＢＶＰ（１）式正解的存在性，其　

中厂：［Ｏ，＋。。）×［０，＋ｃｘ３）×（一。。，＋ＣＸＤ）—　［Ｏ，＋　

。。）是非负连续函数，且对任意的（ｆ，　，．ｙ）∈Ｅ０，＋　

ＣＫ３）×［Ｏ，＋。。）×（一ＣＫＤ，＋（ＤＯ），有ｆ（ｔ，ｚ，．ｙ）　ａ（　）　

＋６（￡）（　＋ｆ　『），这里ａ，ｂ．［０，＋ｃ×３）一［Ｏ，＋。。）是　

连续函数．文献Ｅ５］中作者推广了文献［４］中的结果，　

得到了下列边值问题正解的存在性定理　ｆｘａ（ｔ）－－ｋ。ｚ（　）＋ｍ（　）ｆ（ｔ，ｚ（￡））一０，ｔ∈（Ｏ，＋∞）　ｊ　（Ｏ）一０，ｌｉｒａ　ｚ（￡）一０，　ｆ—　十。。　受以上文献的启发，文中考虑更一般的ＢＶＰ