初中二次函数教案
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二次函数
知识内容
1. 二次函数的解析式三种形式 一般式: y=ax 2 +bx+c(a ≠0)
顶点式:
2
()y a x h k =-+ 2
24()24b ac b y a x a a -=-+
交点式: 12()()y a x x x x =--
二次函数图像与性质
1、系数a ，b ，c 及b 的几何意义
①a 的符号决定抛物线的开口方向、大小；形状；最大值或最小值。
0a >⇔开口向上⇔有最小值(最低点的纵坐标)。
0a <⇔开口向下⇔最大值(最高点的纵坐标)。
a
越大，开口越小；
a
越小，开口越大。
（描点法可以证明）
②a b 、决定抛物线对称轴
0b =⇔对称轴是y 轴。
a b 、同号⇔对称轴在y 轴的左侧
a b 、异号⇔对称轴在
y 轴的右侧
③c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置。
0c =⇔抛物线过原点
0c >⇔抛物线与y 轴交于正半轴 0c <⇔抛物线与轴y 交于负半轴
④Δ的符号决定抛物线与x 轴的交点个数。
240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点 240b ac -=⇔抛物线与x 轴只有一个交点 240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点
⑤抛物线的特殊位置与系数的关系.
顶点在X 轴上 ⇔
240b ac -= 顶点在y 轴上 ⇔ b ＝0.
顶点在原点 ⇔b ＝c ＝0. 抛物线经过原点 ⇔c ＝0.
2、二次函数的对称轴与顶点坐标以及单调性（增减性）与
最值一般式：
2
y ax bx c =++(0)a b c a ≠、、是常数，且，其对称轴为直线2b x a
=-，顶点坐标为2
4()24b ac b a a --，
ⅰ.当0a >时，有最小值，且当2b
x a
=-时，244ac b y a -=最小值；
当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a >-时，y 随
x 的增大而增大。
ⅱ.当0a <时，有最大值，且当2b x a
=-时，2
44ac b y a -=最大值；
当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
>-时，y 随x 的增大
而减小
顶点式：
2()y a x h k =-+(0)a h k a ≠、、是常数，且，其对称轴为直线x h =，
顶点坐标为()h k ，
ⅰ.当0a >时，有最小值，且当x h =时，y k =最小值；
当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x h >时，y 随x 的增大而增大。
ⅱ.当0a <时，有最大值，且当x h =时，y k =最大值；
当x h <时，y 随x 的增大而增大；当x h >时，y 随x 的增大而减小
1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=
对称轴：2b
x a
=-
顶点坐标：2
4(,
)24b ac b a a
-- 与y 轴交点坐标（0，c ）
增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称
轴右边，y 随x 增大而增大
当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小
二次函数图像画法：
勾画草图关键点：（1）开口方向 （2）对称轴（3）顶点（4）
与x 轴交点（5）与y 轴交点
图像平移步骤
（1）配方 2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ） （2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减
二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴122
x x x +=
根据图像判断a,b,c 的符号
（1）a ——开口方向
（2）b ——(就对称轴而言)与a 左同右异 （3）c ——交于y 轴的位置
3.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
24b ac ->0
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函
数图像与x 轴有两个交点
24b ac -=0
时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数
图像与x 轴有一个交点；
24b ac -<0
时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像
与x 轴没有交点
4. 二次函数与一元二次不等式的关系
（1）如图所示，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
x ＜x 1，或x ＞x 2是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集. x 1＜x ＜x 2，是不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.
（2）当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解. x 1＜x ＜x 2是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集. x ＜x 1，或x ＞x 2是不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.
【典型例题】
题型 1 二次函数的概念
例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 题型2 二次函数的性质
例3 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 【举一反三】
变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较
12q q 与的大小
变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较
12q q 与的大小
变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较
12q q 与的大小
题型3 二次函数图像性质（共存问题、符号问题） 例4、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
题型4二次函数的平移
例 5.将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．22(1)y x =+
B ．22(1)y x =-
C ．221y x =+
D ．221y x =-
B ．
C ．
D ．。
