线性代数2试卷及答案

线性代数（经管类）试题

(出卷人：黄继忠)

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A是3阶方阵，且|A|=-21，则|A-1|=（ ）

A．-2 B．-21

C．21 D．2

2. 设A为n阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有（ ）

A．BT=B B．B=2A

C．BT=-B D．B=0

3. 设A为四阶矩阵，且,2A则*A（ ）

A.2 B.4

C.8 D.12

4. 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）

A．0001 B．100101110

C．101010001 D．001300010

5. 设A是m×n矩阵，B是m×n矩阵，则下列结果中是n阶方阵的是（m≠n）（ ）

A．A BT B．AT B

C．B AT D．A B

6. 已知向量组A：4321,,,中432,,线性相关，那么（ ）

A. 4321,,,线性无关 B. 4321,,,线性相关

C. 1可由432,,线性表示 D. 43,线性无关

7. 设A为mn矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ）

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8. 设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ）

A．E-A B．-E-A

C．2E-A D．-2E-A

9. 与矩阵A=200010001相似的是（ ） A.100020001 B.200010011

C.200011001 D.100020101

10. 设A=2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（ ）

A.正定 B.负定

C.半正定 D.不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11. 设矩阵A=1121，则行列式|AAT|=____________.

12. 设矩阵A=4321，P=1011，则APT=____________.

13. 设A=220010002,则A-1= ___________.

14. 设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是___________.

15. 已知向量组4212,0510,2001321tααα的秩为2，则数t= __________.

16. 方程组0xxx321的通解是___________.

17. 已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.

18. 已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|= __________.

19. 设向量的长度为则αα),1,21,1,2( __________.

20. 设矩阵A=1002，则二次型xTAx的规范形是__________.

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

21. 计算行列式D=4001030100211111的值.

22. 设矩阵A=3512，B=0231，求矩阵方程XA=B的解X.

23. 设向量组α1=（1，-1，2，4）T，α2=（0，3，1，2）T，α3=（3，0，7，14）T，α4=（1，-1，2，0）T，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

24. 已知线性方程组

axxxxxxxx3213213152231２　　

（1）求当a为何值时，方程组无解、有解.

（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

25. 设矩阵A=1630310104，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P-1AP=D.

四、证明题（本大题10分）

26. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明E-2A可逆，且(E-2A)-1=E-2A.

试题答案

一、单项选择题

1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B

二、填空题

11. 1 12. 4723 13.

21100100021 14. 3 15. 3

16. 为任意数）2121,(101011cccc 17. 6 18. 36

19. 25 20. 2221zz

三、计算题

21.

分＝－－＝分＝分42200021001110111132200210011101111331101210111011114001030100211111D

22.

分分分426512251302314251325135612111BAXABAX

23.

分分一个极大无关组为，向量组的秩为分分分232,,3200001000011003013000020000110130100002110011013014220011003301301101424271210311301213421A

24.

(1) 分方程组有解。时，＝即＝当分方程组无解。时，即当分分1 3,0 31 3,032311012010001211112110001121532110211aaaaaaabA

(2) 分为任意数分分时当2)(01111221121011012010001 3

3213231ccxxxxxxxbAa

25.

分对角矩阵分可逆矩阵分对应的特征向量为分－时，当分对应的特征向量为分时，当分＝＝令分＝22000100012310101502 1315 2 1000311035013630510102202 2 1100,012 1100000002106302101050 112,10210 121163031010433321212132122DPpEAXEAppEAXEAEAEA

四、证明题

26.

分且可逆，分从而分分又522 2222 121212 22122212 0221222AEAEAEEAEAEEEAEAEAAEAEAAAAA