线性代数第二章题库及答案

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第二章

掌握2、2节若干运算律及性质，注意矩阵乘法一般不满足交换律、消去律、两个矩阵都不等0乘积也可能是0，会进行矩阵运算，掌握公式11abdbcdcaadbc 会求二、三阶逆矩阵，会求矩阵的秩，会解矩阵方程。

5、设矩阵321212113A，111012111B求（1）AB和BA ；(2)BAAB

解 （1）

111012111321212113AB301321341202212222103113123=248016216

321212113111012111BA321211123022012026321211123222014004

（2）222428001146020146BAAB066022212

6、设矩阵，1021A求32AA，.

解 104110002201102110212A

1061100042011021104123AAA

7. 设矩阵521320A,B341201，求TTT(1)AB;(2)BA;(3)AA.

解 A𝐵𝑇=(5−2134−1)(−3−22001)=(−15−4+0−10+0+1−9+8+0−6+0−1)=(−19−9−1−7)

𝐵𝑇𝐴=(−3−22001)(5−2134−1)=(−15−66−8−3+210+0−4+02+00+30+40−1)=(−21−2−110−4234−1)

𝐴𝑇𝐴=(53−241−1)(5−2134−1)=(25+9−10+125−3−10+124+16−2−45−3−2−41+1)=(3422220−62−62)

9. 求下面矩阵的秩. 2

（1）32015431A

解 因为A的二阶子式030131是非零子式，所以2)(Ar.

（2）110201211344.

解

443112102011A13rr242012102011232rr000012102011

由于最后一个行阶梯矩阵由两个非零行，所以2)(Ar

0150331312231213A）（

解 015033131223121A688601755023121131232rrrr5245220017550231212356rr

由于最后一个行阶梯矩阵由三个非零行，所以3)(Ar 8、求逆矩阵

（1）1324A

解 2641324A，4321A，所以2231211AAA.

（2）113111321A

解 100113010111001321EA10385001121000132113123rrrr)1(2r3

103850011210001321

152200011210001321235rr2125110001121000132123r21251100141010232152021313232rrrr

2125110014101021210001212rr=1AE .

所以21251141212101A

（3）210111121A

100210010111001121EA10021001103000112112rr

01103010021000112132rr01103010021000112112）（r

311600100210001121233rr216161100100210001121613）（r

2161611000313101021616502131322rrrr21616110003131010216561001212rr1AE . 4

所以216161031312165611A

10.求逆矩阵.

（1）100120123;

解 |𝐴|=1×2×3=6

𝐴11=|2023|=6 𝐴12=−|1013|=−3 𝐴13=|1212|=0

𝐴21=−|0023|=0 3310122A 2210123A

0020031A 0010132A 2210133A

所以

220033006A

31310021210011AAA

（2）223110121.

解 100121010011001322EA21rr100121001322010011

11011002134001001113122rrrr02134011011001001132rr

234rr461100110110010011461100351010010011)1(332rrr 5

21rr4611003510103410011AE , 所以

4613513411A

.

11. （2）解以下矩阵方程.2746X1421.

解 令4172A，1264B 即 BXA,

因为11742A≠0，所以A可逆，所以 1BAX.

21741A.

1274022214181228616217412641BAX.

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4、已知n阶方阵A满足矩阵方程2A3A2EO,其中A给定，E为n阶单位矩阵，证明A可逆，并求1A.

证明：

2132(3)23200AAEOAAEEAAEEAA所以存在。

3(3)2()2AEAAEEAE由得， 所以132AEA

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1. 单项选择题（所有题）

（1） A,B均为n阶方阵，若要22(AB)(AB)AB不成立，需满足（D ）.

A. A=E B．B=O C．A=B D． ABBA

（4）若矩阵111A121231的秩为2，则（ C ）.11001011110001011101

A. 0 B． 2 C．1 D． -1

（5）若方阵2AA,A不是单位方阵，则（A ）.

A. A0 B． A0 C．AO D．AO

解析 因为2AA,，所以AA2，所以01AA或.

若.0可逆，则AA在AA2两边同时乘1A,AAAA121,从而EA，与A不是单位方阵矛盾，所6

以.0不可逆，所以AA所以0A.

2.填空题.

（1）设矩阵300A140003，E为三阶单位矩阵，则逆矩阵1A2E10002121001.

（2）设矩阵100A120143，则TAA912312202323.

（3）方阵120A012001，则2A100410441