海南大学数学系
— 1 — 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类)
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象
“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数
1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n上的推广.
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nnen及其应用.
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限sin10lim1,lim(1)xxxxxxe及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.
第 1 页 共 3 页 广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(经济管理类)
一、(本题30分, 每小题3分) 填空题
1. 已知0()ln1sin2lim351xxfxx, 则极限20()limxfxx .
2．设()fx对于(,)x满足方程31(1)()2(1)[()]1exxfxxfx.若()fx在1x取得极值，则它是 .（填极大值还是极小值）
3. 极限1240limd1nnxxnx ．
4. 设函数()fx满足0[()()]sind8,(0)3,fxfxxxf 则()f_________.
5．极限2222223(,)(0,0)sinlim()xyxyxyxy .
6. 由方程(,)0Fcxazcybz确定了函数(,)zzxy,
则zzabxy .
7.设,fxy可微，1,22,1,23,1,24xyfff，若,,2gxfxfxx，则'1g .
8.设函数()fx连续, (0)2f, 记22222()()dd (0)xytFtfxyxyt, 则(0)F .
9. 设123(), (), ()yxyxyx是微分方程()()()ypxyqxyfx的三个不同的解，且1223()()()()yxyxyxyx不恒等于常数，则微分方程的通解为 .
10．级数4121e1(1)4e1nxnnxn的收敛区间为 .
二、（本题10分）设函数()fx具有二阶连续导数，且(0)0f, 证明：函数 第 2 页 共 3 页 (),0()(0),0fxxgxxfx
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1 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类)
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象
“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数
1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n上的推广.
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
1.
数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nnen及其应用.
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限sin10lim1,lim(1)xxxxxxe及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.
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大学数学竞赛模拟试题一答案
一、填空
1. 函数，，；，0cos01e)(22xxxaxxxfx在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y(x) 由方程0)cos(exyyx所确定，则0dxy xd 。
3. 由曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积A = 1237 。
4. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则Exxxdsincos
38 。
5．设L是顺时针方向的椭圆1422yx，其周长为l，则Lsyxxyd422 4l 。
二、求极限)]21ln(2[ecoslim2202xxxxxx 。
解：)(!4!21cos442xoxxx；
)(821)(2!2121e442422222xoxxxoxxx；
)(22)()2(212)21ln(2222xoxxxoxxx；
由此得到：
)(222)(821)(!4!21lim)]21ln(2[ecoslim22244244202202xoxxxxxoxxxoxxxxxxxxx
241)(2)(121lim44440xoxxoxx 。
三、计算02de1exxxx。
解：
2
0000202de11de110e1e11dde1ede1exxxxxxxxxxxxxxxx
