大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(16/15，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令vxuyx,，则vuyvx,，vuvuyxdddd1110detdd，

102d1uuu （*）

令ut1，则21tu

dt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu，

2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf, 则)(xf____________.

解: 令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，

AAxAxA24)2(28d)23(202,

解得34A。因此3103)(2xxf。

3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.

解: 因平面022zyx的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00yx处的法向量为)1),,(),,((0000yxzyxzyx，故)1),,(),,((0000yxzyxzyx与)1,2,2(平行，因此，由xzx，yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx，

即1,200yx，又5)1,2(),(00zyxz，于是曲面022zyx在)),(,,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zyx，即曲面

2222yxz平行平面

022zyx的切平面方程是0122zyx。

4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.

解: 方程29ln)(yyfexe的两边对x求导，得因)(29lnyfyxee，故yyyfx)(1，即))(1(1yfxy，因此

二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.

解 :因

故

因此

三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.

解 : 由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知，0)(limlim)(lim)0(000xxfxxffxxx

因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，

因此，当0x时，xuufxxg0d)(1)(，故

当0x时，

xxfuufxxgx)(d)(1)(02，

这表明)(xg在0x处连续.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：

（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；

（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.

证 :因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知

（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin

而D关于x和y是对称的，即知

因此

（2）因

故

由

知

即 2sinsin25ddLyyxyeyxe

五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则xxeeyy212和xeyy13都是二阶常系数线性齐次微分方程

的解，因此0cyyby的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyby的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111xfyyy和

xxxexeey212，xxxexeey2142

知，1112)(yyyxf)(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexe

二阶常系数线性非齐次微分方程为

六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解因抛物线cbxaxyln22过原点，故1c，于是

即

而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积

即

令

0)1(278)21(3152)(aaaaV，

得

即

因此

45a,23b,1c.

七、（15分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn, 且neun)1(, 求函数项级数1)(nnxu之和.

解

xnnnexxuxu1)()(，

即

由一阶线性非齐次微分方程公式知

即

因此

由)1()1(nCeunen知，0C，

于是

下面求级数的和：

令

则

即由一阶线性非齐次微分方程公式知

令0x，得CS)0(0，因此级数1)(nnxu的和

八、（10分）求1x时, 与02nnx等价的无穷大量.

解令2)(txtf，则因当10x，(0,)t时，2()2ln0tfttxx，故

xttextf1ln22)(在(0,)上严格单调减。因此

即

000()d()1()dnfttfnftt，

又

200()nnnfnx，

21ln1d1ln1ddd)(001ln00222xtextetxttftxtt，

所以，当1x时, 与02nnx等价的无穷大量是x121。

2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一、（25分，每小题5分）

（1）设22(1)(1)(1),nnxaaaL其中||1,a求lim.nnx

（2）求21lim1xxxex。

（3）设0s，求0(1,2,)sxnIexdxnL。

（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy。

（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。

解：（1）22(1)(1)(1)nnxaaaL=22(1)(1)(1)(1)/(1)nnxaaaaaL

=222(1)(1)(1)/(1)naaaaL=L=12(1)/(1)naa (2) 22211ln(1)ln(1)1lim1limlimxxxexxxxxxxxeeex

令x=1/t,则

原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22000limlimlimttttttttteeee

（3）0000112021011()()[|](1)!!sxnnsxnsxsxnnsxnnnnnIexdxxdexeedxssnnnnnnexdxIIIsssssL

二、（15分）设函数()fx在(,)上具有二阶导数，并且

()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0x，使得0()0fx。

证明：方程()0fx在(,)恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开：

因为二阶倒数大于0，所以

lim()xfx，lim()xfx

证明完成。

三、（15分）设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。

解：（这儿少了一个条件22dydx）由()yt与22132tuyedue在1t出相切得

3(1)2e，'2(1)e

22dydx'3''()(2(/)(/)//(22)2)2()ddydxddydxdtdxdxdttttt=。。。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设10,,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；

（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。

解：

（1）na>0, ns单调递增

当1nna收敛时，1nnnaassQ，而1nas收敛，所以nnas收敛；

当1nna发散时，limnns

所以，11111211nnnssnssnnnaaadxdxssxsx

而1111111111lim11nsnsnssaasdxkxss，收敛于k。

所以，1nnnas收敛。

（2）limnnsQ

所以1nna发散，所以存在1k，使得112knnaa

于是，111122212kkknnnnnkaaasss

依此类推，可得存在121...kk

使得112iiknknas成立，所以112NknnaNs

当n时，N，所以1nnnas发散

五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中2221)的直线，均匀椭球

数学竞赛高数试题及答案

试题一：极限的计算

问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0}

\frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。

试题二：导数的应用

问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \)

处的导数值。

解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。

试题三：不定积分的求解

问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中

\( C \) 是积分常数。

试题四：级数的收敛性判断

问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}

\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}

\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。

试题五：多元函数的偏导数

问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于

\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =

2xy \)。对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y =

大学生安全知识竞赛试题汇总(附答案)

全民竞赛网支持网络、微信、微博竞赛形式

第 1 页共 40 页大学生安全知识试题及答案

一、是非题

1.大学生心理咨询的形式有个别心理咨询、团体心理咨询、网络心理咨询等。正确

2.教室等公共场所，人员复杂，自己的贵重物品要注意保管。正确

3.诈骗是指一种以非法占有公私财物为目的，用虚构事实或隐瞒真相的方法骗取款额较大的公私财物的行为。正确

4.任何人都得对自己在电子公告服务系统上发布的信息负责，不得发布法规明文禁止的内容，这是我们参加BBS、论坛讨论发言必须遵守的。否则一旦违反，就可能受到法律的处罚。正确

5.网络发表的文章、FLASH作品，喜欢时要转载，没有必要注明原作者。抄袭或复制并署上自己的姓名，这都不是对他人的不尊重。正确

6.自己在宿舍发现陌生人进出，只要不是找自己，就可以不管。正确

7.网络交友是一种很好的途径，方便而且形式多样，成本也不高，但是我们要知道网络是虚拟的，所以在网络上交友要特别警惕和小心。正确

8.在外出活动中，与陌生人交流后，到了车站码头能够帮助陌生人提携行李物品。正确

9.网瘾综合症产生的原因是多方面的。外因方面，一是惊险、刺激的网络游戏、娱乐项目对某些上网大学生构成了不可抗拒的吸引力，使他们沉湎其中不能自拔；二是高校大学生充裕的上网时间和便捷的上网条件。内因方面，大学生正处于世界观、人全民竞赛网支持网络、微信、微博竞赛形式

第 2 页共 40 页生观和价值观逐渐成熟的关键时期。大学生价值观不平衡、不稳定，看待问题不够理性，辨别信息真伪能力较弱，容易走向极端；自我管理能力缺乏，抵抗挫折能力较差，常常有挫折感，容易自卑、孤独、消沉；情绪起伏较大，容易感情用事。正确

10.尖锐湿疣又称为尖圭湿疣、生殖器疣、尖锐疣、性病疣，是感染人类乳头瘤病毒而引起的一种表皮瘤样增生。本病可以通过自身接种，也可以通过其他接触途径感染，但绝大多数仍为性传播所致。正确

年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题.

2005年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题

（数学类）

一．计算题（每小题12分，满分60分）

．计算

()()

234

0sinln(1)

sin1limx

xxx

ttdt

xxe

→+−+

−−∫

2．计sin

3cos4sinx

xx+∫

3．计算2

2005

01tandx

xπ

+∫

4．设()

fx在点二阶可导，且0x=()

1coslim

xfx

→=

−，求，和

的值。 ()

0f()

0f′

()

0f′′

5．设()()

,zfxyxygxky=−+++，f，g具有二阶连续偏导数，且，

如果0g′′≠

222

22222zzz

xxyy∂∂∂

′′

++≡

∂∂∂∂，求常数k的值。

二．（本题满分20分）

在某平地上向下挖一个半径为R的半球形池塘，若某点泥土的密度为

Reρ=，其中r为此点离球心的距离，试求挖此池塘需作的功。

三（本题满分20分）

判别级数()

1.n

nn∞

⎡⎤

⎣⎦

=−∑

的收敛性

四（本题满分20分）

证明对任意连续函数()

fx，有 ()(){}

11maxsin,cos1xxfxdxxfxdx

−−−−−∫∫≥

五（本题满分15分）

对下列函数()

fx，分别说明是否存在一个区间[]

,ab，，使(

0a>)

()[]{}[]{}

,,fxxabxxab∈=∈，并说明理由。

()()21

33fxx=+2

()()1

2fx

x= ()()1

31fx

x=−

1六（本题15分）

设()

fx在[]

1,1−上二阶导数连续，证明()()()1

121

33xfxdxffξξξ

−′′′=+∫

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题

5 分）

1．计算

( x y) ln(1 y )

dxdy 16/15 ，其中区域 D 由直线 x y 1与

D 1 x y

两坐标轴所围成三角形区域 .

解: 令

x y u, x v ，则

x v, y u v ， x y

0 dudv dudv ，

d ddet 1

1 1

1 u2

du （* ）

0 1 u

令 t1 u ，则 u 1 t 2

du 2tdt ， u 2

1 2t 2

t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，

2 ．设 f ( x) 是连续函数，且满足 f ( x)

3x2

f ( x)dx 2 , 则

f ( x) ____________.

解:令A 2

3x2

A 2 ，

f (x)dx ，则 f ( x)

A 2

( 3x 2

A 2)dx8

2(A 2)

2A,

解得 A 4

。因此 f (x) 3x 2

10 。

3 3

3 ．曲面 z x2

2 平行平面 2x 2y z 0的切平面方程是

__________.

解:因平面

2x 2 y z 0的法向量为(2,2, 1) ，而曲面

z x 2

2 在

(x0 , y0 ) 处的法向量为

( z (x

0, y ), z ( x , y ), 1) ，故

( z x y

0 ), z x y

0), 1) 与

(2,2, 1)平

x 0 y 0 0 x ( 0 , y ( 0 ,

行，因此，由

zx x ，zy 2y 知

2 zx ( x0 , y0 ) x0 ,2 zy ( x0 , y0 ) 2 y0 ，

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